全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全13立体几何初步.docx
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全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全13立体几何初步
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
(13立体几何初步)
一、选择题:
1.(2006安徽文、理)表面积为
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为()
A.
B.
C.
D.
1.解:
此正八面体是每个面的边长均为
的正三角形,所以由
知,
,则此球的直径为
,故选A。
2.(2006北京理)平面
的斜线
交
于点
,过定点
的动直线
与
垂直,且交
于点
,则动点
的轨迹是()
(A)一条直线(B)一个圆(C)一个椭圆(D)双曲线的一支
2.解:
设
与
是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线
垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点
与
垂直所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面
的交线上,故选A
B
3.(2006北京文)设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是()
D
A
(A)若AC与BD共面,则AD与BC共面
(B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C
(C)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
(D)若AB=AC,DB=DC,则AD
BC
3.解:
A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾;
C不正确,如图所示:
D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明。
选C
4.(2006福建文、理)已知正方体外接球的体积是
,那么正方体的棱长等于()
A.2B.
C.
D.
4.解:
正方体外接球的体积是
,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,棱长等于
,选D.
5.(2006福建文、理)对于平面
和共面的直线m、n,下列命题中真命题是()
A.若m⊥
,m⊥n,则n∥
B.若m∥
,n∥
,则m∥n
C.若m
,n∥
,则m∥nD.若m、n与
所成的角相等,则n∥m
5.解:
对于平面
和共面的直线
、
真命题是“若
则
”,选C.
6.(2006广东)给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是()
A.4B.3C.2D.1
6.解:
①②④正确,故选B.
7.(2006湖南理)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()
A.
B.
C.
D.
7.解:
棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都
在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图为△ABF,则图中AB=2,E为AB中点,则EF⊥DC,在△DCE中,DE=EC=
,DC=2,∴EF=
,∴三角形ABF的面积是
,选C.
8.(2006湖南理)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有()
A.4条B.6条C.8条D.12条
8.解:
如图,过平行六面体
任意两条棱的中点作直线,其中与平面
平行的直线共有12条,选D.
9.(2006湖南文)过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是()
A.π B.2π C. 3π D.
9.解:
过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角是60°,则截面圆的半径是
R=1,该截面的面积是π,选A.
10、.(2006湖北文、理)关于直线m、n与平面
与
,有下列四个命题:
()
①若
且
,则
;
②若
且
,则
;
③若
且
,则
;
④若
且
,则
;
其中真命题的序号是
A.①②B.③④C.①④D.②③
10.解:
用排除法可得选D
图1
11.(2006江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)无穷多个
11.【思路点拨】本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积
【正确解答】由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,所以选D.
【解后反思】正方体是大家熟悉的几何体,它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化。
12.(2006江西文)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是( )
A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
12.解:
因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等,故A,C正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故D正确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。
故选B
13、(2006江西理)如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有()
A.S1S2B.S1S2
C.S1=S2
D.S1,S2的大小关系不能确定
13.解:
连OA、OB、OC、OD
则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD
VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA-BEFD=VA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共,故选C
14.(2006辽宁文、理)给出下列四个命题:
垂直于同一直线的两条直线互相平行.
垂直于同一平面的两个平面互相平行.
若直线
与同一平面所成的角相等,则
互相平行.
若直线
是异面直线,则与
都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是()
(A)1(B)2(C)3(D)4
14.【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现
、
、
、
均不正确,故选择答案D。
【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力,同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。
15.(2006全国Ⅰ文、理)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()
A.
B.
C.
D.
15.正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2
,∴球的半径为
,球的表面积是
,选C.
16.(2006全国II理)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()
(A)
(B)
(C)
(D)
16.解:
设球的半径为R,过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为
的圆,所以
故选A
本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等
17.(2006全国II理)如图,平面
平面
,
与两平面
、
所成的角分别为
和
.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为
、
则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
17.解:
连接
设AB=a,可得AB与平面
所成的角为
在
同理可得AB与平面
所成的角为
所以
因此在
所以
故选A
本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系.有一定的难度
18.(2006全国II文)如图,平面
平面
,
与两平面
、
所成的角分别为
和
。
过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为
、
若AB=12,则
()
(A)4 (B)6(C)8 (D)9
18.解:
连接
设AB=a,可得AB与平面
所成的角为
在
同理可得AB与平面
所成的角为
所以
因此在
所以
故选A
19.(2006山东文)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()
(A)1∶
(B)1∶3(C)1∶3
(D)1∶9
19.解:
设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为
,它的外接球的半径为
,故所求的比为1∶3
,选C
20.(2006山东理)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则P-DCE三棱锥的外接球的体积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
20.解:
易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为1,故外接球半径为
,
外接球的体积为
,选C
21.(2006陕西文、理)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,
则正确的结论是()
A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
21.解:
已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等,则可能三点在α的同侧,即.平面ABC平行于α,这时三条中位线都平行于平面α;也可能一个点A在平面一侧,另两点B、C在平面另一侧,则存在一条中位线DE//BC,DE在α内,所以选D.
22.(2006四川文、理)已知二面角
的大小为
,
为异面直线,且
,则
所成的角为()
(A)
(B)
(C)
(D)
23.(2006四川文)如图,正四棱锥
底面的四个顶点
在球
的同一
个大圆上,点
在球面上,如果
,则球
的表面积是()
(A)
(B)
(C)
(D)
24.(2006四川理)已知球
的半径是
,
三点都在球面上,
两点
和
两点的球面距离都是
,
两点的球面距离是
,则二面角
的大小是()
(A)
(B)
(C)
(D)
25.(2006四川文、理)直线
与抛物线
交于
两点,过
两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为
,则梯形
的面积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
26、(2006天津理)设
、
是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )
A.
B.
C.
D.
26、设
、
是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面。
下列命题中
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