≤a+ε,取ε=
a
,则知an
2
>a,所以选择(A)
2
2.下列曲线有渐近线的是
(A)y=x+sinx
1
(C)y=x+sin
x
(B)y=x2+sinx
(D)y=x2+sin1
x
【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以.
【详解】对于y=x+sin1,可知limy=1且lim(y-x)=limsin1=0,所以有斜渐近线y=x
应该选(C)
xx→∞x
x→∞
x→∞x
3.设P(x)=a+bx+cx2+dx3,则当x→0时,若P(x)-tanx是比x3高阶的无穷小,则下列选项
中错误的是()
(A)a=0
(B)b=1
(C)c=0
(D)d=1
6
【详解】只要熟练记忆当x→0时tanx=x+1x3+o(x3),显然a=0,b=1,c=0,d=1,应该选(D)
33
4.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f
(1)x,则在[0,1]上()
(A)当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)
(C)当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)
(B)当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
(D)当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.如果对区间上任意两
121212
点x,x及常数0≤λ≤1,恒有f((1-λ)x+λx)≥(1-λ)f(x)+λf(x),则曲线是凸的.
显然此题中x1=0,x2=1,λ=x,则(1-λ)f(x1)+λf(x2)=
f(0)(1-x)+f
(1)x=g(x),而
12
f((1-λ)x+λx)=
f(x),
1212
故当f'(x)≥0时,曲线是凹的,即f((1-λ)x+λx)≤(1-λ)f(x)+λf(x),也就是f(x)≤g(x),应该选(D)
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令
F(x)=
f(x)-g(x)=
f(x)-f(0)(1-x)-f
(1)x,则F(0)=F
(1)=0,且F"(x)=
f"(x),故当
f'(x)≥0时,曲线是凹的,从而F(x)≤F(0)=F
(1)=0,即F(x)=f(x)-g(x)≤0,也就是
f(x)≤g(x),应该选(D)
0
a
b
0
a
0
0
b
0
c
d
0
c
0
0
d
5.行列式等于
(A)(ad-bc)2
(B)-(ad-bc)2
(C)a2d2-b2c2
【详解】
(D)-a2d2+b2c2
0
a
b
0
a
0
0
b
0
c
d
0
c
0
0
d
a0ba0b
=-a0d0+b0c0
c0dc0d
=-ada
b+bcab
cdcd
应该选(B).
=-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2
6.设α1,α2,α3是三维向量,则对任意的常数k,l,向量α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量α1,α2,α3
线性无关的
(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件
(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件
【详解】若向量α1,α2,α3线性无关,则
⎛1
ç
(α1+kα3,α2+lα3)=(α1,α2,α3)ç0
k
ç
⎝
0⎫
÷
1⎪=(α1,α2,α3)K,对任意的常数k,l,矩阵K的秩都等
l
÷
⎭
于2,所以向量α1+kα3,α2+lα3一定线性无关.
⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫
ç÷ç÷ç÷
而当α1=ç0⎪,α2=ç1⎪,α3=ç0⎪时,对任意的常数k,l,向量α1+kα3,α2+lα3线性无关,但
ç0⎪ç0⎪ç0⎪
èøèøèø
α1,α2,α3线性相关;故选择(A).
7.设事件A,B想到独立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3则P(B-A)=()
(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4
【详解】P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A).
所以P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2.故选择(B).
8.设X1,X2
X3
为来自正态总体N(0,σ2)
的简单随机样本,则统计量S=X1-X2服从的分布是
(A)F(1,1)
(B)F(2,1)
(C)
t
(1)
2X3
(D)t
(2)
X-X
X-X
X-XX2
X-X
2σ
2σ
【详解】S=12=12,显然12~N(0,1),3~χ2
(1),且12~N(0,1)与
2
X
3
X322
ο2
X1-X2
2σ
X2
3
ο2
X2X-XX-X
3~χ2
(1)相互独立,从而S=12=12=
~t
(1)
2
X
3
2
X
ο22
3
故应该选择(C).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
9.设某商品的需求函数为Q=40-2p(p为商品的价格),则该商品的边际收益为.
【详解】R(p)=pQ=40p-2p2,边际收益R'(p)=40-4p.
10.设D是由曲线
xy+1=0与直线
x+y=0及
y=2所围成的有界区域,则D的面积
为.
2
【详解】S=⎰1dy⎰0dx+⎰2dy⎰01dx=1+ln2
0-y1-
y
11.设⎰axe2xdx=1,则a=.
04
a2x
1e2x
ae2a11
【详解】⎰0xe
dx==
4
4(2x-1)|0=
(2a-1)+.所以a=.
442
11⎛x2⎫
12.二次积分⎰dy⎰çe-ey2⎪dx=.
⎝
⎭
0yçx⎪
11⎛x2⎫1xx211
⎰dy⎰çe-ey2⎪dx=⎰dx⎰edy-⎰dy⎰ey2dx
⎝
⎭
0yçx
⎪00x0y
1xx21
【详解】
=⎰dx⎰edy-⎰ey2(1-y)dy
00x0
=⎰1ex2dx-⎰1ey2dy+⎰1yey2dy=⎰1yey2dy=1(e-1)
00002
13.设二次型f(x,x,x)=x2-x2+2axx
+
4xx
的负惯性指数是1,则a的取值范围
12312
是.
1323
【详解】由配方法可知
f(x,x,x)=x2-x2+2axx+4xx
123121323
=(x1
+ax)2-(x
-2x3
)2+(4-a2)x2
3
3
2
由于负惯性指数为1,故必须要求4-a2≥0,所以a的取值范围是[-2,2].
⎨
⎧2x,θ14.设总体X的概率密度为f(x,θ)=⎪3θ2
,其中θ是未知参数,X1,X2
,Xn
是来自总
n
⎩⎪0,其它
体的简单样本,若C∑X2是θ2的无偏估计,则常数C=.
i
i=1
22θ22x52
⎛n2⎫52n22
【详解】E(X
)=⎰θ
xdx=θ
3θ22
,所以EçC∑Xi
⎪=Cnθ
2
,由于C∑Xi
是θ的无偏估计,
⎝i=1⎭
i=1
故Cn5
2
=1,C=.
2
5n
三、解答题
15.(本题满分10分)
求极限lim
x→+∞
1
(t2(et-1)-t)dt
x
⎰
1.
x2ln(1+1)
x
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限.
【详解】
x
1
⎰(t2(et-1)-t)dt
1
x
⎰(t2(et-1)-t)dt1
lim1
x→+∞
x2ln(1+1)
x
=lim1
x→+∞x
=lim(x2(ex-1)-x)
x→∞
=⎛211
1⎫1
limçx
x→∞⎝
16.(本题满分10分)
{
(+
x2x
2
+
o(
2
2
2)-x⎪=
x⎭2
xsin(πx2+y2)
}⎰⎰
设平面区域D=
(x,y)|1≤x+y
≤4,x≥0.y≥0.计算
D
x+y
dxdy
【详解】由对称性可得
xsin(πx2+y2)
ysin(πx2+y2)
(x+y)sin(πx2+y2)
1
⎰⎰x+y
dxd=⎰⎰
x+y
dxd=2⎰⎰
x+y
dxdy
π
DDD
sin(πx2+y2)
=1⎰⎰
dxd=
1⎰2dθ⎰2rsinπrdr=-3
2D1
2014
17.(本题满分10分)
设函数
具有二阶连续导数,z=x
∂2z∂2z
+x2x=+
满足(4zecosy)e.若
f(u)
f(e
cosy)
∂x2∂y2
f(0)=0,f'(0)=0,求f(u)的表达式.
【详解】
设u=excosy,则z=
f(u)=
f(excosy),
∂z=
∂x
f'(u)e
xcosy,
∂2z=
∂x2
f"(u)e2x
cos2y+
f'(u)ex
cosy;
∂z=-
∂y
f'(u)ex
siny,
∂2z=
∂y2
f"(u)e2x
sin2
y-f'(u)ex
cosy;
∂2z+∂2z=
2x=x2x
∂2z+∂2z=
∂x2∂y2
+x2x
f"(u)e
f"(ecosy)e
由条件∂x2
∂y2
(4z
ecosy)e,
可知
f"(u)=4f(u)+u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为:
1122
f(u)=Ce2u+Ce-2u其中C,C为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为y*=-
1u.
4
故非齐次方程通解为f(u)=Ce2u+Ce-2u-1u.
124
11
将初始条件f(0)=0,f'(0)=0代入,可得C1=16,C2=-16.
所以f(u)的表达式为f(u)=
1e2u-
1e-2u-1u.
18.(本题满分10分)
∞
16164
求幂级数∑(n+1)(n+3)xn的收敛域、和函数.
n=0
an+1
an
【详解】
由于lim
n→∞
=1,所以得到收敛半径R=1.
当x=±1时,级数的一般项不趋于零,是发散的,所以收敛域为(-1,1).
∞
令和函数S(x)=∑(n+1)(n+3)xn,则
n=0
∞∞∞
2nn
n∞n+2⎫⎛∞n+1⎫
⎛
S(x)=∑(n+4n+3)x=∑(n+2)(n+1)x+∑(n+1)x
=ç∑x⎪"+ç∑x⎪'
n=1n=1
⎛x2⎫⎛x⎫3-x
n=1
⎝n=1
⎭⎝n=1⎭
=ç1-x⎪"+ç1-x⎪'=(1-x)3
⎝⎭⎝⎭
19.(本题满分10分)
x
设函数f(x),g(x)在区间[a.b]上连续,且f(x)单调增加,0≤g(x)≤1,证明:
(1)
0≤⎰ag(t)dt≤x-a,
x∈[a,b];
b
(2)⎰⎰af(x)dx≤⎰f(x)g(x)dx.
a+g(t)dtb
aa
【详解】
xxx
(1)证明:
因为0≤g(x)≤1,所以⎰0dx≤⎰g(t)dt≤⎰1dtx∈[a,b].
aaa
x
即0≤⎰ag(t)dt≤x-a,x∈[a,b].
x
a
a
(2)令F(x)=⎰xf(u)g(u)du-⎰a+⎰ag(t)dtf(u)du,
则可知F(a)=0,且F'(x)=f(x)g(x)-g(x)f⎛ça+⎰xg(t)dt⎫⎪,
⎝a⎭
x
因为0≤⎰ag(t)dt≤x-a,且f(x)单调增加,
所以f⎛ça+⎰xg(t)dt⎫⎪≤
f(a+x-a)=
f(x).从而
⎝a⎭
F'(x)=
f(x)g(x)-g(x)f⎛ça+⎰xg(t)dt⎫⎪≥
f(x)g(x)-g(x)f(x)=0,
x∈[a,b]
⎝a⎭
b
也是F(x)在[a,b]单调增加,则F(b)≥F(a)=0,即得到
⎰a+⎰ag(t)dtf(x)dx≤⎰bf(x)g(x)dx.
aa
20.(本题满分11分)
⎛1-2
ç
3-4⎫
÷
ç
设A=ç01
1
⎝2
-11
03
⎪,E为三阶单位矩阵.
÷
⎭
(1)求方程组AX=0的一个基础解系;
(2)求满足AB=E的所有矩阵.
【详解】
(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下:
⎛1-23
ç
-4⎫
÷
⎛1-2
ç
3-4⎫
⎪
÷
⎛1-23
ç
-4⎫
÷
⎛1001⎫
ç⎪
0
⎝
A=ç01-11⎪→ç01
-11⎪→ç01
-11⎪→ç010
-2⎪,
1
0
⎭
0
⎭
2
0
3
⎝
ç⎪ç
⎝⎭⎝
4-31⎭ç
01-3⎪ç
01-3⎪
得到方程组AX=0同解方程组
⎧x1=-x4
x
⎨2
4
⎪=2x
⎪x=3x
⎩34
æ-1ö
ç
ç
得到AX=0的一个基础解系ξ1=ç
ç
⎝
⎪
2⎪
3
⎪.
÷
1⎭
1
⎛x
ç
çx2
yz⎫
1
1⎪
y2z2⎪
x
⎪
(2)显然B矩阵是一个4⨯3矩阵,设B=ç
ç3
y3z3⎪
⎝x4
对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下:
y4z4⎭
⎛1-2
ç
3-41
00⎫
÷
⎛1-23
ç
-41
00⎫
÷
(AE)=ç01-11010⎪→ç01
-11
010⎪
1
1
0
1
2
0
3
0
0
⎭
ç⎪ç
⎝⎭⎝
4-31
-10⎪
⎛1-2
3-41
00⎫
⎛1001
26-1⎫
→ç01
-11
⎪ç
010→010-2
-1-31⎪
ç
0
0
1
⎝
ç-3
⎪ç
1
⎭⎝
-1-4⎪ç
0
01-3
⎪
1
⎭
-1-4⎪
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
⎛x1⎫⎛2⎫
⎛-1⎫⎛y1⎫⎛6⎫
⎛-1⎫⎛z1⎫⎛-1⎫⎛-1⎫
ç⎪ç⎪
ç⎪ç⎪ç⎪
ç⎪ç⎪ç⎪ç⎪
çx2⎪
ç-1⎪
ç2⎪
çy2⎪
ç-3⎪
ç2⎪
çz2⎪
ç1⎪
ç2⎪
çx⎪=ç-1⎪+c1ç3⎪,çy⎪=ç-4⎪+c2ç
3⎪,çz⎪=ç1⎪+c3ç3⎪,
ç3⎪ç⎪ç⎪ç3⎪ç⎪
ç⎪ç3⎪ç⎪ç⎪
z
⎝x4⎭⎝0⎭⎝1⎭⎝y4⎭⎝0⎭⎝1⎭ç4⎪⎝0⎭⎝1⎭
⎝⎭
即满足AB=E的所有矩阵为
⎛2-c1
6-c2
-1-c3⎫
ç-1+2c
-3+2c
1+2c⎪
ç
B=ç1
-1+3c
2
-4+3c
3⎪
1+3c⎪
其中c1,c2,c3为任意常数.
21.(本题满分11分)
ç1
⎝c1
23⎪
c2c3⎭
⎛111⎫
ç⎪
⎛001⎫
ç⎪
证明n阶矩阵ç11
1⎪ç00
与
2⎪
相似.
ç
ç
⎝11
⎪ç
⎪ç
1⎭⎝00
⎛111⎫
ç⎪
⎪
÷
n⎭
⎛001⎫
ç⎪
【详解】证明:
设A=ç11
1⎪,B=ç002⎪.
ç
ç
⎝11
⎪
÷
1⎭
ç⎪
ç⎪
⎝00n⎭
λ-1
-1
-1
-1
λ-1
-1
-1
-1
λ-1
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:
λE-A=
=(λ-n)λn-1,
所以A的n个特征值为λ1=n,λ2=λ3=λn=0;
⎛λ⎫
ç⎪
ç0⎪
而且A是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且A~ç⎪;
ç⎪
⎝0⎭
λ
0
-1
0
λ
-2
0
0
λ-n
λE-B==(λ-n)λn-1
所以B的n个特征值也为λ1=n,λ2=λ3=λn=0;
对于n-1重特征值λ=0,由于矩阵(0E-B)=-B的秩显然为1,所以矩阵B对应n-1重特征值λ=0
的特征向量应该有n-1个线性无关,进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量,即矩阵B一定可以对
⎛λ
ç
ç
角化,且B~ç0
ç
⎝
⎛1
ç
⎫
÷
⎪
⎪
⎪
0⎭
11⎫
÷
⎛001⎫
ç⎪
ç
从而可知n阶矩阵ç11
1⎪ç00
与
2⎪
相似.
ç
⎝11
22.(本题满分11分)
⎪
÷
1⎭
ç⎪
ç⎪
⎝00n⎭
设随机变量X的分布为P(X=1)=P(X=2)=1,在给定