第三章习题与复习题线性方程组高等代数.docx
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第三章习题与复习题线性方程组高等代数
习题3.1
1.用消元法解下列线性方程组
(1)
2xx3x1
123
2x2x6
13
4x2x5x7
123
(2)
2
x
1
4x
1
2x
1
6
x
1
x
2
2x
2
x
2
3x
2
3x
3
5x
3
4x
3
5x
3
1
4
1
11
(3)
x
1
3x
1
2x
1
3x
2
x
2
x
2
x
3
5x
3
2x
3
x
4
3x
4
2x
4
6
6
8
(4)
x
1
3x
1
5x
1
x
2
2x
2
x
2
4x
2
x
3
x
3
2x
3
3x
3
x
x
5
3x
5
6x
5
3x
x
4
5
1
4
x
4
2x
4
0
3
2
2.设线性方程组
xxtx
123
4
xtxxt
123
2
xx2x4
123
t为何值时方程组无解?
t为何值时方程组有解?
有解时,求其解.
3.设线性方程组
xx2x3x1
1234
x3x6xx3
1234
3xxax15x3
1234
x5x10x12xb
1234
(1)a,b为何值时方程组有唯一解?
(2)a,b为何值时方程组无解?
(3)a,b为何值时方程组有无穷多解?
并求其一般解.
习题3.2
1.设11,1,1,2,22,1,0,1,31,2,0,2,求
(1)
1
(2)213253
23
2.设n维向量(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1),
12n
求
aaa.
1122nn
3.设2,2,0,4,2,2,1,3,1,1,求向量,使24.
4.设12,0,1,23,1,1满足23142,求.
5.设34(2,1,,12),23(1,2,3,1),求,.
习题3.3
1.判断向量能否由向量1,2,3,4线性表示,若可以,求出表达式.
(1)1,1,1,1,
1,1,1,11,1,1,1
,,12
1,1,1,11,1,3,1
,
34
(2)1,2,1,1,
1,1,1,11,1,1,1
,,
12
1,1,1,11,1,1,1
,
34
(3)4,3,1,3
2,1,3,71,0,1,0
,,
12
4,1,1,73,1,0,3
,
34
4.
设
1203
47110
,,123
011b
23a4
(1)a,b,,,;
取何值时不能由线性表示
123
(2)a,b,,,,;
取何值时能由唯一线性表示写出该表达式
123
(3)a,b取何值时,能由1,2,3线性表示且表达式不唯一,写出全体表达式.
3.判断下列向量组的线性相关性.
4124
120
(1)1,2,3,4
1052
2
0
0117
2101
102
(2)1,2,3,4
311
3
1
3202
111
11
(3)1,2,3
21
2
5
316
2104
1134
(4)11,20,31,40
0124
3211
45642
(5)
267
1,,,
23
372
4
5
3
5
3
9
69347
1323
260
(6)1,2,3,4
132
2
0
1317
100
010
(7)
10,0,
2
3
1
383
534
5.
设向量组
1a234
12a34
,,
1234
123a4
1234a
(1),,,,;
a为何值时线性相关
1234
(2)a为何值时,,,,线性无关.
1234
5.讨论向量组
101
12a
2,1,4123
25b
111
的线性相关性.
6.已知向量组1,,i,,n线性无关,证明1,,ki,,n(k0)线性无关.
7.已知向量组1,2,,n线性无关,
11,212,,n12n,
证明:
1,2,,n线性无关.
8.设
1,2,,n线性无关,
1
a
11
1
a
12
2
a
1n
n
2
a
21
1
a
22
2
a
2n
n
n
a
n1
1
a
n2
2
a
nn
n
证明:
2,,
1线性无关的充要条件是行列式
n
aaa
11121
n
D=
aaa
21222
n
≠0
aaa
nnnn
12
9.已知向量组1,2,,m线性无关,设
1,,,mmm,mm
1222311
1
证明:
(1)当m为偶数时,
2,,
1线性相关;
m
(2)当m为奇数时,
2,,
1线性无关.
m
习题3.4
1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.
4212
(1)
3,1,2,10
1234
1308
11005
(2)
2,1,1,2,1
12345
53223
01112
(3)
02220
,,,,
12345
01111
11011
2.求下列向量组的秩与一个极大无关组并将其余向量用求出的极大无关组线性表示.
2104
(1)
1134
,,,
1234
1010
0124
23137
(2)
12024
,,,,
12345
32830
23743
21837
(3)
23075
,,,,
12345
32580
10320
3.求向量组
1131
20a0
,,,
1234
0121
135b
的秩和一个极大无关组.
4.设A、B均为m×n阶矩阵,证明:
R(A+B)≤R(A)+R(B)
5.设向量组
2,,
1(m>1)的秩为r,
m
m,m,,mm
123213121
证明:
向量组
2,,
1的秩为r.
m
6.设A为n×m阶矩阵,B为m×n阶矩阵,且n>m,证明AB=0.
习题3.5
1.求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表出通解.
2xx4x3x0
1234
(1)
xxx
0
134
3xxx0
123
7x7x3x0
134
x2xxxx0
12345
(2)
2x+xx2x3x0
12345
3x2xxx2x0
12345
2x5xx2x2x0
12345
2.设线性方程组
()
2x3x2x0
123
x8x2x0
()
123
2x14x3x0
()
123
问为何值时,该方程组有非零解?
并求出它的全部解.
3.设n阶方阵A的每行元素之和都为零,且R(A)=n-1,求方程组AX=0的通解.
4.已知3阶非零矩阵B的每个列向量都是线性方程组
x2x2x0
123
2xxx0
123
3xxx0
123
的解,求的值.
5.已知线性方程组
x2xx2x0
1234
xcxcx
234
0
xcxx
124
0
的基础解系由两个解向量构成,求c的值与该方程组的通解.
6.设
123
A
132
21t
211
B是3阶非零矩阵,且AB=O,求t的值.
习题3.6
1.解下列线性方程组(在有无穷多解时求出其结构式通解).
2x3xx4
123
xxxx
1234
0
(1)
x2x4x5
123
3x8x2x13
123
(2)
xxx
124
1
2
4xx9x6
123
2x2x4x6x1
1234
2.已知线性方程组
x2xx1
123
2x3x(a2)x3
123
xax2x0
123
无解,求a的值.
3.参数,取何值时,线性方程组
xx2x3x0
1234
3x2xx7x1
1234
xx6xx2
1234
有解、无解?
6.参数a,b为何值时,线性方程组
xxxxx
12345
1
3x2xxx3xa
12345
x2x2x6x3
2345
5x4x3x3xxb
12345
有解、无解?
在有解时,求其解.
7.参数a,b为何值时,线性方程组
axxx
123
4
xbxx
123
3
x2bxx4
123
无解、有唯一解、有无穷多解?
在有解时,求其解.
6.向量1,2,3是四元非齐次线性方程组AX的解向量,R(A)2且
112
12
3
2
23
1
0
13
1
1
120
求线性方程组AX的通解.
7.设线性方程组
23
xaxaxa
112131
23xaxaxa
122232
23xaxaxa
132333
23
xaxaxa
142434
(1)若
a1,a2,a3,a4互不相同,证明方程组无解;
(2)若
a1a3k,a2a4k(k0),证明方程组有解,并求其通解.
x
1
x
2
a
1
x
2
x
3
a
2
5
8.证明线性方程组
x
3
x
4
a
3
有解的充分必要条件是
a=0,并在有解时求其通解.
i
x
4
x
5
a
4
i1
x
5
x
1
a
5
9.设非齐次线性方程组AX=的解向量1,2,,s,证明
(1)线性组合kkk是AX=的解的充分必要条件是
1122ss
k1+k2+⋯+ks=1;
(2)线性组合kkk是AX=0的解的充分必要条件是
1122ss
k1+k2+⋯+ks=0.
习题三
(A)
一、填空题
1.设
11
11
,,
123
11
当满足时,
1,2,3线性相关;
当满足时,
1,2,3线性无关.
8.已知向量组
1111
0112
,,
1234
23t24
351t9
线性相关,则t满足.
3.设向量组1,2,3线性无关,则当参数l,m满足时,l21,m32,13也线性无关.
4.已知1,2,3线性无关,若122,m142m3,1223也线性无关,则m.
5.设向量组1(a,0,c),2(b,c,0),3(0,a,b)线性无关,则a,b,c满足.
9.
设向量组1(2,1,1,1),2(2,1,a,a),3(3,2,1,a),4(4,3,2,1)线性相关,且a1,则
a=.
10.当k=时,向量
T
2
0,k,k可由向量组
T
11k,1,1,
Tk
T
1,1k,11,1,1
2,线性表示且表示方法不唯一.
3
11.已知11,2,1,1,22,0,t,0,30,4,5,2的秩为2,则t.
122
12.设A=
4t3,B为3阶非零矩阵,且AB=O,则t=.
311
x
1
2x
2
kx
3
0
13.设B为3阶非零矩阵,且B的每个列向量都是方程组
2x
1
x
2
x
3
0
的解,则k=,B
3x
1
x
2
x
3
0
=.
14.设1,2,3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,则当参数a满足时,
1a2,23,31也是该方程组的基础解系.
15.已知向量组1,2,3,4的秩为3,且1,2,3,4可由向量组1,2,3线性表示,则向量
组
1,2,3必线性.
二、单项选择题
122
1.已知14,2t,33
线性相关,则t=().
311
(A)2(B)-2(C)3(D)–3
2.已知向量组
1,2,3,4线性无关,则向量组()线性无关.
(A),,,
12233441
(B),,,
12233441
(C),,,
12233441
(D),,,
12233441
5.对任意实数a,b,c下列向量组线性无关的是().
(A)(a,1,2),(2,b,3),(0,0,0)
(B)(b,1,1),(1,a,3),(2,3,c),(a,0,c)
(C)(1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0)
(D)(1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c)
4.若向量组,,线性无关,,,线性相关,则().
(A)必可由,,线性表示(B)必不可由,,线性表示
(C)必可由,,线性表示(D)必不可由,,线性表示
16.设同维向量组
A:
,,,
12
r
B
:
,,,,,,
12rr1m
则下列说法正确的是().
(A)A组与B组的线性相关性相同
(B)当A组线性无关时,B组也线性无关
(C)当B组线性相关时,A组也线性相关
(D)当A组线性相关时,B组也线性相关
17.下列说法正确的是().
(A)若1,2线性相关,1,2线性相关,则11,22一定线性相关
(B)若1,2线性无关,为任一向量,则1,2一定线性无关
(C)若1,2,⋯,m(m≥2)线性相关,则其中任何一个向量都可由其余向量线性表示
(D)若n维向量组1,2,⋯,m(m≥2)线性无关,则对于任意不全为零的数k1,k2,⋯,km
一定有
k11k22
k
m
m
7.已知向量组1,2,3线性无关,向量可由1,2,3线性表示,向量不能由1,2,3
线性表示,则对任意常数k,必有().
(A)1,2,3,k线性无关
(B)1,2,3,k线性相关
(C)1,2,3,k线性无关
(D)
1,2,3,k线性相关
6.一个向量组的极大线性无关组().
(A)个数唯一(B)个数不唯一
(C)所含向量个数唯一(D)所含向量个数不唯一
9.已知任一n维向量均可由1,2,,n线性表示,则1,2,,n().
(A)线性相关(B)秩等于n
(C)秩小于n(D)秩不能确定
213
A4t6,B为三阶非零矩阵且AB=O,则().
18.已知
639
(A)当t=2时,B的秩必为1(B)当t=2时,B的秩必为2
(C)当t≠2时,B的秩必为1(D)当t≠2时,B的秩必为2
11.设非齐次线性方程组AX=B中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
().
(A)r=m时,方程组AX=B有解
(B)r=n时,方程组AX=B有唯一解
(C)m=n时,方程组AX=B有唯一解
(D)r<n时,方程组AX=B有无穷多解
12.n元线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是().
(A)导出组AX=0仅有零解
(B)A为方阵,且∣A∣≠0
(C)R(A)=n
(D)系数矩阵A的列向量组线性无关,且常数项向量B可由A的列向量组线性表示
13.设A是n阶矩阵,是n维列向量,若R
A
T
0
=R(A),则线性方程组
().
(A)AX=必有无穷多解
(B)AX=必有唯一解
(C)
A
T0
X
y
=0仅有零解
(D)
A
T0
X
y
=0必有非零解
x
1
x
2
2
x
3
0
14.将齐次线性方程组
x
1
x
2
x
3
0
的系数矩阵记为A,若存在3阶矩阵B≠O使
x
1
x
2
x
3
0
得AB=O,则().
(A)=-2且B=0(B)=-2且B≠0
(C)=1且B=0(D)=1且B≠0
19.已知1,2,3是非齐次线性方程组AX=b的3个解,则下列()不是导出组
AX=0的解.
1
(A)1223(B)(12)
3
1
(C)123(D)(31)
2
20.已知1,2,3是非齐次线性方程组AX=b的3个解,则下列()是AX=b的解.
(A)1223(B)123
1
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