人教版九年级下册数学教案.docx
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人教版九年级下册数学教案
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)
.第二十六章二次函数
[本章知识要点]
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.
3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.
4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.
6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.
26.1二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义.
[MM及创新思维]
(1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少?
(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x厘米,则面积增加y平方厘米,试写出y与x的关系式.
请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?
为什么?
如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义.
[实践与探索]
例1.m取哪些值时,函数
是以x为自变量的二次函数?
分析若函数
是二次函数,须满足的条件是:
.
解若函数
是二次函数,则
.
解得,且.
因此,当,且时,函数
是二次函数.
回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数.
探索若函数
是以x为自变量的一次函数,则m取哪些值?
例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解
(1)由题意,得,其中S是a的二次函数;
(2)由题意,得,其中y是x的二次函数;
(3)由题意,得(x≥0且是正整数),
其中y是x的一次函数;
(4)由题意,得
,其中S是x的二次函数.
例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式;
(2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积.
解
(1)
;
(2)当x=3cm时,(cm2).
[当堂课内练习]
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)
(2)
(3)(4)
2.当k为何值时,函数为二次函数?
3.已知正方形的面积为,周长为x(cm).
(1)请写出y与x的函数关系式;
(2)判断y是否为x的二次函数.
[本课课外作业]
A组
1.已知函数是二次函数,求m的值.
2.已知二次函数,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y的值.
3.已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为3,求此时的y.
4.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?
请写出半径r的取值范围.
B组
5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是()
A.B.C.D.
6.下列函数关系中,可以看作二次函数()模型的是()
A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
[本课学习体会]
§26.2用函数观点看一元二次方程(第一课时)
教学目标
(一)知识与技能
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=,-8),如果抛物线的对称轴是x=-1,求该二次函数的关系式.
3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.
4.已知二次函数,当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.
B组
5.已知二次函数的图象经过(1,0)与(2,5)两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)请你换掉题中的部分已知条件,重新设计一个求二次函数解析式的题目,使所求得的二次函数与
(1)的相同.
6.抛物线过点(2,4),且其顶点在直线上,求此二次函数的关系式.
[本课学习体会]
26.3实践与探索
(1)
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义.
[MM及创新思维]
生活中,我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,比如在2004雅典奥运会的赛场上,很多项目,如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗?
[实践与探索]
例1.如图26.3.1,一位运动员推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是,问此运动员把铅球推出多远?
解如图,铅球落在x轴上,则y=0,
因此,.
解方程,得(不合题意,舍去).
所以,此运动员把铅球推出了10米.
探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离,如果创设另外一个问题情境:
一个运动员推铅球,铅球刚出手时离地面m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m,铅球运行中最高点离地面3m,已知铅球走过的路线是抛物线,求它的函数关系式.你能解决吗?
试一试.
例2.如图26.3.2,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?
(2)若水流喷出的抛物线形状与
(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米?
(精确到0.1m)
分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题,首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中,如图26.3.3,我们可以求出抛物线的函数关系式,再利用抛物线的性质即可解决问题.
解
(1)以O为原点,OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点为C(如图26.3.3).
由题意得,A(0,1.25),B(1,2.25),
因此,设抛物线为.
将A(0,1.25)代入上式,得,
解得
所以,抛物线的函数关系式为.
当y=0时,解得x=-0.5(不合题意,舍去),x=2.5,
所以C(2.5,0),即水池的半径至少要2.5m.
(2)由于喷出的抛物线形状与
(1)相同,可设此抛物线为.
由抛物线过点(0,1.25)和(3.5,0),可求得h=-1.6,k=3.7.
所以,水流最大高度应达3.7m.
[当堂课内练习]
1.在排球赛中,一队员站在边线发球,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面1.9米,当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米,已知球场长18米,问这样发球是否会直接把球打出边线?
2.在一场篮球赛中,队员甲跳起投篮,当球出手时离地高2.5米,与球圈中心的水平距离为7米,当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线,球圈距地面3米,问此球是否投中?
[本课课外作业]
A组
1.在一场足球赛中,一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6米时,球到达最高点,此时球高3米,已知球门高2.44米,问能否射中球门?
2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
3.如图,一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的函数关系式;
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方
0.25m处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
B组
4.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图a)做成的立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员利用图b所示的坐标系进行计算.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度.
5.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面m,入水处距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势时,否则就会出现失误.
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是
(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为m,问此次跳水会不会失误?
并通过计算说明理由.
[本课学习体会]
26.3实践与探索
(2)
[本课知识要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程.
[MM及创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔,我们来看这样一个生活中常见的问题:
某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.你能解决它吗?
类似的问题,我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.
[实践与探索]
例1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。
市场调查发现:
单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,日均多售出2千克。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。
设销售单价为x元,日均获利为y元。
(1)求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围;
(2)将
(1)中所求出的二次函数配方成的形式,写出顶点坐标;在直角坐标系画出草图;观察图象,指出单价定为多少元时日均获利最多,是多少?
分析若销售单价为x元,则每千克降低(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利为(x-30)元,从而可列出函数关系式。
解
(1)根据题意,得
(30≤x≤70)。
(2)。
顶点坐标为(65,1950)。
二次函数草图略。
经观察可知,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元。
例2。
某公司生产的某种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:
X(十万元)
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式;
(3)如果投入的年广告费为10~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
解
(1)设二次函数关系式为。
由表中数据,得。
解得。
所以所求二次函数关系式为。
(2)根据题意,得
。
(3)
。
由于1≤x≤3,所以当1≤x≤2。
5时,S随x的增大而增大。
.
[当堂课内练习]
1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时,每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价()
A、5元B、10元C、15元D、20元
2.某公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是是多少万元?
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:
这种服装每天的销售量t(件),
与每件的销售价x(元件)可看成是一次函数关系:
t=-3x+204。
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:
商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
2.某旅社有客房120间,当每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后,要提高租金,经市场调查,如果一间客房日租金增加5元,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房日租金提高到多少元时,客房的总收入最大?
比装修前客房日租金总收入增加多少元?
3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500kg;销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式;
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
B组
4.行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米时﹚,对这种汽车进行测试,数据如下表:
刹车时车速(千米时)
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
﹙1﹚以车速为x轴,以刹车距离为y轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲线连结这些点,得到函数的大致图象;
﹙2﹚观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数关系式;
﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故,现场测得刹车距离为46.5米,请推测刹车时的车速是多少?
请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?
[本课学习体会]
26.3实践与探索(3)
[本课知识要点]
(1)会求出二次函数与坐标轴的交点坐标;
(2)了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.
[MM及创新思维]
给出三个二次函数:
(1);
(2);(3).
它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数,分别是个、个、个.你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗?
另外,能否利用二次函数的图象寻找方程,不等式或的解?
[实践与探索]
例1.画出函数的图象,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么?
(2)当x取何值时,y=0?
这里x的取值与方程有什么关系?
(3)x取什么值时,函数值y大于0?
x取什么值时,函数值y小于0?
解图象如图26.3.4,
(1)图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3).
(2)当x=-1或x=3时,y=0,x的取值与方程的解相同.
(3)当x<-1或x>3时,y>0;当-1<x<3时,y<0.
回顾与反思
(1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决;反过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决.
(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集,先观察图象,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点的坐标写出不等式的解集.
例2.
(1)已知抛物线,当k=时,抛物线与x轴相交于两点.
(2)已知二次函数的图象的最低点在x轴上,则a=.
(3)已知抛物线与x轴交于两点A(α,0),B(β,0),且,则k的值是.
分析
(1)抛物线与x轴相交于两点,相当于方程有两个不相等的实数根,即根的判别式⊿>0.
(2)二次函数的图象的最低点在x轴上,也就是说,方程的两个实数根相等,即⊿=0.
(3)已知抛物线与x轴交于两点A(α,0),B(β,0),即α、β是方程的两个根,又由于,以及,利用根与系数的关系即可得到结果.
请同学们完成填空.
回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题,可以转化为一元二次方程有无实数根的问题,这可从计算根的判别式入手.
例3.已知二次函数,
(1)试说明:
不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点;
(2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧?
(3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴?
分析
(1)要说明不论m取任何实数,二次函数的图象必与x轴有两个交点,只要说明方程有两个不相等的实数根,即⊿>0.
(2)两个交点都在原点的左侧,也就是方程有两个负实数根,因而必须符合条件①⊿>0,②,③.综合以上条件,可解得所求m的值的范围.
(3)二次函数的图象的对称轴是y轴,说明方程有一正一负两个实数根,且两根互为相反数,因而必须符合条件①⊿>0,②.
解
(1)⊿=
,由,得,所以⊿>0,即不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
(2)由,得;由,得;又由
(1),⊿>0,因此,当时,两个交点都在原点的左侧.
(3)由,得m=2,因此,当m=2时,二次函数的图象的对称轴是y轴.
探索第(3)题中二次函数的图象的对称轴是y轴,即二次函数是由函数上下平移所得,那么,对一次项系数有何要求呢?
请你根据它入手解本题.
[当堂课内练习]
1.已知二次函数的图象如图,
则方程的解是,
不等式的解集是,
不等式的解集是.
2.抛物线与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为.
3.已知方程的两根是,-1,则二次函数与x轴的两个交点间的距离为.
4.函数的图象与x轴有且只有一个交点,求a的值及交点坐标.
[本课课外作业]
A组
1.已知二次函数,画出此抛物线的图象,根据图象回答下列问题.
(1)方程的解是什么?
(2)x取什么值时,函数值大于0?
x取什么值时,函数值小于0?
2.如果二次函数的顶点在x轴上,求c的值.
3.不论自变量x取什么数,二次函数的函数值总是正值,求m的取值范围.
4.已知二次函数,
求:
(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出草图;
(2)以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积;
(3)x为何值时,y>0.
5.你能否画出适当的函数图象,求方程的解?
B组
6.函数(m是常数)的图象与x轴的交点有()
A.0个B.1个C.2个D.1个或2个
7.已知二次函数.
(1)说明抛物线与x轴有两个不同交点;
(2)求这两个交点间的距离(关于a的表达式);
(3)a取何值时,两点间的距离最小?
[本课学习体会]
26.3实践与探索(4)
[本课知识要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法.
[MM及创新思维]
上节课的作业第5题:
画图求方程的解,你是如何解决的呢?
我们来看一看两位同学不同的方法.
甲:
将方程化为,画出的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解.
乙:
分别画出函数和的图象,观察它们的交点,把交点的横坐标作为方程的解.
你对这两种解法有什么看法?
请与你的同学交流.
[实践与探索]
例1.利用函数的图象,求下列方程的解:
(1);
(2).
分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的,但乙的方法要来得简便,因为画抛物线远比画直线困难,所以只要事先画好一条抛物线的图象,再根据待解的方程,画出相应的直线,交点的横坐标即为方程的解.
解
(1)在同一直角坐标系中画出
函数和的图象,
如图26.3.5,
得到它们的交点(-3,9)、(1,1),
则方程的解为–3,1.
(2)先把方程化为
,然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象,如图26.3.6,
得到它们的交点(,)、(2,4),
则方程的解为,2.
回顾与反思一般地,求一元二次方程的近似解时,可先将方程化为,然后分别画出函数和的图象,得出交点,交点的横坐标即为方程的解.
例2.利用函数的图象,求下列方程组的解:
(1);
(2).
分析
(1)可以通过直接画出函数和的图象,得到它们的交点,从而得到方程组的解;
(2)也可以同样解决.
解
(1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象,如图26.3.7,
得到它们的交点(,)、(1,1),
则方程组的解为.
(2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象,如图26.3.8,
得到它们的交点(-2,0)、(3,15),则方程组的解为.
探索
(2)中的抛物线画出来比较麻烦,你能想出更好的解决此题的方法吗?
比如利用抛物线的图象,请尝试一下.
[当堂课内练习]
1.利用函数的图象,求下列方程的解:
(1)(精确到0.1);
(2).
2.利用函数的图象,求方程组的解:
[本课课外作业]
A组
1.利用函数的图象,求下列方程的解:
(1)
(2)
2.利用函数的图象,求下列方程组的解:
(1);
(2).
B组
3.如图所示,二次函数与的图象交于A(-2,4)、B(8,2).求能使成立的x的取值范围。
[本课学习体会]
第二十六章小结与复习
一、本章学习回顾
1.知识结构
2.学习要点
(1)能结合实例说出二次函数的意义。
(2)能写出实际问题中的二次函数的关系式,会画出它的图象,说出它的性质。
(3)掌握二次函数的平移规律。
(4)会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
(5)会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
(6)熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
(7)会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3.需要注意的问题
在学习二次函数时,要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中,在用待定系数法求二次函数关系式的过程中,在利用二次函数图象求解方程与方程组时,都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题
A组
一、填空题
1.已
- 配套讲稿:
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- 人教版 九年级 下册 数学教案