复变函数清华大学史上最全ppt下.ppt
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&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒展开简单初等函数的泰勒展开式式3泰勒泰勒(Taylor)级数级数1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题:
现在研究与此相反的问题:
一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?
(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?
解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示?
)数在解析点能否用幂级数表示?
)由由22幂级数的性质知幂级数的性质知:
一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数它的收敛圆内部是一个解析函数.以下定理给出了肯定回答:
以下定理给出了肯定回答:
任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示能用幂级数表示.定理(泰勒展开定理)定理(泰勒展开定理)Dk分析:
分析:
代入代入
(1)得得Dkz-(*)得证!
得证!
证明证明(不讲不讲)(不讲不讲)证明证明(不讲不讲)A2.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它的的Taylor级数级数.利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,这样的展开式是否唯一?
的展开式是否唯一?
事实上事实上,设,设f(z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:
由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数,因而是唯一的级数,因而是唯一的.-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分析运算和析运算和已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法:
级数的方法:
3.简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1解解(P120)A上述求上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2把下列函数展开成把下列函数展开成z的幂级数的幂级数:
解解
(2)由幂级数逐项求导性质得:
由幂级数逐项求导性质得:
A
(1)另一方面,因另一方面,因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析,实轴剪开的平面内解析,ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.定理定理第十次课11月26日?
&1.预备知识预备知识&2.双边幂级数双边幂级数&3.函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数&4.展开式的唯一性展开式的唯一性4罗朗罗朗(Laurent)级数级数由由33知知,f(z)在在z0解析解析,则,则f(z)总可以总可以在在z0的某一个圆域的某一个圆域z-z0R内内展开成展开成z-z0的幂级数的幂级数.若若f(z)在在z0点不解析点不解析,在在z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数,但如果在圆环域的幂级数,但如果在圆环域R1z-z0R2内解析,内解析,那么,那么,f(z)能否用能否用级数表示呢?
级数表示呢?
例如,例如,P127由此推想,若由此推想,若f(z)在在R1z-z0R2内解析内解析,f(z)可以展开成级数,只是这个级数含有可以展开成级数,只是这个级数含有负幂次项负幂次项,即即本节将讨论在以本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础和计算留数的基础.1.预备知识预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18题题P101Dz0R1R2rRk1k2D1z2.双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分:
负幂项部分负幂项部分:
级数级数
(2)是一幂级数,设收敛半径为是一幂级数,设收敛半径为R2,则级数则级数在在z-z0=R2内收敛,且和为内收敛,且和为s(z)+;在在z-z0=R2外发散外发散.z0R1R2z0R2R1A
(2)
(2)在圆环域的边界在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上上,3.函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理证明证明由复连通域上的由复连通域上的Cauchy积分公式:
积分公式:
Dz0R1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I2式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2,k1上进上进行的,在行的,在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c,由复合闭路,由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子:
写成统一式子:
证毕!
证毕!
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分洛朗级数的解析部分和主要部分.A
(2)
(2)在许多实际应用中,经常遇到在许多实际应用中,经常遇到f(z)在奇点在奇点z0的邻域内解析,需要把的邻域内解析,需要把f(z)展成级数,那么展成级数,那么就利用洛朗(就利用洛朗(Laurent)级数来展开)级数来展开.4.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数的洛朗级数.事实上事实上,Dz0R1R2cDz0R1R2cA由唯一性,将函数展开成由唯一性,将函数展开成Laurent级数,可级数,可用间接法用间接法.在大多数情况,均采用这一简便的方在大多数情况,均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式,只有展开式,只有在个别情况下,才直接采用公式在个别情况下,才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法数的方法.例例1解解例例2解解例例3解解例例4xyo12xyo12xyo12P132解解:
没没有有奇奇点点注意首项注意首项
(2)
(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式,首先把有理洛朗展开式,首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和,函数分解成多项式与若干个最简分式之和,然后利用已知的几何级数,经计算展成需要的然后利用已知的几何级数,经计算展成需要的形式形式.小结:
把小结:
把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数的方法:
级数的方法:
解解
(1)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12
(2)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习:
练习:
A
(2)
(2)根据区域判别级数方式:
根据区域判别级数方式:
在圆域内需要把在圆域内需要把f(z)展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数,级数,在环域内需要把在环域内需要把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数级数.A(3)Laurent级数与级数与Taylor级数的不同点:
级数的不同点:
Taylor级数先展开求级数先展开求R,找出收敛域找出收敛域.Laurent级数先求级数先求f(z)的奇点,然后以的奇点,然后以z0为中心,奇点为分隔点,找出为中心,奇点为分隔点,找出z0到无穷远到无穷远点的所有使点的所有使f(z)解析的环,在环域上展成解析的环,在环域上展成级数级数.计算沿封闭路线积分中的应用P135作业P14312
(1)(3),16
(2)(3)第五章留数留数第十一次课12月3日&1.定义定义&2.分类分类&3.性质性质&4.零点与极点的关系零点与极点的关系1孤立奇点孤立奇点1.定义定义例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=0及及z=1/n(n=1,2,)都是它的都是它的奇点奇点-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的必是孤立的.除此之外,其它奇点除此之外,其它奇点不是孤立的不是孤立的2.分类分类以下将以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根据展开式的不同情况,将孤立点进行分类据展开式的不同情况,将孤立点进行分类.考察:
考察:
特点:
特点:
没有负幂次项没有负幂次项特点:
特点:
只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项特点:
特点:
有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项定义定义设设z0是是f(z)的一个孤立奇点,在的一个孤立奇点,在z0的去心邻域内,的去心邻域内,若若f(z)的洛朗级数的洛朗级数没有负幂次项,称没有负幂次项,称z=z0为可去奇点为可去奇点;只有有限多个负幂次项,称只有有限多个负幂次项,称z=z0为为m级(阶)极点级(阶)极点;有无穷多个负幂次项,称有无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点为本性奇点.3.性质性质q若若z0为为f(z)的可去奇点的可去奇点q若若z0为为f(z)的的m(m1)级极点级极点例如:
例如:
z=1为为f(z)的一个三级极点,的一个三级极点,z=i为为f(z)的一级极点的一级极点.q若若z0为为f(z)的本性奇点的本性奇点4.零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f(z)如果能表示成如果能表示成则称则称z=z0为为f(z)的的m级零点级零点.例如:
例如:
定理定理事实上事实上,必要性得证!
必要性得证!
充分性略!
充分性略!
例如例如定理定理:
证明证明“”若若z0为为f(z)的的m级极点级极点例例解解显然,显然,z=i是是(1+z2)的一级零点的一级零点综合综合&1.留数的定义留数的定义&2.留数定理留数定理&3.留数的计算规则留数的计算规则2留数留数(Residue)1.留数的定义留数的定义定义定义设设z0为为f(z)的孤立奇点,的孤立奇点,f(z)在在z0邻域内邻域内的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1的系数的系数c1称为称为f(z)在在z0的的留数留数,记作,记作Resf(z),z0或或Resf(z0).由留数定义由留数定义,Resf(z),z0=c1
(1)2.留数定理留数定理定理定理证明证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得:
由复合闭路定理得:
用用2i除上式两边得除上式两边得:
得证!
得证!
A求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分,归之为求在的积分,归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数.一般求一般求Resf(z),z0是采用将是采用将f(z)在在z0邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数c1的方法的方法,但如果能先知道但如果能先知道奇点的类型,对求留数更为有利奇点的类型,对求留数更为有利.以下就三类孤立奇点进行讨论:
以下就三类孤立奇点进行讨论:
3.留数的计算规则留数的计算规则规则规则I规则规则II事实上事实上,由条件,由条件(可以乘比(可以乘比m阶大的因式)阶大的因式)A当当m=1时,式时,式(5)即为式即为式(4).规则规则III事实上事实上,例例1解解例例2解解例例3解解例例4解解故由留数定理得:
故由留数定理得:
A
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数,不要死套规则数,不要死套规则.如如是是f(z)的三级极点的三级极点.-该方法较规则该方法较规则II更简单!
更简单!
A
(2)由规则由规则II的推导过程知,在使用规则的推导过程知,在使用规则II时,可将时,可将m取得比实际级数高,这可使计算更取得比实际级数高,这可使计算更简单简单.如如第十二次课12月10日3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域R|z|内解析:
理解为圆环域内绕
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