数学建模实验答案 离散模型讲解.docx
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数学建模实验答案离散模型讲解
实验09离散模型(2学时)
(第8章离散模型)
1.层次分析模型
1.1(验证,编程)正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264
已知正互反阵
261?
?
?
?
1/21A?
4?
?
?
?
1/461/1?
?
注:
[263]定理2n阶正互反阵A的最大特征根≥n。
★
(1)用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果(见[264]):
>>A=[126;1/214;1/61/41];
>>[V,D]=eig(A)
V=
0.8685-0.8685-0.8685
0.47790.2390-0.4139i0.2390+0.4139i
0.13150.0658+0.1139i0.0658-0.1139i
D=
3.009200
0-0.0046+0.1663i0
00-0.0046-0.1663i
>>D=diag(D)
D=
3.0092
-0.0046+0.1663i
-0.0046-0.1663i
>>D=D.*(imag(D)==0)
D=
3.0092
0
0
>>[lambda,k]=max(D)
lambda=
13.0092
k=
1
>>w=V(:
k)/sum(V(:
k))
w=
0.5876
0.3234
0.0890
[263])
(2)幂法(见n正互反矩阵,算法步骤如下:
A为n×(0)w1);a.任取n维非负归一化初始列向量(分量之和为)k?
1)((k2,0,1,?
Aww,k?
;计算b.
1)?
(kw
1)k?
(?
w1)k?
(
w归一化,即令c.;
n
?
1)?
(kwi
1i?
)
(1)k(k?
1)k?
(?
)n|?
|w,(i?
w?
1,2,w即,当d.对于预先给定的精度ε时,ii
b;为所求的特征向量;否则返回到步骤1)?
(knw1?
?
i?
。
e.计算最大特征根
)(kwn1i?
i注:
)k(k?
1)(((k)k)?
?
?
wAw?
?
ww?
1)(k?
w?
in,i?
1,2,?
?
)k(wi
文件如下:
函数式m[lambdaw]=p263MI(A,d)
function——求正互反阵最大特征根和特征向量%幂法%A正互反方阵%d
精度2%lambda最大特征根归一化特征列向量%w
0.000001,则d取if(nargin==1)%若只输入一个变量(即A)d=1e-6;
end
的阶数取方阵An=length(A);%任取归一化初始列向量w0=w0/sum(w0);%w0=rand(n,1);
1
whileww=A*w0;
%归一化w=ww/sum(ww);
all(abs(w-w0) ;break end w0=w; end lambda=sum(ww./w0)/n; 的最大特征根和特征向量。 用幂法函数求A☆ (2) : )调用及运行结果([264] )和法(见(3)[264]3 A为n×n正互反矩阵,算法步骤如下: a~ijw? a.将A的每一列向量归一化得; ijn? aiji? 1n~~~? w? wwb.对;按行求和得iijij1j? ~w~Ti)ww,,ww,w(,? ? ? w即为近似特征向量;归一化c.将 n2i1ni~? wi1? in(Aw)1? ? i? ,作为最大特征根的近似值。 d.计算 nw1? ii函数式m文件如下: function[lambdaw]=p264HE(A) %和法——求正互反阵最大特征根和特征向量 %A 正互反方阵 %lambda最大特征 %w 归一化特征列向 AA=A/diag(sum(A));%a.的每一列向量归一 ww=sum(AA,2);%b.A按行求和w为列向 w=ww./sum(ww);%c.归一化,为近似特征列向 lambda=sum(A*w./w)/length(A)%d.计算最大特征根的近似 ☆(3)用和法函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果([264]): 4 [264])(4)根法(见 n正互反矩阵,算法步骤如下: A为n×a~ij? w将A的每一列向量归一化得;a. ijn? aij1? i1n~~~? ww)? (nw对次方得按行求积并开nb.;ijiij1? j~w~wT归一化c.将即为近似特征向量;i),wwww,(,w,? ? ? i ni21n~? wi1i? n)Aw(1? 计算,作为最大特征根的近似值。 d.? i? wn1? ii的最大特征根和特征向量。 ★(4)编写根法函数,用该函数求Asum,prod,diag] [提示: sum(A,2)。 对矩阵A按行求和的调用为按行求积的调用为Aprod(A,2)。 对矩阵Vdiag(V),用向量构造对角矩阵。 5 nargin,存放函数输入自变量的数目。 编写的程序和调用及运行结果(见[264]): function[lambdaw]=p264GEN(A) %根法——求正互反阵最大特征根和特征向量 %A 正互反方阵 %lambda最大特征根 %w归一化特征列向量 n=length(A); AA=A/diag(sum(A));%a.将A的每一列向量归一化 ww=(prod(AA,2)).^(1/n);%b.对AA按行求积并开n次方,ww为列向量 w=ww./sum(ww);%c.归一化,得w为近似特征列向量 lambda=sum(A*w./w)/n;%d.计算最大特征根的近似值λ 1.2(验证,编程)旅游决策问题p250~256 在下面程序中,脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m(求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR),6 p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m(求A的最大特征根及归一化特征列向量)。 (1)脚本式m文件如下: %旅游决策问题 %文件名: p250.m clear;clc;formatcompact; %层次分析法的基本步骤: %1.建立层次结构模型 %见p250图1选择旅游地的层次结构 %2.构造成对比较阵 %第2层为准则层: 景色、费用、居住、饮食和旅途5个准则 A=[11/2433;... 21755;... 1/41/711/21/3;... 1/31/5211; 1/31/5311]; %第3层为方案层: P1、P2和P3等3个供选择地点 B1=[125;1/212;1/51/21]; B2=[11/31/8;311/3;831]; B3=[113;113;1/31/31]; B4=[134;1/311;1/411]; B5=[111/4;111/4;441]; B=['B1';'B2';'B3';'B4';'B5']; %3.计算权向量并做一致性检查 %第2层 [lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A); ifCR2>=0.1%成对比较阵A的一致性检验 disp(['CR2=',num2str(CR2),'>0.1,A没有通过一致性检查! ']) 7 ;return end层第3%lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5); k=1: 5 for[lambda3(k)w3k(: k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,: ))); 的一致性检验成对比较阵B1ifCR3k(k)>0.1% 一通过,num2str(k),'没有disp(['CR3k(k)=',num2str(CR3k(k)),'>0.1,B' ])致性检查! ';return end end 计算组合权向量并做组合一致性检验%4.层)的组合权向量3层)对目标(第1w3=w3k*w2;%最下层(第层开始)从第3%第3层组合一致性检验(CI3=CI3k*w2; 的数值(下标对应成对比较方阵的阶数)RI: %随机一致性指标RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51]; RI3=RI([3,3,3,3,3])*w2;%标量CR3=CI3/RI3; ifCR3>0.1 ])'第3层没有通过组合一致性检查! 'CR3='disp([,num2str(CR3),'>0.1,;return end1层的组合一致性比率为%最下层(第3层)对第CR=CR2+CR3; CR>0.1if])没有通过组合一致性检查! ''CR='disp([,num2str(CR),'>0.1, ;return end 8 : %添加命令用于显示有关结果 m文件如下: (2)函数式 [lamdawCICR]=p250fun(A) functionCR一致性比率值一致性指标值CI、求%A的最大特征根及归一化特征列向量、成对比较阵(正互反方阵)%A %lamda最大特征根值的归一化特征列向量(权向量)%w A一致性指标值%CI 一致性比率值%CR A的最大特征根及归一化特征列向量求[lamdaw]=p264HE(A);%的数值(下标对应成对比较方阵的阶数): %随机一致性指标RIRI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51]; n=length(A); 的不一致程A为一致阵;CI越大时CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指标,CI=0A度越严重的不一致程度在容许范围之内时认为ACR=CI/RI(n);%一致性比率,CR<0.1 要求: 请仔细阅读以上程序,完成以下实验: m文件后面添加命令,使在脚本式层的数据。 显示第2★①;一致性比率;一致性指标CIλ包括: 最大特征根;特征向量(权向量)w。 CR: [254]添加的命令和运行结果(见) 9lambda2,w2,CI2,CR2 层的数据。 ★②显示第3CI。 ;最大特征根包括: 特征向量(权向量)wλ;一致性指标3): 表添加的命令和运行结果(见[255] w3k,lambda3,CI3k 10 ★③显示最下层(第3层)对目标(第1层)的组合权向量。 添加的命令和运行结果(见[255]): w3 ★④显示第2层和第3层的组合一致性比率,以及最下层对第1层的组合一致性比率。 添加的命令和运行结果(见[256]): CR2,CR3,CR 2.循环比赛的
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