高中数学竞赛试题及答案.docx
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高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题
总分200分
一、选择题(50分)
1、已知
是虚数单位,则复数
=()
A
B
C
D
2、下列函数中,既是奇函数,又是在区间
上单调递增的函数是()
A
B
C
D
3、已知
均为单位向量,其夹角为
,则命题
是命题
的()
A充分非必要条件B必要非充分条件
C充要条件D非充分非必要条件
4、已知集合
,若
,则实数
的取值范围是()
A
B
C
D
5、函数
的最大值是()
A
B
C
D
6、如图,四棱锥
的底面是正方形,
底面
,则下列结论中不正确的是()
A
B
平面
C
与
所成的角等于
与
所成的角
D
与平面
所成的角等于
与平面
所成的角
7、程序框图如图所示,若
,输入
的值为0.25,则输出的结果是()
A
B
C
D
8、设
分别表示平面直角坐标系
轴上的单位向量,且
,则
的取值范围是()
A
B
C
D
9、已知
分别为双曲线
的左右焦点,点
的坐标为
,则
的平分线与轴的交点
的坐标为()
A
B
C
D
10、设
,若方程
无实根,则方程
()
A有四个相异实根B有两个相异实根
C有一个实根D无实数根
二、填空题(共49分)
11、设直线
与直线
关于直线
对称,则
12、已知
,则
13、已知
,则
的值为_______.
14、已知实数
满足
,则
的最小值为_______.
15、设数列
为等比数列,且每项都大于1,则
的值为_______.
16、设
,则
的最小值为_______.
4017
2018
4015
11
2018
9
17、如图是一个残缺的
幻方,此幻方每一行每一列及每一条对角线上得三个数之和有相等的值,则
的值为_______.
三、解答题(每题17分,共51分)
18、已知实数
满足
,求
的平均值.
19、设
为椭圆
长轴上一个动点,过点
斜率为
直线交椭圆于两点。
若
的值仅仅依赖于
而与
无关,求
的值.
20、设
,且
。
试证对
,存在
,使
且
.
四、附加题(每题25分,共50分)。
21、设圆
与
,圆
与
,圆
与
,圆
与
分别外切于
,试证:
(1)
四点共圆;
(2)四边形
是某个圆的外切四边形;并且该圆的半径不超过四边形
的外接圆的半径.
22、设
为
的一个排列,记
,求
可以取到的所有值.
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