概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案.pdf
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1第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布习题习题2.11口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5从中任取3只,以X表示取出的3个球中的最大号码
(1)试求X的分布列;
(2)写出X的分布函数,并作图解:
(1)X的全部可能取值为3,4,5,且1.01013513=XP,3.010335234=XP,6.010635245=XP,故X的分布列为6.03.01.0543PX;
(2)因分布函数F(x)=PXx,分段点为x=3,4,5,当x3时,F(x)=PXx=P()=0,当3x4时,F(x)=PXx=PX=3=0.1,当4x5时,F(x)=PXx=PX=3+PX=4=0.1+0.3=0.4,当x5时,F(x)=PXx=PX=3+PX=4+PX=5=0.1+0.3+0.6=1,故X的分布函数0=1PX=0=10.583752=0.4162488设随机变量X的分布函数为=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(xxxxxxF试求X的概率分布列及PX1,PX1解:
X的全部可能取值为其分布函数F(x)的分段点0,1,3,6,且41041)00()0(0=FFXP,1214131)01()1(1=FFXP,5613121)03()3(3=FFXP,21211)06()6(6=FFXP,故X的概率分布列为2161121413210PX;且31)03(3=FXPXP;43411)01(1111=FXPXP9设随机变量X的分布函数为=.e,1e;1,ln;1,0)(xxxxxF试求PX2,P0X3,P2X2.5解:
PX2=F(20)=ln2;P0X3=F(3)F(0)=10=1;P2X2.5=F(2.50)F
(2)=ln2.5ln2=ln1.2510若PXx1=1,PXx2=1,其中x1x2,试求Px1Xx2注:
此题有误,应改为“试求Px1Xx2”解:
Px1Xx2=PXx2PXx1=PXx2+PXx11=1+11=111从1,2,3,4,5五个数字中任取三个,按大小排列记为x1x2x3,令X=x2,试求
(1)X的分布函数;
(2)PX4解:
(1)X的全部可能取值为2,3,4,且3.010335312=XP,4.010435223=XP,3.010335134=XP,因分布函数F(x)=PXx,分段点为x=2,3,4,当x2时,F(x)=PXx=P()=0,当2x3时,F(x)=PXx=PX=2=0.3,当3x4时,F(x)=PXx=PX=2+PX=3=0.3+0.4=0.7,当x4时,F(x)=PXx=P()=1,故X的分布函数=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(xxxxxF
(2)PX4=P()=012设随机变量X的密度函数为=.,0;11|,|1)(其他xxxp试求X的分布函数解:
分布函数F(x)=PXx,分段点为x=1,0,1,6当x1时,F(x)=PXx=P()=0,当1x0时,21221122)
(1)()(22121+=+=+=xxxxuuduuduupxFxxx,当0x1时,xxxuuuuduuduuduupxF0201200122)1()
(1)()(+=+=21202211022+=+=xxxx,当x1时,F(x)=PXx=P()=1,故X的分布函数+=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22xxxxxxxxxF13如果X的密度函数为=.2|,0;2|,cos)(xxxAxp试求
(1)系数A;
(2)X落在区间(0,/4)内的概率解:
(1)由密度函数正则性知122sin2sinsincos)(2222=+AAAxAxdxAdxxp,故21=A;
(2)所求概率为4204sin21sin21cos21404040=xxdxXP15设连续随机变量X的分布函数为=.1,1;10,;0,0)(2xxAxxxF7试求
(1)系数A;
(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3)X的密度函数解:
(1)由连续随机变量分布函数的连续性知AAxFFFx=211)(lim)01()1(1,故A=1;
(2)所求概率为P0.3X0.7=F(0.7)F(0.3)=0.720.32=0.4;(3)密度函数p(x)=F(x),当x0时,F(x)=0,有p(x)=F(x)=0,当0x1时,F(x)=x2,有p(x)=F(x)=2x,当x1时,F(x)=1,有p(x)=F(x)=0,故X的密度函数为=.,0;10,2)(其他xxxp16学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时它的密度函数为+=.,0;5.00,)(2其他xxcxxp
(1)确定常数c;
(2)写出X的分布函数;(3)试求在20min内完成一道作业的概率;(4)试求10min以上完成一道作业的概率解:
(1)由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=+=+=+cxxcdxxcxdxxp,故c=21;
(2)分布函数F(x)=PXx,分段点为x=0,0.5,当x0时,F(x)=PXx=P()=0,当0x0.5时,2727)21()()(2302302xxuuduuuduupxFxxx+=+=+=,当x0.5时,F(x)=PXx=P()=1,故X的分布函数+=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23xxxxxxF(3)所求概率为541718127731213173131602023=+=+=FXP;(4)所求概率为108103721216716121617161161601023=FXP17某加油站每周补给一次油如果这个加油站每周的销售量(单位:
千升)为一随机变量,其密度函数为a0.05,则05.010011001100105.0)(510051004=+axdxxdxxpaXPaaa,故0720.45)05.01(1005=a18设随机变量X和Y同分布,X的密度函数为a和B=Ya独立,且P(AB)=3/4,求常数a解:
由于事件A和B独立,且显然有P(A)=P(B),则43)()
(2)()()()()()()()(2=+=+=APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPU,可得21)(=AP或23)(=AP(舍去),显然0a=axxxaXPAPaa,故34=a19设连续随机变量X的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X的分布函数,求证对任意实数a0,有
(1)=adxxpaFaF0)(5.0)
(1)(;
(2)P|X|a=21F(a)证:
(1)因p(x)为偶函数,有+=aadxxpdxxp)()(且5.0)(0=dxxp,则+=+=aaadxxpdxxpdxxpdxxpaF000)(5.0)()()()(,故=+aaaadxxpaFdxxpdxxpdxxpaF0)(5.0)
(1)
(1)()()(;
(2)P|X|a=PaXa=1P|X|a=1P|X|a=12F(a)1=22F(a)0xp(x)aa9习题习题2.21设离散型随机变量X的分布列为3.03.04.0202PX试求E(X)和E(3X+5)解:
E(X)=
(2)0.4+00.3+20.3=0.2;E(3X+5)=
(1)0.4+50.3+110.3=4.42某服装店根据历年销售资料得知:
一位顾客在商店中购买服装的件数X的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210PX试求顾客在商店平均购买服装件数解:
平均购买服装件数为E(X)=00.10+10.33+20.31+30.13+40.09+50.04=1.93某地区一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210PX试求该地区发生重大交通事故的月平均数解:
月平均数E(X)=00.301+10.362+20.216+30.087+40.026+50.006+60.002=1.2014一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶,现已知其中有5桶被海水污染了若从中随机抽取8桶,记X为8桶中被污染的桶数,试求X的分布列,并求E(X)解:
X的全部可能取值为0,1,2,3,4,5,且0511.012597064358208150=XP,2554.012597032175820715151=XP,3973.012597050050820615252=XP,2384.012597030030820515353=XP,0542.01259706825820415454=XP,0036.0125970455820315555=XP,故X的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210PX且E(X)=00.0511+10.2554+20.3973+30.2384+40.0542+50.0036=25用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中),现有三组砝码:
(甲)1,2,2,5,10(g);(乙)1,2,3,4,10(g);(丙)1,1,2,5,10(g),称重时只能使用一组砝码问:
当物品的质量为1g、2g、10g的概率是相同的,用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?
10解:
设X1,X2,X3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数,当物品的质量为1g、2g、10g时,有X1=1、1、2、2、1、2、2、3、3、1,即PX1=1=0.4,PX1=2=0.4,PX1=3=0.2,X2=1、1、1、1、2、2、2、3、3、1,即PX2=1=0.5,PX2=2=0.3,PX2=3=0.2,X3=1、1、2、3、1、2、2、3、4、1,即PX3=1=0.4,PX3=2=0.3,PX3=3=0.2,PX3=4=0.1,则平均砝码数E(X1)=10.4+20.4+30.2=1.8,E(X2)=10.5+20.3+30.2=1.7,E(X3)=10.4+20.3+30.2+40.1=2,故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少6假设有十只同种电器元件,其中有两只不合格品装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望解:
设X表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数,X的全部可能取值为0,1,2,则541080=XP,458981021=XP,45188911022=XP,故9245124581540)(=+=XE7对一批产品进行检查,如查到第a件全为合格品,就认为这批产品合格;若在前a件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格设产品的数量很大,可以认为每次查到不合格品的概率都是p问每批产品平均要查多少件?
解:
设X表示检查一批产品要查的件数,X的全部可能取值为1,2,a1,a,则PX=1=p,PX=2=(1p)p,PX=a1=(1p)a2p,PX=a=(1p)a1,即E(X)=1p+2(1p)p+(a1)(1p)a2p+a(1p)a1,有(1p)E(X)=1(1p)p+2(1p)2p+(a2)(1p)a2p+(a1)(1p)a1p+a(1p)
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