高考数学理科必考题型第27练数列求和问题大全含答案.docx
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高考数学理科必考题型第27练数列求和问题大全含答案
高考数学精品复习资料
2019.5
第27练 数列求和问题大全
[内容精要] 数列综合解答题中重要的一步就是对数列的求和问题,针对数列通项公式形式的不同,求和方法也多种多样,本节主要介绍几种有关数列求和问题的解决方法.
题型一 分组转化法求和
例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:
bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
破题切入点
(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项,进而求得an;
(2)可以分组求和:
将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(-1)nlnan}前n项的和.
解
(1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.
故an=2·3n-1(n∈N*).
(2)因为bn=an+(-1)nlnan
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]
=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3.
所以当n为偶数时,Sn=2×+ln3
=3n+ln3-1;
当n为奇数时,
Sn=2×-(ln2-ln3)+ln3
=3n-ln3-ln2-1.
综上所述,Sn=
题型二 错位相减法求和
例2 已知:
数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n(n∈N*).
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn=nan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
破题切入点
(1)代入求解即可.
(2)由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2,两式相减构造数列求通项公式.
(3)错位相减求和.
解
(1)Sn=2an-n.
令n=1,解得a1=1;
令n=2,解得a2=3.
(2)Sn=2an-n,
所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*),
两式相减得an=2an-1+1,
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),
又因为a1+1=2,
所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以an+1=2n,即通项公式an=2n-1(n∈N*).
(3)bn=nan,所以bn=n(2n-1)=n·2n-n,
所以Tn=(1·21-1)+(2·22-2)+(3·23-3)+…+(n·2n-n),
Tn=(1·21+2·22+3·23+…+n·2n)-(1+2+3+…+n).
令Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1,②
①-②,得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1,
-Sn=-n·2n+1,
Sn=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1,
所以Tn=2+(n-1)·2n+1-(n∈N*).
题型三 倒序相加法求和
例3 已知函数f(x)=(x∈R).
(1)证明:
f(x)+f(1-x)=;
(2)若数列{an}的通项公式为an=f()(m∈N*,n=1,2,…,m),求数列{an}的前m项和Sm;
(3)设数列{bn}满足b1=,bn+1=b+bn,Tn=++…+,若
(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m,Sm 破题切入点 (1)利用函数的解析式,化简f(1-x)即可求证. (2)注意利用 (1)中的结论,构造倒序求和. (3)由已知条件求出Tn的最小值,将不等式转化为最值问题求解. (1)证明 因为f(x)=, 所以f(1-x)===. 所以f(x)+f(1-x)=+ ==. (2)解 由 (1),知f(x)+f(1-x)=, 所以f()+f(1-)=(1≤k≤m-1,k∈N*), 即f()+f()=. 所以ak+am-k=,am=f()=f (1)=. 又Sm=a1+a2+…+am-1+am,① Sm=am-1+am-2+…+a1+am,② 由①+②,得2Sm=(m-1)×+2am=-, 即Sm=-(m∈N*). (3)解 由b1=,bn+1=b+bn=bn(bn+1), 显然对任意n∈N*,bn>0, 则==-, 即=-, 所以Tn=(-)+(-)+…+(-) =-=3-. 因为bn+1-bn=b>0, 所以bn+1>bn, 即数列{bn}是单调递增数列. 所以Tn关于n递增,所以当n∈N*时,Tn≥T1. 因为b1=,b2=()2+=, 所以Tn≥T1=3-=. 由题意,知Sm<,即-<,解得m<, 所以正整数m的最大值为3. 题型四 裂项相消法求和 例4 在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列. (1)已知数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=-,求数列{an}的公差. 破题切入点 (1)列方程组(两个条件)确定an. (2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式,再和已知Tn=-对比求得公差. 解 设数列{an}的公差为d, 由a1,a4,a8成等比数列可得 a=a1·a8,即(a1+3d)2=a1(a1+7d), ∴a+6a1d+9d2=a+7a1d,而d≠0,∴a1=9d. (1)由数列{an}的前10项和为45可得 S10=10a1+d=45, 即90d+45d=45,故d=,a1=3, 故数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)· =(n+8). (2)bn==, 则数列{bn}的前n项和为 Tn=[++…+] = = = =-. 所以=1,d=±1. 故数列{an}的公差d=1或-1. 总结提高 数列求和的主要方法有: (1)分组求和法: 一个数列既不是等差数列也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并,或对字母n分类讨论后再求和. (2)错位相减法: 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求{an·bn}的前n项和,其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法: 这是推导等差数列前n项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (4)裂项相消法: 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求通项为的前n项和,其中{an}若为等差数列,则=·(-). 其余还有公式法求和等. 1.若数列{an}的通项公式为an=,则其前n项和Sn为( ) A.1-B.-- C.--D.-- 答案 D 解析 方法一 因为an==-, 所以Sn=a1+a2+…+an =1-+-+-+…+-+- =1+-- =--. 故选D. 方法二 因为a1=,a2=, 所以S1=a1=. 令n=1,选项B中,-1-=0, 选项C中,-1-=,故排除B,C. 又S2=+=, 选项A中,令n=2,则1-=,故排除A,应选D. 2.已知数列1,3,5,7,…,则其前n项和Sn为( ) A.n2+1-B.n2+2- C.n2+1-D.n2+2- 答案 A 解析 因为an=2n-1+, 则Sn=n+=n2+1-. 3.(20xx·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( ) A.3B.4C.5D.6 答案 C 解析 am=2,am+1=3,故d=1, 因为Sm=0,故ma1+d=0, 故a1=-, 因为am+am+1=5, 故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5, 即m=5. 4.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足an+T=an,则称{an}是周期数列,T叫作它的周期.已知数列{xn}满足x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,当数列{xn}的周期为3时,则{xn}的前2013项和S2013等于( ) A.1340B.1342C.1344D.1346 答案 B 解析 由xn+2=|xn+1-xn|, 得x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a, x4=|x3-x2|=|1-2a|, 因为数列{xn}的周期为3,所以x4=x1, 即|1-2a|=1,解得a=0或a=1. 当a=0时,数列{xn}为1,0,1,1,0,1,…, 所以S2013=2×671=1342. 当a=1时,数列{xn}为1,1,0,1,1,0,…, 所以S2013=2×671=1342. 综上,S2013=1342. 5.已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2014项之和S2014等于( ) A.2008B.2010C.1D.0 答案 B 解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2), ∴an+1=an-an-1. 故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009. 由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0. ∵2014=6×335+4, ∴S2014=S4=2008+2009+1+(-2008)=2010. 6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为________. 答案 1830 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234 ==1830. 7.在等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前n项和Sn=________. 答案 解析 设等比数列{an}的公比为q, 则=q3=27,解得q=3. 所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n, 故bn=log3an=n, 所以==-. 则数列的前n项和为1-+-+…+-=1-=. 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=1.{an}的“差数列”的通项公式为an+1-an=2n,则数列{an}的前n项和Sn=________. 答案 2n+1-n-2 解析 因为an+1-an=2n, 应用累加法可得an=2n-1, 所以Sn=a1+a2+a3+…+an =2+22+23+…+2n-n =-n =2n+1-n-2. 9.定义: 若数列{An}满足An+1=A,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上,其中n为正整数. (1)证明: 数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设 (1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2an+1),求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式. (1)证明 由题意得an+1=2a+2an, 得2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2. 所以数列{2an+1}是“平方递推数列”. 令cn=2an+1,所以lgcn+1=2lgcn. 因为lg(2a1+1)=lg5≠0, 所以=2. 所以数列{lg(2an+1)}为等比数列. (2)解 因为lg(2a1+1)=lg5, 所以lg(2an+1)=2n-1·lg5, 所以2an+1=52n-1, 即an=(52n-1-1). 因为lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1) ==(2n-1)lg5. 所以Tn=52n-1. 10.(20xx·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 解 (1)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-=n. 故数列{an}的通项公式为an=n. (2)由 (1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n,则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2. B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2. 11.(20xx·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明++…+<. 证明 (1)由an+1=3an+1 得an+1+=3(an+). 又a1+=, 所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列. an+=,因此{an}的通项公式为an=. (2)由 (1)知=. 因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1, 所以≤. 于是++…+≤1++…+ =(1-)<. 所以++…+<. 12.(20xx·山东)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2, S4=4a1+×2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1, 所以an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1 =(-1)n-1(+). 当n为偶数时, Tn=(1+)-(+)+…+(+)-(+)=1-=. 当n为奇数时, Tn=(1+)-(+)+…-(+)+(+)=1+=. 所以Tn= (或Tn=)
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