高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念.docx
- 文档编号:615235
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:319.35KB
高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念.docx
《高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念
第五章定积分的概念
教学目的与要求:
1.解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。
2.解广义积分的概念并会计算广义积分。
3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。
5.1定积分概念
一.定积分的定义
不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分
定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点
,
把区间[a,b]分成n个小区间
,记
在[
]上任意取一点
,作和式:
如果无论[a,b]作怎样分割,也无论
在[
]怎样选取,只要
有
I(I为一个确定的常数),则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做
即I=
其中f(x)为被积函数,f(x)dx为积分表达式,a为积分下限,b为积分上限,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间。
注
1.定积分还可以用
语言定义
2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=
和S=
3有定义知道
表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x无关,即
=
=
4定义中的
不能用
代替
5如果
存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?
经典反例:
在[0,1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
6几何意义
当f(x)
0时,
表示曲边梯形的面积;当f(x)
0时,
表示曲边梯形的面积的负值;一般地,若f(x)在[a,b]上有正有负,则
表示曲边梯形面积的代数和。
[例1]计算
解:
显然f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积,现将[0,1]分成n个等分,分点为
,
,
取
作和式:
所以:
=e-1
7.按照定义
5.2定积分的性质积分中值定理
有定积分的定义知,
是当ab时无意义,但为了计算及应用的方便,特作两个规定:
1.a=b时,
=0
2.a>b时,
=-
性质1:
和差的定积分等于它的定积分的和差,即
性质2:
常数因子可以外提(可以推广到n个)
性质3:
无论a,b,c的位置如何,有
性质4:
f(x)
则
性质5:
若f(x)
g(x)则
性质6:
性质7:
设在
,
,则
性质8:
(积分中值定理)若f(x)在[a,b]上连续,则[a,b]上至少存
一点
,使下式成立,
例1.利用定积分几何意义,求定积分值
上式表示介于
之间面积
例2、(估计积分值)证明
证:
在
上最大值为
,最小值为2
∴
∴
5.3定积分的计算方法
一.变上限积分函数的导数
设函数f(x)在[a,b]上连续,x为[a,b]上任一点,显然,f(x)在[a,b]上连续,从而可积,定积分为
由于积分变量与积分上限相同,为防止混淆,修改为
(
)称
是变上限积分的函数。
定理1:
设f(x)在[a,b]上连续,则
在[a,b]上可导,且导数为
证明省略
定理2:
如果函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数
是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
注意:
1定理说明了连续函数的原函数一定存在
2此定理指出了定积分与原函数的关系
二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式
定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则
。
(1)
证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据前面的定理知道,积分上限的函数
也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数,即
。
(2)
在上式中令x=a,得
。
又由的定义式及上节定积分的补充规定知,因此,C=F(a)。
以F(a)代入
(2)式中的C,以
代入
(2)式中的,可得
,
在上式中令x=b,就得到所要证明的公式
(1)。
由积分性质知,
(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见,以后把F(b)–F(a)记成
。
公式
(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式,它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法,也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分
。
解
。
例2 计算
。
解
。
例3 计算
。
解
。
例4 计算正弦曲线y=sinx在[0,]上与x轴所围成的平面图形的面积。
解
。
例5 求
解 易知这是一个
型的未定式,我们利用洛必达法则来计算。
因此
。
例6、
5.4定积分的换元法
定理:
设
(1)f(x)在[a,b]上连续,
(2)函数
在
上严格单调,且有连续导数,(3)
时,
且
则有换元公式:
…….
(1)
注
1.用换元法时,当用
将积分变量x换成t求出原函数后,t不用回代,只要积分上下限作相应的变化即可。
2.
必须严格单调
3.
可以大于
4.从左往右看,是不定积分的第二换元法;从右往左看,可以认为是第一换元法。
例1、
法一设
法二设
原式
例2.设
在
上连续,且
证明:
若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数。
证:
例3.奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质
(1)
在[-a,a]连续,
当
为偶数,则
当
为奇函数,则
(2)
,
以T为周期
说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。
例4、
原式
例5、
例6、设
为连续函数,且
求
解:
设
则
两边积分
∴
5.5定积分的分部积分法
定理:
若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数,则
证明:
因为
,则有
,两边取定积分。
有
也可以写成:
例1.
解:
例2.
解:
=
=
=
[
]
例3、设
,
求
解:
例4.设
在
连续,
可导,且
,
证明在
内,有
证:
在
单调减,
故
5.6定积分的近似计算
5.7广义积分
一无穷限的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a,+)上连续,取b>a,若极限
存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积分,记作
,即
。
(1)
这时也称广义积分
收敛;若上述极限不存在,称为广义积分
发散。
类似地,若极限
存在,则称广义积分
收敛。
设函数f(x)在区间(-,+)上连续,如果广义积分
和
都收敛,则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-,+)上的广义积分,记作
,也称广义积分
收敛;否则就称广义积分
发散。
上述广义积分统称为无穷限的广义积分。
例1:
计算广义积分
解:
=
例2.计算广义积分
以及
解:
显然发散
同理
也发散
例3:
证明广义积分
(a>0)当p>1时收敛,当p1时发散。
证 当p=1时,
当p1时,
因此,当p>1时,这广义积分收敛,其值为
;当p1时,这广义积分发散。
二.无界函数的广义积分
现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。
定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续,而在点a的右领域内无界,取
,如果极限
存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分,仍然记作
,这时也称广义积分
收敛。
类似地,设函数f(x)在[a,b]上除点c(a 与 都收敛,则定义 ; (2) 否则,就称广义积分 发散。 例1 证明广义积分 当q<1时收敛,当q1时发散。 证 当q=1时, , 当q1时, 因此,当q<1时,这广义积分收敛,其值为 ;当q1时,这广义积分发散。 例2.计算广义积分 解: 例3: 广义积分可以相互转化
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学习 资料 讲义 全部内容 积分 概念