九年级上单元过关自测卷含答案第3章图形的相似.docx
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九年级上单元过关自测卷含答案第3章图形的相似
第3章过关自测卷
(90分钟100分)
一、选择题(每题3分,共24分)
1.已知:
a=0.2,b=1.6,c=4,d=,则下列各式中正确的是()
A.a∶b=c∶dB.a∶c=d∶bC.a∶b=d∶cD.a∶d=c∶b
2.下列命题中:
①所有的等腰三角形都相似;②有一对锐角相等的两个直角三角形相似;③四个角对应相等的两个梯形相似;④所有的正方形都相似,正确命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
3.如图1,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,位似比为2∶5,且三角尺的一边长为8cm,则投影三角形的对应边长为()
A.8cmB.20cmC.3.2cmD.10cm
4.如图2,已知△ABC的BC边上有两点D、E,且△ADE是正三角形,则下列条件不一定能使△ABD与△AEC相似的是()
A.∠BAC=120° B.AC²=EC·EB
C.DE²=BD·EC D.∠EAC+∠B=60°
图1图2图3
5.如图3,AD是△ABC的高,EF⊥BC,F为垂足,E是AB边的中点,DC=BF,若BC=10,则DC的长是()
A. B. C.2 D.
6.如图4,在平行四边形ABCD中,过点B的直线BF与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC,交AB于G,则图中相似三角形有()
A.4对B.5对C.6对D.7对
图4图5图6
7.如图5,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为()
A.12mB.10mC.8mD.7m
8.(2013,新疆)如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=
60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为()
A.2 B.2.5或3.5 C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.5
二、填空题(每题3分,共24分)
9.一个多边形的边长依次为1,2,3,4,5,6,与它相似的另一个多边形的最大边长为8,那么另一个多边形的周长是__________.
10.如图7,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,=2,则︰=_________.
图7图8图9图10
11.如图8,△ABC中,点D在AB上,请填上一个你认为适合的条件_______________,使得△ACD∽△ABC.
12.(2013,淄博)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图9,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有___________条.
13.如图10,光源P在横杆AB的上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,已知AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,那么AB与CD间的距离是__________.
14.如图11,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为____________.
图11图12图13
15.(2013,南通)如图12,在□ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,
∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4cm,则EF+CF的长为_________cm.
16.(2013,苏州)如图13,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为___________.
三、解答题(23题10分,其余每题7分,共52分)
17.如图14,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,求AB∶BC的值.
图14
18.(2013,怀化)如图15,已知在△ABC与△DEF中,∠C=54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°.求证:
△ABC∽△DEF.
图15
19.如图16,已知△ADE∽△ABC,∠A=70°,∠B=45°,AE=3cm,EB=4cm,AD=4cm,求∠AED的度数及AC的长.
图16
20.(2013,滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正视图如图17所示,其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm,过B点作BH⊥AD,分别交EF,AD于M,H,过C点作CG⊥AD,分别交EF,AD于N,G.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?
(材质及其厚度等暂忽略不计).
图17
21.如图18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.求证:
(1)BH=CG;
图18
(2)FC²=BF·GF;
(3)=.
22.如图19,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.
(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△与
△OAB对应线段的比为2∶1,画出△(所画△与△OAB在原点两侧);
图19
(2)求出线段所在直线对应的函数关系式.
23.(2013,遵义)如图20,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:
秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
.
图20
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?
若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由
参考答案及点拨
一、1.C点拨:
∵a=0.2,b=1.6,c=4,d=,且0.2×4=1.6×,∴ac=bd,∴a∶b=d∶c,故选C.
2.B点拨:
①所有的等腰三角形形状不一定相同,故不一定都相似,故此选项错误;②有一对锐角相等的两个直角三角形相似,根据已知可得出三角形两对对应角相等,故此选项正确;③在梯形内,做一腰的平行线,得一小梯形,显然小梯形与原梯形不相似,故此选项错误;④所有的正方形的四个角都是直角,对应边成比例,所以所有的正方形都相似,此选项正确,故正确的有2个,故选B.
3.B点拨:
∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,位似比为2∶5,三角尺的一边长为8cm,∴投影三角形的对应边长为:
8÷=20(cm),故选B.
4.B点拨:
本题在根据各选项中条件判定△ABD与△AEC相似时,易不理解判定定理2中“两边成比例且夹角相等”这一条件而出错.
5.C点拨:
∵AD是△ABC的高,EF⊥BC,F为垂足,E是AB边的中点,∴EF∥AD,∴BF=DF,∵DC=BF,BC=10,∴BF=10,∴BF=4,∴DC=2.故选C.
6.B点拨:
题图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5对,理由是:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∠D=∠ABC,∴△ABC≌△CDA,即△ABC∽△CDA,∵GE∥BC,∴△AGE∽△ABC∽△CDA,∵GE∥BC,AD∥BC,∴GE∥AD,∴△BGE∽△BAF,∵AD∥BC,∴△AFE∽△CBE,故选B.
7.A点拨:
如答图1,∵ED⊥AD,BC⊥AC,∴ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴=,而AD=8m,AC=AD+CD=8+22=30(m),ED=3.2m,∴BC===12(m),∴旗杆的高为12m,故选A.
答图1
8.D点拨:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,∴AB=2BC=4cm,∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E以1cm/s的速度从A点出发,∴BD=BC=1cm,BE=AB-AE,若∠BED=90°,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°,∴BE=BD=12cm,∴t=3.5,当B→A时,t=4+0.5=4.5.若∠BDE=90°,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BED=30°,∴BE=2BD=2cm,∴t=4-2=2,当B→A时,t=4+2=6(舍去).综上可得:
t的值为2或3.5或4.5,故选D.
二、9.28点拨:
设另一个多边形的周长是x,依题意,有x∶(1+2+3+4+5+6)=8∶6,解得x=28,故另一个多边形的周长是28.
10.4∶9点拨:
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,又∵AD∶DB=2∶1,∴AD∶AB=2∶3,∴S△ADE∶S△ABC=4∶9.
11.∠2=∠ACB点拨:
要使△ACD∽△ABC,已知有一对公共角,则可添加∠2=∠ACB或∠1=∠B,从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定,答案不唯一.
12.3点拨:
如答图2,过P点作PD∥BC交AC于D,过P点作PE∥AC,交BC于E,当PD∥BC时,△APD∽△ABC;当PE∥AC时,△BPE∽△BAC;连接PC,∵∠A=36°,AB=AC,点P在AC的垂直平分线上,∴AP=PC,∠ABC=∠ACB=72°,∴∠ACP=∠PAC=36°,∴∠PCB=36°,∴∠B=∠B,∠PCB=∠A,∴△CPB∽△ACB,故过点P的△ABC的相似线最多有3条,故答案为3.
答图2
13.1.8m点拨:
∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,设CD到AB距离为xm,则=,又∵AB=2m,CD=6m,∴=,∴x=1.8,故答案为1.8m.
14.3点拨:
延长CB到E,使EB=CB,连接DE交AB于P.则DE就是PC+PD的和的最小值,如答图3.∵AD∥BE,∴∠A=∠PBE,∠ADP=∠E,∴△ADP∽△BEP,∴AP∶BP=AD∶BE=4∶6=2∶3,∴PB=PA,又∵PA+PB=AB=5,∴PB=AB=3.
答图3
15.5点拨:
∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE;又∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE=∠BAE,∴AB=BE=6cm,∴EC=9-6=3(cm),∵BG⊥AE,垂足为G,∴AE=2AG.在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=6cm,BG=4cm,∴AG==2cm,∴AE=2AG=4cm;∵EC∥AD,∴====,∴=,=,解得:
EF=2cm,FC=3cm,∴EF+CF的长为5cm,故答案为5.
16.(2,4-2)点拨:
∵四边形OABC是边长为2的正方形,∴OA=OC=2,OB=2,∵QO=OC,∴BQ=OB-OQ=2-2,∵AB∥OC,∴△BPQ∽△OCQ,∴=,即=,解得BP=2-2,∴AP=AB-BP=2-(2-2)=4-2,∴点P的坐标为(2,4-2),故答案为(2,4-2).
三、17.解:
如答图4,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,BC=2BD,设AD=
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