高考数学总复习经典测试题解析版88 立体几何中的向量方法ⅱ求空间角距离.docx
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高考数学总复习经典测试题解析版88立体几何中的向量方法ⅱ求空间角距离
8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、距离
一、选择题
1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是( ).
A.平行B.相交
C.异面垂直D.异面不垂直
解析
建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),M(0,0,1),
O(1,1,0),N(2,t,2),
=(-1,1-t,-2),
=(-2,0,1),
·
=0,则直线NO、AM的
位置关系是异面垂直.
答案 C
2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且
=
,N为B1B的中点,则|
|为( ).
A.
aB.
aC.
aD.
a
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N
.
设M(x,y,z),∵点M在AC1上且
=
,
∴(x-a,y,z)=
(-x,a-y,a-z)
∴x=
a,y=
,z=
.得M
,
∴|
|=
=
a.
答案 A
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈
,
〉的值为( ).
A.
B.
C.
D.
解析 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,
DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角
坐标
系(如图),可知
=(2,-2,1),
=(2,2,-1),
cos〈
,
〉=-
,sin〈
,
〉=
,
答案 B
4.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平
面间的距离是( )
A.
B.
C.
D.3
解析两平面的一个单位法向量n0=
,故两平面间的距离d=|
·n0|=
.
答案 B
5.已知直二面角αlβ,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D
为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=( ).
A.2B.
C.
D.1
解析 如图,建立直角坐标系Dxyz,由已
知条件B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),由AB=2解得t=
.
答案 C
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上一点且FB=
BC,则GB与EF所成的角为( ).
A.30°B.120°C.60°D.90°
解析 如图建立直角坐标系Dxyz,
设DA=1,由已知条件
G
,B
,E
,F
,
=
,
=
cos〈
,
〉=
=0,则
⊥
.
答案 D
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为( )
A.
B.
C.2D.
解析如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1)
设AD=a,则
D点坐标为(1,0,a),
=(1,0,a),
=(0,2,2),
设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).
则
⇒
,令z=-1,
得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0),
则由cos60°=
,得
=
,即a=
,故AD=
.
答案:
A
二、填空题
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上.当∠APC最大时,三棱锥P-ABC的体积为________.
解析以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐
标系(如图),设
=λ
,可得P(λ,λ,λ),
再由cos∠APC=
可求得当λ=
时,∠APC最大,
故VP-ABC=
×
×1×1×
=
.
答案
9.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC
1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为________.
解析设M(
0,m,m)(0≤m≤a),
=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s0=
,由
=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=
=
=
,根式内的二次函数当m=-
=
时取最小值
2-a×
+
a2=
a2,故d的最小值为
a.
答案
a
10.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为
,则λ=________.
解析 由已知得
=
=
,
∴8
=3(6-λ),解得λ=-2或λ=
.
答案 -2或
11.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________.
解析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P
.
则
=(2a,0,0),
=
,
=(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
则cos〈
,n〉=
=
=
.∴〈
,n〉=60°,
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.
答案 30°
12.已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________.
解析 如图,建立直角坐标系Dxyz,
设DA=1由已知条件A(1,0,0),E
,F
,
=
,
=
,
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为θ,
由
得
令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cosθ=cos〈n,m〉=
,tanθ=
.
答案
三、解答题
13.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=
,∠CDA=45°.
(1)求证:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.
解析:
(1)证明:
因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).
在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.
在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.
设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).
由AB+AD=4得AD=4-t,
所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),
=(-1,1,0),
=(0,4-t,-t).
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
由n⊥
,n⊥
,得
取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).
又
=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos60°=|
|,即
=
,
解得t=
或t=4(舍去,因为AD=4-t>0),所以AB=
.
14.如图所示,四棱锥ABCDE中,底面BCDE为矩形,侧面
ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=
,AB=AC.
(1)证明:
AD⊥CE;
(2)设侧面ABC为等边三角形,求二面角CADE的大小.
解析
(1)证明 取BC中点O,连接AO,则AO⊥BC,由已知条件AO⊥平面BCDE,
如图,建立直角坐标系Oxyz,
则A(0,0,t),D(1,
,0),
C(1,0,0),E(-1,
,0),
=(1,
,-t),
=(-2,
,0),则
·
=0,因此AD⊥CE.
(2)作CF⊥AD垂足为F,连接EF,由AD⊥平面CEF知EF⊥AD,
则∠CFE为二面角CADE的平面角.
在Rt△ACD中,CF=
=
,在等腰△ADE中EF=
,
cos∠CFE=
=-
.
∴二面角CADE的余弦值为-
.
15.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.
(1)若M是线段AD的中点,求证:
GM∥平面ABFE;
(2)若AC=BC=2AE,求二面角ABFC的大小.
解析
(1)证明 法一 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.
由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FG∥BC,FG=
BC,
在▱ABCD中,M是线段AD的中点,则AM∥BC,且AM=
BC,因此FG∥AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA.
又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.
法二 因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.
取BC的中点N,连接GN,
因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.
在▱ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN∥AB.
因为MN∩GN=N,AB∩FB=B,所以平面GMN∥平面ABFE.
又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面ABFE.
(2
)法一 因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°,又EA⊥平面ABCD,
所以AC,AD,AE两两垂直.
分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得
A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),
E(0,0,1),所以
=(2,-2,0),
=(0,2,0).又EF=
AB,
所以F(1,-1,1),
=(-1,1,1).
设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·
=0,m·
=0,
所以
取z1=1,得x1=1,所以m=(1,0,1).
设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·
=0,n·
=0,
所以
取y2=1,得x2=1,则n=(1,1,0),
所以cos〈m,n〉=
=
.因此二面角ABFC的大小为60°.
法二 由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,
取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CH⊥AB,
则CH⊥平面ABFE.
过H向B
F引垂线交BF于R,连接CR,
则CR⊥BF,
所以∠HRC为二面角ABFC的平面角.
由题意,不妨设AC=BC=2AE=2.在直角梯形ABFE中,连接FH,
则FH⊥AB,又AB=2
,所以HF=AE=1,BH=
,
因此在Rt△BHF中,HR=
.
由于CH=
AB=
,所以在Rt△CHR中,tan∠HRC=
=
,
因此二面角ABFC的大小为60°.
16.如图,已知
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