第三章 一元一次方程.docx
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第三章一元一次方程
第三章一元一次方程
知识要点总结
一、从算式到方程
●方程
含有未知数的等式叫做方程。
●一元一次方程
方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。
其中“元”是指未知数,“一元”是指一个未知数;“次”是指含有未知数的项的最高次数,“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。
●等式、方程、一元一次方程的区别和联系
区别
举例
联系
等式
用等号连接的式子。
3+2=5
都是用等号连接的式子
方程
含有未知数的等式。
x+y=2
一元一次方程
方程两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
x+1=0
●解方程与方程的解
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程的概念:
求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
判断一个未知数的值是不是方程的解:
将未知数的值代入方程,看左右两边的值是否相等,能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程的解。
●等式的性质
等式的性质1:
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等。
等式的性质1用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
等式的性质2用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么
=
。
二、解一元一次方法
●一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意要点
(1)去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母。
(2)去括号
去掉括号,括号内的每项符号都要同时变或不变。
(3)移项
移项要变号。
(4)合并同类项
只要把系数合并,字母和它的指数不变。
(5)方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。
若为0,则方程可能无解或有无穷多解。
三、实际问题与一元一次方程
●用方程思想解决实际问题的一般步骤
1.审:
审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系。
2.设:
设未知数(可分直接设法,间接设法)。
3.列:
根据题意列方程。
4.解:
解出所列方程。
5.检:
检验所求的解是否符合题意。
6.答:
写出答案(有单位要注明答案)。
注意:
用列方程的方法解决实际问题的一般思路是分析数量关系,列出方程。
列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量。
列方程解应用题的一般步骤是设未知数,列方程,解方程,求出方程的解。
实际问题中的数量关系比较隐蔽,关键是审题,弄清问题背景,分析清楚数量关系,特别是找出可以作为列方程依据的相等关系。
●有关常见实际问题及各量之间的关系
1、和、差、倍、分问题
倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。
(表达的数学意义是什么?
)
多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2、工程问题
工程问题有三个基本量:
工作量、工作时间、工作效率,其基本关系为:
工作总量=工作效率×工作时间;一般情况下把全部工作量看作1。
(什么是工作效率?
)
思考:
一个游泳池安有A、B、C三个水管,A单独开10h注满水池,B单独开6h注满,C单独开20h可排掉满池的水,如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?
完成拼装乐高模型积木,甲同学单独完成需要20天,乙同学单独完成需要12天,甲同学和乙同学合干6天后,再由乙同学继续完成,乙同学再做几天可以完成全部乐高模型积木?
3、行程问题
行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间.
基本类型有
①相遇问题;
②追及问题;常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题.
水上(空中)问题.
此类问题主要涉及四个量:
静水船速、水速、逆水船速、顺水船速.基本关系为:
顺水船速=静水船速+水速;逆水船速=静水船速-水速。
天津与上海两站相距1200km,一列慢车从上海站开往天津站,每小时行120km,一列快车从天津站开往上海站,每小时行240km,已知慢车先行1.5h,快车行驶多长时间后能够与慢车相遇?
4、商品销售问题
有关关系式:
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价(什么是商品利润率?
)
商品售价=商品标价×折扣率(什么是折扣率?
)
思考:
耐克运动鞋按原价提高40%后打八折销售,每件商品赚270元,问该耐克运动鞋商品原标价是多少元?
现销售价是多少元?
5、储蓄问题
顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
知识强化训练
一、填空题
1.若x+2m=12与方程6x-2=4的解相同则m=______。
2.关于y的方程-3(a+y)=a-2(y-a)的解为______。
.
3.方程ax=b,(a≠0)的解是______。
4.若方程2mx-m+2=0的解是x=1,则m=______。
5.在等式
中,已知S=800,a=30,h=20,则b=______。
6.向日葵幼儿园有三个班级,其中小班的人数比中班少3人,大班的人数是小班的
。
设小班的人数为X人,则中班的人数为______人,大班的人数为______人。
若该幼儿园共有147人,则可列方程为_____,小班的人数位______人。
7.四年前哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍,今年哥哥的年龄是弟弟的1.5倍,那么哥哥今年的年龄是______。
8.小明、小红两人在相距10千米的A、B两地相向而行,小明每小时走x千米,小红每小时走2x千米,两人同时出发1.5小时后相遇,列方程可得______。
9.将15000元人民币存入银行2年,年利息为5﹪,到期后,可得取回本息和为______元。
10.夏普品牌的电视机降价15﹪后每台售价为2500元,则这种彩电的原价为每台______元。
二、判断题
1.方程是等式,但等式不一定是方程。
( )
2.5(x+y)=16是方程,但不是一元一次方程。
( )
3.方程3x-5=x-2在自然数范围内无解。
( )
4.方程4x=3x+3与3x-4x=3的解相同。
( )
5.|x-3|=1的解是x=4或x=2。
( )
6.3x-7=3x+1的解是x=0。
( )
三、解下列方程
1.
2.
3.
4.
5.
6.4|x-3|=12
四、解答题
1.若|2x+3|+(x-3y+4)2=0,求(y-1)2+x2的值。
2.已知x=-2是方程2|x-1|-3|m|=-1的解,求m的值。
3.若代数式
的值和
的值相等,求x的值。
4.若代数式
与
互为相反数,求m的值。
5.用一根长80m的绳子围出一个矩形,使它的宽是长的
,长和宽各应是多少?
6.和平区中学生足球联赛共赛8轮(即每队均需赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。
在这次足球联赛中,太阳队踢平的场数是所负场数的2倍,共得17分,试问太阳队胜了几场?
7.天津、济南两地相距460千米.甲乙两车分别从天津、济南两地开出,甲车每小时行驶60千米,乙车每小时行驶48千米。
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时两车相遇?
(2)两车相向而行,甲车提前半小时出发;乙车开出后多少小时两车相遇?
相遇地点距离甲地多远?
(3)两车同向同时开出,乙车在前,出发后多少小时甲车追上乙车?
(4)两车背向而行,同时出发,行驶多少小时两车相距960千米?
(5)两车相向而行,同时出发,相遇后两车继续前进,当甲车到达济南地时,乙车距天津多远?
8.一艘帆船航行于天津、大连两码头之间,顺流需3小时,逆流需
小时,已知船在静水中的速度为26千米/时,求水流速度。
9.苹果手机工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
10.小明去超市买了5支钢笔和3支铅笔,共花去5元4角,知道一支钢笔比一支铅笔贵1角2分.问钢笔、铅笔价格各是多少?
11.T恤、羽绒服两种商品的单价之和为600元,因为季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求T恤、羽绒服两种商品的原来单价是多少元?
12.北京居民生活用电基本价格为每千瓦时0.5元,若每月的用电量超过a千瓦时,超过部分按基本电价的1.2倍收费。
①某户五月份用电90千瓦时,共交电费36元,求a.
②若该户六月份的电费平均为每千瓦时0.6元,求该用户六月份共用电多少千瓦时?
应交电费多少元?
13.烟台市现有人口50万人,计划一年后城镇人口增加2%,农村人口增加1.5%,这样全市人口得增加1.8%,求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人?
14.小米手机售价为每件1200元,为了参与市场竞争,商店按售价的9折再让利40元销售,此时仍可获得10%的利润,求此商品的进价是每件多少元?
15.中国移动使用者先缴50元月租费,然后每通话1分钟,再付话费0.4元,中国联通不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元,
(1)一个月通话多少分钟,两种通信费用相同?
(2)怎样选择哪种通信费用合算?
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