数学九年级上北师大版22用配方法求解一元二次方程同步训练A.docx
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数学九年级上北师大版22用配方法求解一元二次方程同步训练A
用配方法求解一元二次方程(A)
一、选择题
1.已知b<0,关于x的一元二次方程(x﹣1)2=b的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.有两个实数根
2.已知关于x的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是()
A.m≥﹣
B.m≥0C.m≥1D.m≥2
3.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()
A.x﹣6=﹣4B.x﹣6=4C.x+6=4D.x+6=﹣4
4.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为()
A.(x+1)2=0B.(x﹣1)2=0C.(x+1)2=2D.(x﹣1)2=2
5.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是()
A.(x﹣6)2=﹣4+36B.(x﹣6)2=4+36C.(x﹣3)2=﹣4+9D.(x﹣3)2=4+9
6.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为()
A.(x+1)2=6B.(x﹣1)2=6C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=9
7.关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是x1=﹣3,x2=2,则方程m(x+h﹣3)2+k=0的解是()
A.x1=﹣6,x2=﹣1B.x1=0,x2=5C.x1=﹣3,x2=5D.x1=﹣6,x2=2
8.x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,下列说法正确的是()
A.x1小于﹣1,x2大于3B.x1小于﹣2,x2大于3
C.x1,x2在﹣1和3之间D.x1,x2都小于3
二、填空题
9.一元二次方程x2+3﹣2
x=0的解是 .
10.将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式,则m= .
11.方程x2﹣2x﹣2=0的解是 .
12.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣4,则
= .
三、解答题
13.解方程:
x2﹣6x﹣4=0.
14.有n个方程:
x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:
“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的.
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
15.解方程
(1)x2﹣2x﹣1=0
(2)
=
.
16.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:
x2+
x=﹣
,…第一步
x2+
x+(
)2=﹣
+(
)2,…第二步
(x+
)2=
,…第三步
x+
=
(b2﹣4ac>0),…第四步
x=
,…第五步
嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2﹣4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠O)的求根公式是 .
用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
参考答案
一、选择题
1.已知b<0,关于x的一元二次方程(x﹣1)2=b的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.有两个实数根
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±
,被开方数应该是非负数,故没有实数根.
【解答】解:
∵(x﹣1)2=b中b<0,
∴没有实数根,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
2.已知关于x的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是()
A.m≥﹣
B.m≥0C.m≥1D.m≥2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】首先移项把﹣m移到方程右边,再根据直接开平方法可得m的取值范围.
【解答】解;(x+1)2﹣m=0,
(x+1)2=m,
∵一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根,
∴m≥0,
故选:
B.
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
3.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()
A.x﹣6=﹣4B.x﹣6=4C.x+6=4D.x+6=﹣4
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的,进而可直接得到答案.
【解答】解:
(x+6)2=16,
两边直接开平方得:
x+6=±4,
则:
x+6=4,x+6=﹣4,
故选:
D.
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
4.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为()
A.(x+1)2=0B.(x﹣1)2=0C.(x+1)2=2D.(x﹣1)2=2
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本题中,把常数项﹣1移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.
【解答】解:
把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=1,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=1+1
配方得(x﹣1)2=2.
故选D.
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
5.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是()
A.(x﹣6)2=﹣4+36B.(x﹣6)2=4+36C.(x﹣3)2=﹣4+9D.(x﹣3)2=4+9
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】根据配方法,可得方程的解.
【解答】解:
x2﹣6x﹣4=0,
移项,得x2﹣6x=4,
配方,得(x﹣3)2=4+9.
故选:
D.
【点评】本题考查了解一元一次方程,利用配方法解一元一次方程:
移项、二次项系数化为1,配方,开方.
6.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为()
A.(x+1)2=6B.(x﹣1)2=6C.(x+2)2=9D.(x﹣2)2=9
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】计算题.
【分析】方程常数项移到右边,两边加上1变形即可得到结果.
【解答】解:
方程移项得:
x2﹣2x=5,
配方得:
x2﹣2x+1=6,
即(x﹣1)2=6.
故选:
B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
7.关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是x1=﹣3,x2=2,则方程m(x+h﹣3)2+k=0的解是()
A.x1=﹣6,x2=﹣1B.x1=0,x2=5C.x1=﹣3,x2=5D.x1=﹣6,x2=2
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【专题】计算题.
【分析】利用直接开平方法得方程m(x+h)2+k=0的解x=﹣h±
,则﹣h﹣
=﹣3,﹣h+
=2,再解方程m(x+h﹣3)2+k=0得x=3﹣h±
,所以x1=0,x2=5.
【解答】解:
解方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)得x=﹣h±
,
而关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是x1=﹣3,x2=2,
所以﹣h﹣
=﹣3,﹣h+
=2,
方程m(x+h﹣3)2+k=0的解为x=3﹣h±
,
所以x1=3﹣3=0,x2=3+2=5.
故选:
B.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±
;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±
.
8.x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,下列说法正确的是()
A.x1小于﹣1,x2大于3B.x1小于﹣2,x2大于3
C.x1,x2在﹣1和3之间D.x1,x2都小于3
【考点】解一元二次方程-直接开平方法;估算无理数的大小.
【专题】计算题.
【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案.
【解答】解:
∵x1、x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解,且x1<x2,
∴(x﹣1)2=5,
∴x﹣1=±
,
∴x2=1+
>3,x1=1﹣
<﹣1,
故选:
A.
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小,求出两根是解题关键.
二、填空题
9.一元二次方程x2+3﹣2
x=0的解是 x1=x2=
.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】先分解因式,即可得出完全平方式,求出方程的解即可.
【解答】解:
x2+3﹣2
x=0
(x﹣
)2=0
∴x1=x2=
.
故答案为:
x1=x2=
.
【点评】此题考查了解一元二次方程,熟练掌握求根的方法是解本题的关键.
10.将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式,则m= 3 .
【考点】配方法的应用.
【专题】计算题.
【分析】原式配方得到结果,即可求出m的值.
【解答】解:
x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=(x+3)2﹣6=(x+m)2+n,
则m=3,
故答案为:
3
【点评】此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
11.方程x2﹣2x﹣2=0的解是 x1=
+1,x2=﹣
+1 .
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】首先把常数﹣2移到等号右边,再两边同时加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方公式,再开方,解方程即可.
【解答】解:
x2﹣2x﹣2=0,
移项得:
x2﹣2x=2,
配方得:
x2﹣2x+1=2+1,
(x﹣1)2=3,
两边直接开平方得:
x﹣1=
,
则x1=
+1,x2=﹣
+1.
故答案为:
x1=
+1,x2=﹣
+1.
【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
12.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m﹣4,则
= 4 .
【考点】解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】利用直接开平方法得到x=±
,得到方程的两个根互为相反数,所以m+1+2m﹣4=0,解得m=1,则方程的两个根分别是2与﹣2,则有
=2,然后两边平方得到
=4.
【解答】解:
∵x2=
,
∴x=±
,
∴方程的两个根互为相反数,
∴m+1+2m﹣4=0,解得m=1,
∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2,
∴
=2,
∴
=4.
故答案为:
4.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=±
;如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±
.
三、解答题
13.解方程:
x2﹣6x﹣4=0.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把左边配成完全平方式,右边化为常数.
【解答】解:
移项得x2﹣6x=4,
配方得x2﹣6x+9=4+9,
即(x﹣3)2=13,
开方得x﹣3=±
,
∴x1=3+
,x2=3﹣
.
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
14.有n个方程:
x2+2x﹣8=0;x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:
“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=﹣2.”
(1)小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的.
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】阅读型.
【分析】
(1)移项要变号;
(2)移项后配方,开方,即可得出两个方程,求出方程的解即可.
【解答】解:
(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的,
故答案为:
⑤;
(2)x2+2nx﹣8n2=0,
x2+2nx=8n2,
x2+2nx+n2=8n2+n2,
(x+n)2=9n2,
x+n=±3n,
x1=2nx2=﹣4n.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能正确配方,题目比较好,难度适中.
15.解方程
(1)x2﹣2x﹣1=0
(2)
=
.
【考点】解一元二次方程-配方法;解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】
(1)方程常数项移到右边,两边加上1,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:
(1)移项得:
x2﹣2x=1,
配方得:
x2﹣2x+1=2,即(x﹣1)2=2,
开方得:
x﹣1=±
,
则x1=1+
,x2=1﹣
;
(2)去分母得:
4x﹣2=3x,
解得:
x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,以及解分式方程,利用配方法解方程时,首先将二次项系数化为1,常数项移到右边,然后两边加上一次项系数以一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解.
16.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:
x2+
x=﹣
,…第一步
x2+
x+(
)2=﹣
+(
)2,…第二步
(x+
)2=
,…第三步
x+
=
(b2﹣4ac>0),…第四步
x=
,…第五步
嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误;事实上,当b2﹣4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠O)的求根公式是 x=
.
用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】阅读型.
【分析】第四步,开方时出错;把常数项24移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.
【解答】解:
在第四步中,开方应该是x+
=±
.所以求根公式为:
x=
.
故答案是:
四;x=
;
用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0
解:
移项,得
x2﹣2x=24,
配方,得
x2﹣2x+1=24+1,
即(x﹣1)2=25,
开方得x﹣1=±5,
∴x1=6,x2=﹣4.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
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