数学物理方程与特殊函数全稿_精品文档.pdf
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任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第1页,共71页备备课课笔笔记记课程名称:
数理方法课程名称:
数理方法任课教师:
黄志祥任课教师:
黄志祥教学班级:
教学班级:
06电子信息电子信息上课时间:
上课时间:
20072008学年第一学期学年第一学期任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第2页,共71页教材:
教材:
数学物理方程数学物理方程与特殊函数与特殊函数南京工学院数学教研组编授课教师:
黄志祥授课教师:
黄志祥将数学方法应用于现代高新技术领域,并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法,从而形成了实用性很强的数学物理方法.数学物理方法是以高等数学和大学物理为基础的,但拓深了高数的内容,同时给出了各个专业领域里具有普遍意义的典型物理模型的数学解法.本课程将培养我们从纯数学的学习转入到将数学和物理相结合,并将抽象数学应用于解决实际问题的能力.本课程的主要内容:
三种典型方程的建立具体边界条件不同方程的求解方法.BesselLegendreGreen函数分离变量法(有界)特殊函数函数行波法和积分变换法(无界)函数法(有界或无界)授课方式:
以板书形式讲解典型方程的求解方法为主,由Matlab给出具体方程结果的图形并结合PPT作物理解释.顺便复习巩固高数及普物相关内容.参考资料参考资料:
1.数学物理方法数学物理方法(第三版第三版),汪德新,汪德新编,科学出版社,编,科学出版社,2007年年4月月.2.数学物理方法与计算机仿真数学物理方法与计算机仿真,杨华军,杨华军编,电子工业出版社,编,电子工业出版社,2006年年7月月.3.MATLAB及在电子信息课程中的应用及在电子信息课程中的应用(第第3版版),陈怀琛,陈怀琛等等编著编著,电子工业出版社电子工业出版社,2006.预备知识1.基本概念基本概念偏微分方程:
含有未知多元函数及其偏导的方程,如2122121(,;,;,)0nnuuuuFxxxuxxxx其中:
12(,)nuuxxx为多元函数.方程的阶:
未知函数导数的最高阶数;方程的次数:
最高阶偏导的幂次;线性方程:
未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程,否则就是非线性的;任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第3页,共71页自由项:
不含未知函数及其导数的项;齐次方程:
没有自由项的偏微分方程称为齐次方程,否则称为非其次的;方程的解:
若将某函数代入偏微分方程后,使方程化为一个恒等式,则该函数为方程的解;通解:
包含任意独立函数的方程的解,且独立函数的个数等于方程的阶数;特解:
不含任意独立函数的方程的解.例如:
22()()sincosuuxyxy为一阶非线性非齐次偏微分方程;2222220uuuxyz为二阶线性齐次方程;二阶线性非其次偏微分方程22uyxxy的通解为221(,)()()2uxyxyxyFxGy其中,(),()FxGy为两个任意独立的函数.注意:
通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数.2.线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为(,)LuGxy其中,L为二阶线性偏微分算符,满足11221122.LcucLuLcucucLucLu
(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u为方程的解,则()cucR也为方程的解;b.12,uu为方程的解,则1122cucu也为方程的解.
(2).非齐次线性偏微分方程解的特征a.Iu为非齐次方程的特解,IIu为齐次方程的通解,则IIIuu为非其次的通解;b.若1122(,),(,).LuHxyLuHxy则1212(,)(,).LuLuHxyHxy任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第4页,共71页(3).线性偏微分方程的叠加原理若ku是方程(1,2,)kLufk的解(其中L为二阶线性线性偏微分算符),如果级数1()kkkkcucR收敛,且二阶偏导数存在,则1kkkucu一定是1kkkLucf的解;特别地,若ku是方程0Lu的解,则1kkkucu一定是0Lu的解.第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1.1三类基本方程的建立三类基本方程的建立0.二阶线性偏微分方程归类二阶线性偏微分方程归类双曲型方程:
以波动方程为代表2222(,;).uaufxyztt描述:
各项同性的弹性体的波动、振动过程、声波、电磁波的传播规律等.抛物型方程:
以热传导方程为代表22(,;).uaufxyztt描述:
扩散过程、热传导过程满足的规律.双曲型方程,抛物型方程都是随时间变化的(发展的),有时也称为发展方程.椭圆型方程:
以Poisson方程为代表2(,;).ufxyzt当(,;)0fxyzt时,方程退化为Laplace方程.描述:
稳定场方程,如重力场、静力场、静磁场.1.波波动方程的建立动方程的建立弦的微小横振动问题弦的微小横振动问题考虑一根均匀柔软的细弦沿x轴绷紧,在平衡位置附近产生振幅极小的横振动,如图1.1所示.设(,)uxt是平衡时坐标为x的点t时刻沿y方向的位移,现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)xxdx与外界的相互作用以建立方程.假设:
(1)弦是完全柔软的,所以张力T沿着弦振动波形的切线方向;
(2)只讨论弦做横向振动,故忽略弦在水平方向的位移,弦的横向加速度为ttu,任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第5页,共71页单位长度的质量为或线密度为;(3)振动的振幅是极小的,因此张力与水平方向的夹角12,也是很小的,则332sin,3!
tan,3cos11.2!
iiiiiiiiii而2tan1().Tiiuukdsdxdxxx根据牛顿第二运动定律,在(纵向)水平方向上有21()cos()cos0()().TxdxTxTxdxTxTR在横向上有21sinsin()()()().ttttxdxxTTgdsdsuuuTgdsdsuxx根据()()()fxdxfxfxdx,上式可以化简为2222()().ttttuuTdxgdsdsuTguxx即弦的横振动方程为2222.(,)ttxxxxuTuauguax此式即为弦做微小横振动的运动方程,简称弦的振动方程,其中a就是弦上振动传播的速度.任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第6页,共71页图1.1所示讨论:
若弦的重量远远小于弦的张力,则重力加速度可以忽略不计,其运动方程为2.ttxxuau(*)此式称为弦的自由振动方程自由振动方程,也称为一维波动方程一维波动方程.如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)Fxt作用,则(*)式可以改为2(,).(*)ttxxuaufxt则(*)式称为弦的受迫振动,其中(,)(,).Fxtfxt传输线方程传输线方程(微波技术基础微波技术基础)今考虑一段高频的传输线,此时它被当作具有分布参数的导体,其等效电路模型为图1.2所示.由于输入的是交变电压,所以电压及电流将沿着传输线长度x变化,通常还是时间t的函数.下面来建立分布于传输线上的电压(,)vxt及电流(,)ixt所满足的方程.相关参数说明如下:
R每一回路单位的串联电阻,L每一回路单位的串联电感,C每一单位长度的分布电容,L每一单位长度的分布电导.图1.2设某瞬间在传输线上距离始端为x处的电压及电流分别为(,)vxt及(,)ixt.对dx小段回路进行分析,利用基尔霍夫第二定律,电压降应等于电势之和,可以得到(,)(,).ivxtvxdxtRdxiLdxt任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第7页,共71页令0dx,则(,)(,).xvxdxtvxtvdx从而0.viRiLxt(*)同样,电流(,)ixt由点xxdx时也有变化,有一部分电流将流向分支中的电导与电容.根据基尔霍夫第一定律,流入节点x的电流总和应该等于从节点流出的电流总和.另一方面,流经分支电容及电导的电流分别为vCdxt及.Gdxv因此(,)(,).vixtixdxtCdxGdxvt同样令0dx,则(,)(,).xixdxtixtidx从而0.ivCGvxt(*)由(*)及(*)可以分别得到(,)vxt及(,)ixt满足的方程22222222()().vvvLCRCGLGRvxttiiiLCRCGLGRixtt上式称为一般的传输线方程(电报方程).特别地,当信号在无失真线上传播时(RCLG),传输线方程为22222222222222121(,)12.vvvvxatataRGLCiiiixatat当传输线为无耗线时(0RG),传输线方程变为22222222.vvLCxtiiLCxt它与波动方程具有类似的数学形式.2.抛物型方程抛物型方程热传导方程的建立
(1).定义:
由于温度不均,热量将从温度高的地方向温度低的地方转移,这种现象叫做热传导现象.支配热传导现象的定律为能量守恒定律及傅立叶定律.任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第8页,共71页
(2).傅立叶定律在dt时间内,通过面积元dS流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率un成正比,也与dS及dt成正比,即().udQkdSdtkudSdtn其中,k为导热系数,由物体的材料决定.(3).热传导方程的建立现在求t时刻,物体内各点温度(,;)uxyzt应满足的规律.首先,根据傅立叶定律,从12tt时刻,通过曲面S流入体积V的全部热量为211.ttSQkudSdt其次,从12tt时刻,体积V中热源释放的热量为212(,;)dV.ttVQFxyztdt再次,从12tt时刻,体积V中温度变化所需的热量为213.ttVuQcdVdtt其中,c为物体比热,为物体密度.(注意:
比热公式.Qcmt)最后,根据能量守恒定律,得123.QQQ即222111(,;).ttttStVtVukudSdtFxyztdtcdVdtt(,;):
.()(,;)SVVSVVVVukudSFxyztdVcdVtGaussAdSAdVAuukudVFxyztdVcdVt21(,;)(,;).ukukuFxyztcuFxyzttcct所以,2221(,;).()ukauFxyztatcc此式即为三维热传导方程.特别地,若物体内无热源,则上式可以改为任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第9页,共71页222.()ukauatc在三维直角坐标系下,2222222.uuuuxyz3.椭圆型方程椭圆型方程静电场满足的Poisson方程.考虑在介电常数为的介质中,电荷分布为(,)fxyx,静电场(,)Exyx遵守的方程.
(1).支配静电现象的若干规律静电场的散度方程:
/.fE静电场的旋度方程:
0.E
(2).方程的建立.由00EEuu,其中u为静电势,2/./.ffEuuE称2/fu为Poisson方程.特别地,当没有电荷分布时,静电场满足Laplace方程20.u1.2定解条件定解条件(初始条件与边界条件初始条件与边界条件)1.初始条件初始条件定义:
说明某一具体物理现象的初始状态.例如:
对于热传导问题,若已知物理量u的初始温度分布,即0(,;)|(,).tuxyztxyz其中(,)xyz为已知函数.对于振动过程,由于出现ttu,所以需要两个初始条件,即初始位移及初始速度:
00(,;)|(,).(,;)|(,)tttuxyztxyzuxyztxyz而对于描述稳态场的Poisson
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