函数性质的综合运用教师版doc.docx
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函数性质的综合运用教师版doc
预习讲义
课前训练
2x+3
1.函数尸 —兀+5 答案: (-oo,4]. 2.7函数性质的综合应用 0S0), (0 (x>l) 提示: 当xSO时,尸2x+3丘(・8,3];当0<疋1时,y=x+3(3,4];当x>l时,y=-x+5 (-00,4).・••函数的值域为(・oo,3]U(3,4]U(-oc,4)=(・°4]. 2.设函数CvGR)是奇函数,/(I)=-,f(对2)=fd)+f (2),则/(□)=• 答案: -・ 2 提示: 由已知f(T)=-£ (1)=一丄,且f(l)=f(T+2)=f(T)+f (2),所以f (2)=f(l)-f(T) 2 35 =1,A3)=f (2)+f(l)=_,f(5)=f (2)+f(3)= 22 3.函数/(力=出在[眾]的最大值和最小值分別是. 4 答案亍,1 2r9x-H—294 解析£(0=吊=—七~=2—吊在[1,2]上是增函数…・・代讥—f (2)=壬代讥尸 Al)=l 2a—3 4.设函数/(%)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若A1)>1,广⑵=竺厶,则a的取 Q+1 值范围是. 2 答案: —1VQV—. 3 提示: /(-1)=/ (2)=^^,A-l)=-A1)<-1,・•・ G+] 2a—313。 一2n[2 v—1n<0=>-l a+1a+13 5.fd)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f (2)=0,在区间(0,6)内fd)=0解的个数的最小值是. 答案: 7. 提示: f (2)=f(5)=0,f(0)=f(3)=0,f (2)=f(T)=-/(l)=0, ・・・A1)=A4)=0.・・・f(x)=0在(0,6)内至少有5个根,x=l,2,3,4,5,1.5,4.5 6.“qWO”是“两数心)=|(败一1同在区间(0,+8)内单调递增”的条件. 答案充分必要 解析木题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当日=0时,f\x)=\{ax-X)x\=\x\在区间(0,+8)上单调递增; 当日〈0时,结合函数Ax)=|{ax—\')x\=\ax—x\的图象知函数在(0,+8)上单调递增, 如图⑴所示; y y \/^\ )\ 一 1 OXo 1X a a ⑴⑵ 当日〉0时,结合函数f\^=\{ax-\)x\=\ax-x\的图象知函数在(0,十^)上先增后减 再增,不符合条件,如图 (2)所示. 所以,要使函数A^)=|(^-l)%|在(0,+®)上单调递增只需臼W0. 即OWO”是“函数"力=|(翠一1)”在(0,+s)上单调递增”的充分必要条件. 7.若函数j;=x2-3x-4的定义域为[0,加],值域为[-—,-4],则加的取值范I韦I是 4 答案: [-3] 提示: 325 因为函数y=X2—3x—4即为y=(x-^)2 3其图象的对称轴为肓线x=-, 2 25 其最小值为-竺,并且当x=0及x=3吋, 4 y=-4,若定义域为[0昇初,值域为 253 [-―,则尹必, &方程lgx=sinx的实根个数是个. 分析: 该方程为超越方程,用初等方法不能直接对其求解,应利用两数图像对其分析.解: 设/,(x)=lgx,f2(x)=sinx,? .lglO=1,而 3^<10<4^,・•・f}(x)与f2(x)的图象有3个交点. 评注: 画函数图像时要注意函数图像的一些特征点,本题中特别关注对数函数的特征点(10, D,否则会得出错误的答案. 2.7函数性质的综合应用 例题精讲 【例1】设不等式2x-l>m{x2-1)对满足\m\<2的一切实数m恒成立,求实数/的取值范围. 分析: 此问题山于常'见的思维定势,易把它看成关于x的不等式进行分类讨论.然而,若变换一个角度以m为主元,记/(加)=(X2-l)w-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)/(加)的值在区间[一2,2]内恒负时参数X应该满足的条件. 即]_2(兀_1)_(2x-1)<0|2(x2-l)-(2x-l)<0 11/zV7—1V3+1 从Mu解得xe(,)• 22 评注: 本例釆用变更主元法,化繁为简,再巧川函数图象的特征(一条线段),解法易懂易做•如何从一个含有多个变元的数学问题甩,选定合适的主变元,从而揭示其屮主要的函数关系,冇时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在. 【例2】已知函数J(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a^0)f当%e(-3,2)时,.沧)>0;当xe(-oo,一 3)U(2,+8)时, ⑴求.几工)在[0,1]内的值域; (2)c为何值时,不等式ax2+bx+c^0在[1,4]±恒成立? 解由题意得x=-3和x=2是函数.心)的零点且aHO,则0=6? •(-3)2+(b-8)-(_3)_a_ab, * 解得# b=5, : .f{x)=_3x「3x+18. 0=<7-22+(b-8)-2一a一ab, (1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, ・•・当兀=0时,尹=18;当x=l时,尹=12, ・・・.心)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)方法一令g(x)=-3x2+5x+c. ・・・g⑴在点+8)上单调递减, 要使g(x)W0在[1,4]JL恒成立, 则需要g(Qn/g⑴wo, 即-3+5+cWO,解得cW-2. 当cW-2时,不等式ax'+bx+cWO在[1,4]上恒成立.方法二不等式-3x2+5x+cW0在[1,4]上恒成立,即cW3,-5.r在[1,4]上恒成立. 令g(x)=3x2-5x, Vxe[l,4],且炎)在[1,4]上单调递增, ••.g(x)mi„=g(l)=3Xl2-5Xl=-2,・・・cW-2. 即cW-2时,不等式ad+bx+cW0在[1,4]±恒成立. 【例3J已知./(X)是定义在R上的奇函数,当x&O时f(x)=2x~x2. (1)求函数yw的表达式并曲出其人致图象; (2)若当xe[o,切时,./(x)eI,*.若0 思维启迪⑴根据函数奇偶性画出函数图象; (2)在区间[0,2]上,根据单调区间对°、〃进行分类讨论求解. 解 (1)当兀<0时,fix)=-A-x) =~~2x-x2)=x2+2x, 2x-x2(x20) •*./(x)=\2, 八7u+2x(x<0)
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