《平面与平面平行》教学设计.docx
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《平面与平面平行》教学设计
平面与平面平行
一、内容和内容解析
1.内容
平面与平面平行的判定与性质.
2.内容解析
本节课是在学习了平面与平面平行的定义、直线与平面平行的判定及性质的基础上,探究平面与平面的平行的判定定理和性质定理.平面与平面的平行关系是空间图形的基本位置关系,由平面与平面的平行可进一步掌握直线与平面平行、直线与直线平行的位置关系.
空间中,基本图形位置关系的研究,主要是以某两种图形的位置关系为前提(定义),研究相应的充分条件(判定)和必要条件(性质).无论是性质还是判定,都是“空间基本图形确定的相互关系”.平面与平面平行的判定定理,反映了两个平面在具备了什么条件下互相平行的问题,是充分条件.这一定理与平面的组成要素有关,由于两条相交直线不仅确定一个平面,而且根据平面向量基本定理,它们还能够表示这个平面上的所有直线,从而能够代表这个平面,因此,如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行,那么这个平面上的所有直线都和另一个平面平行,从而这两个平面平行.平面与平面平行的性质定理,反映了在两个平面平行的条件下,这两个平面内的一些直线之间的位置关系,是必要条件.当两个平行平面内的直线处在同一平面时,也就是它们是第三个平面与这两个平面的交线时,这两条直线具有平行这种特殊的位置关系.因此,平面与平面的平行的判定定理和性质定理是平面与平面平行的核心研究内容.
平面与平面平行的判定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程,体现了直观感知、确认操作,思辨论证的立体几何研究的基本方法,有利于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养.平面与平面平行的判定和性质的研究,从与这两个平面有关的基本元素(点、直线、平面)出发,考虑其位置关系,这也体现了研究空间基本图形位置关系的基本思路和方法.两个平面平行的判定定理和性质定理的探究,是平面与平面平行、直线与平面平行、直线与直线平行等位置关系的转化,也体现了立体几何研究中由简单到复杂、由易到难的研究思路.
基于以上分析,确定本节课的教学重点:
平面与平面平行的判定定理和性质定理的探究.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)探究并理解平面与平面平行的判定定理.
(2)探究并证明平面与平面平行的性质定理.
(3)结合平面与平面判定定理和性质定理的探究,体会立体几何中研究位置关系的判定和性质的方法.
2.目标解析
达成目标
(1)的标志是:
学生能在两个平面平行的定义的基础上,将平面与平面平行的判定转化为直线与平面平行的判定;进而能联系相交直线或平行直线可以确定一个平面,将一个平面内的“任意一条直线平行于另一个平面”转化为“两条相交直线或平行直线平行于另一个平面”;并通过实验,发现平面与平面平行的判定定理.
达成目标
(2)的标志是:
学生能够将平面与平面的平行转化为这两个平面内的直线之间的位置关系;并借助长方体模型,找到这两个平面内的直线处于平行这种特殊位置关系的条件,进而发现平面与平面平行的性质定理;并能依据基本事实对性质定理进行证明.
达成目标(3)的标志是:
结合平面与平面平行的判定定理和性质定理的探究,体会什么是判定,什么是性质;了解发现图形位置关系的判定和性质的目标;能借助直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的转化,利用其中的特殊位置关系发现相应的判定定理与性质定理;体会其中一般到特殊、复杂向简单的转化.
三、教学问题诊断分析
由于学生没有将平面与平面平行的问题转化为直线与平面的问题解决的经验,从平面与平面平行的定义转化到一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,是探究判定定理的关键,这里需要教师的适当引导.从一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面到一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面是探究判定定理的难点,困难的原因是学生对基本事实的认识肤浅,没有意识到基本事实既是立体几何的基石,又是立体几何研究的出发点和重要依据,联系基本事实,可以将“任意一条直线”的问题转化为“两条直线”的问题,对于“两条平行直线确定的平面平行于另一个平面,那么这个平面上的任意直线并不都平行于另一个平面”,通过实验操作直观感知,学生容易理解,但从向量的角度进行解释需要教师的引导.
学生对于平面与平面平行的性质定理的证明并不感到困难,难点在于平面与平面平行的性质定理的应用,其中一个重要的原因是忽视了性质定理发现的过程.实际上,性质定理的本质是要发现与这两个平面有关的直线、平面与它们的相互关系.两个平面平行,这两个平面内的直线互相平行或异面;一个平面上的直线和另一个平面平行.这两个平面以外的其他平面如果与其中一个平行,则它与另一个也平行(平行公理);如果与其中一个相交,则它与另一个也相交,并且交线平行(性质定理).
基于以上分析,确定本节课的教学难点:
判定定理的探究中将“任意一条直线”转化为“两条相交直线”,性质定理的探究中第三个平面的提出.
四、教学过程设计
引言
我们研究了直线与平面平行,重点研究了其判定和性质,接下来自然想到要研究两个平面平行,还是要研究其判定与性质.下面我们来探究这两个问题.
(一)探究两个平面平行的判定定理
问题1 两个平面平行可以通过定义来判断,即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行,由于平面的无限延展,很难去判断平面与平面是否有公共点,因此很难直接利用定义判断.数学中的“定义”都是充要条件,类似于研究直线与平面平行的判定那样,平面与平面平行,是否有更简便的判定方法呢?
师生活动:
学生独立思考后交流,师生对话,将判断两个平面没有公共点的问题转化为一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
设计意图:
明确探究策略——两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线平行于另一个平面的问题;达成共识——如果一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行.这有利于学生今后对两个平面平行的理解,有利于基本几何元素位置关系的转化,有利于探究意识的形成.
问题2:
平面内的直线有无数多条,我们难以对所有直线逐一检验,能否将“一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面”中的“任意一条直线”减少,得到更简便的方法?
追问1:
减少到一条可以吗?
为什么?
师生活动:
在学生猜想的基础上,师生对话,举出反例.
追问2:
根据基本事实的推论2,3,两条平行直线或两条相交直线都可以确定一个平面.由此可以想到,由“一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行”和“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,能否判断这两个平面平行?
用语言和符号表示你的结论.
师生活动:
在学生动手操作、合情猜想的基础上,教师再设计如下“观察—探究”的活动:
如图1
(1),a,b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线,它们都和桌面平行.请观察硬纸片与桌面平行吗?
如图1
(2),c,d分别是三角尺的两条边所在直线,它们都和桌面平行,请观察这个三角尺与桌面平行吗?
在上述“观察—探究”的基础上,请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的平面与平面平行的判定方法以及如何用字母符号和图形表示,之后再让学生看教科书里给出的平面与平面平行的判定定理,及其符号和图形表示.
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
设计意图:
通过层层递进的问题,将“利用定义”判断,转化为“利用任意一条直线”来判断,再转化为“利用两条相交直线”来判断.这一过程,体现了研究立体几何图形位置关系的一般思路,即从要研究的问题出发,结合要得到的目标,由复杂向简单转化.在这一过程中,关注平面的基本事实的作用,关注其中的特殊位置关系.上述过程在逻辑上是自然的,但对于学生是十分困难的.因此,得到判定定理的过程中的猜想显得十分重要.当然,这里的猜想不是“胡猜”,是有依据的猜想.这一过程也体现了直观感知、操作确认这一立体几何的研究方法在发现图形位置关系中的作用,有利于提升学生数学抽象、直观想象等数学素养.
追问3:
为什么不能用“一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面”判断两个平面平行,而可以用“一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面”判断两个平面平行?
联想平面向量基本定理,你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗?
师生活动:
共同回忆平面向量基本定理,平面内的两条相交直线代表两个不共线向量,而平面内的任意向量可以表示为它们的线性组合,从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线;而两条平行直线所表示的向量是共线的,用它们不能“表示”这个平面上的任意一条直线.
设计意图:
直观感知,操作确认“一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行,不能判断两个平面平行”是容易的,设计上述追问可以让学生从向量的角度对其原因做一些阐释,使学生进一步理解用“两条相交直线”表示“任意一条直线”的合理性和重要性,以避免今后学生使用判定定理时忽视“相交直线”这个关键条件,也加深对平面向量基本定理的理解.事实上,平面与平面平行的判定定理在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中可以用向量方法证明.
(二)应用定理,熟练掌握
问题3:
在实际生活中,你见过工人师傅怎样判断两个平面平行吗?
你能说明这么做的道理吗?
师生活动:
有些学生会见过房间装修,或家具安装,或农村盖房过程中工人师傅测水平的工具和操作(如图2),可以体会其中的数学道理.
设计意图:
使学生了解判定定理在实际生活中的应用,培养学生的应用意识,进一步加强对判定定理的理解.
追问:
(1)看到要证明的结论,你能想到用什么方法?
(学生活动预设:
两个平面平行的判定定理.)
设计意图:
熟悉判定定理的应用,体会平面与平面的平行到直线与平面平行,再到直线与直线平行的空间位置关系的转化,规范书写格式.
(三)探究并证明两个平面平行的性质定理
问题4:
下面我们研究平面与平面平行的性质.类比直线与平面平行的研究,已知两个平面平行,我们可以得到哪些结论?
追问1:
从哪些角度考虑我们能得到的结论?
师生活动:
教师组织学生观察长方体(图4),师生对话,学生会得到以下这些结论:
如果两个平面平行,那么:
(1)一个平面内的直线必平行另一个平面;
(2)一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点,它们或者是异面直线,或者是平行直线.
设计意图:
先对两个平行平面内的直线具有什么位置关系做整体了解,然后再聚焦性质定理.
追问2:
在分别位于两个平行平面内的直线中,平行是一种特殊情况,什么时候这两条直线平行呢?
追问3:
没有公共点的直线中,平行是一类重要位置关系.在图4中,平面A′C′与平面AC平行,在平面AC内过点D有平行于直线B′D′的直线吗?
如果有,怎样画出这条直线?
师生活动:
(师生共同探究)由直线B′D′和点D可以确定一个平面,这个平面也是平行直线DD′和BB′确定的平面,它与平面AC有唯一过点D的公共直线BD,直线BD与直线B′D′都在直线B′D′和点D确定的平面内,且没有公共点,所以BD∥B′D′.
设计意图:
在性质定理给出之前,先结合长方体,建立直观具体的模型,有利于理解性质定理的意义.
追问4:
你能够将上面的探究结果抽象为一般结论,并证明你的结论吗?
.
师生活动:
学生可能的答案有:
如果两个平面平行,
(1)过一个平面内的一条直线和另一个平面内一点的平面与另一个平面相交,交线与这条直线平行;
(2)过一个平面内的一条直线的平面与另一个平面相交,交线与这条直线平行;
(3)一个平面与这两个平面相交,交线平行.
教师分析每一个回答,在此基础上,师生共同得出性质定理,并进行证明(证明略).
性质定理 两个平面平行,如果一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
设计意图:
先具体再抽象符合学生的认知规律,通过对学生回答的答案分析、辨析、归纳,有利于培养学生的抽象概括能力.
(四)应用定理,熟练掌握
追问1:
证明两条线段相等的方法很多,在本题条件下,要证明AB=CD,你想到了什么?
预设学生活动:
构造平行四边形,利用其对边相等而得到AB=CD.
追问2:
这么说来,AB与CD是一个平行四边形的一组对边,那么另一组对边怎么构造呢?
题目的条件如何使用?
师生活动:
师生共同完成本题的证明.
证明:
过平行线AB,CD作平面γ,与平面α和β分别相交于AC和BD.
∵α∥β,
∴BD∥AC.
又AB∥CD,
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AB=CD.
设计意图:
熟悉性质定理的应用,规范格式,了解平面与平面平行的一些其他性质.
(五)巩固练习
1.在描述箭头的括号处填上适当的词.
2.教科书第142页练习第1,2,3题.
(六)归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1)平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么?
利用它们分别可以证明什么样的命题?
(2)在平面与平面平行的判定定理的探究中,为什么可以将“一个平面内任意直线平行于另一个平面,则两个平面平行”,转化为“一个平面内两条相交直线平行于另一个平面,则两个平面平行”?
(3)回顾直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的学习,你能发现什么规律吗?
设计意图:
通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的核心——平面与平面平行的判定定理和性质定理.
(七)布置作业
教科书第143页练习第4题.
教科书习题8.5第8题.
五、目标检测设计
1.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F,R分别是棱PA,PB,PC,AB上的点,且平面DEF∥平面ABC,直线PR交直线DE于点Q.求证:
直线CR∥直线FQ.
设计意图:
考查学生对平面与平面平行判定定理的理解.
设计意图:
考查学生对平面与平面平行判定定理的理解.
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- 平面与平面平行 平面 平行 教学 设计