18版高中数学第1章导数及其应用14导数在实际生活中的应用学案苏教版选修22.docx
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18版高中数学第1章导数及其应用14导数在实际生活中的应用学案苏教版选修22
1.4导数在实际生活中的应用
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为__________.
2.利用导数解决优化问题的实质是____________.
3.解决优化问题的基本思路是:
上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程.
类型一 面积、容积的最值问题
例1 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,则x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,则x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
反思与感悟
(1)这类问题一般用面积公式,体积公式等作等量关系,求解时应选取合理的边长x作自变量,并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长,这样函数关系式就列出来了.
(2)这类问题中,函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正,建立x的不等式(组)求定义域.
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100m,并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位:
m2),∠AON=θ(单位:
弧度).
(1)将S表示为θ的函数;
(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.
类型二 利润最大问题
例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值.
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克)满足关系式y=
+10(x-6)2,其中3 (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 类型三 费用(用材)最省问题 例3 已知A、B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(8 反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f′(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值. 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位: 万元)与隔热层厚度x(单位: cm)满足关系: C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. 1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为________. 2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产________千台. 3.将一段长100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆形,当正方形与圆形面积之和最小时,圆的周长为________cm. 4.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位: 元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意: (1)合理选择变量,正确写出函数解析式,给出函数定义域; (2)与实际问题相联系;(3)必要时注意分类讨论思想的应用. 提醒: 完成作业 1.4 答案精析 问题导学 知识点 1.优化问题 2.求函数最值 3.数学建模 题型探究 例1 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为 xcm,高为 (30-x)cm, 所以包装盒侧面积为S=4 x× (30-x) =8x(30-x)≤8×( )2=8×225, 当且仅当x=30-x,即x=15时,等号成立, 所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,则x=15. (2)包装盒容积V=2x2· (30-x) =-2 x3+60 x2(0 所以V′=-6 x2+120 x =-6 x(x-20). 令V′>0,得0 所以当x=20时,包装盒容积V取得最大值,此时包装盒底面边长为20 cm,高为10 cm,包装盒的高与底面边长的比值为 . 跟踪训练1 解 (1)如图,BM=AOsinθ=100sinθ,AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ,则S= MB·AB= ×100sinθ×(100+100cosθ)=5000(sinθ+sinθcosθ),θ∈(0,π). (2)S′=5000(2cos2θ+cosθ-1) =5000(2cosθ-1)(cosθ+1). 令S′=0,得cosθ= 或cosθ=-1(舍去),此时θ= . 当θ= 时,S取得最大值, Smax=3750 m2,此时AB=150m,即点A到北京路一边l的距离为150m. 例2 解 (1)当0 -10, 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x, ∴W= (2)①当0<x<10时,由W′=8.1- =0,得x=9, 且当x∈(0,9)时,W′>0;当x∈(9,10)时,W′<0. ∴当x=9时,W取最大值,且Wmax=8.1×9- ×93-10=38.6. ②当x>10时,W=98- ≤ 98-2· =38, 当且仅当 =2.7x,即x= 时,W=38, 故当x= 时,W取最大值38. 综合①②知,当x=9时,W取得最大值38.6万元. 故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,最大利润为38.6万元. 跟踪训练2 解 (1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11, 所以a=2. (2)由 (1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 例3 解 设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k>0), 则y1=kv2,当v=12时,y1=720, ∴720=k·122,得k=5. 设全程燃料费为y,由题意,得 y=y1· = , ∴y′= = . 令y′=0,得v=16,∴当v0≥16, 即v=16km/h时全程燃料费最省,ymin=32000(元); 当v0<16,即v∈(8,v0]时,y′<0, 即y在(8,v0]上为减函数, ∴当v=v0时,ymin= (元). 综上,当v0≥16时,v=16km/h全程燃料费最省, 为32000元; 当v0<16,即v=v0时全程燃料费最省,为 元. 跟踪训练3 解 (1)设隔热层厚度为xcm, 由题设,每年能源消耗费用为C(x)= , 再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)= , 而建造费用为C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10). (2)f′(x)=6- , 令f′(x)=0,即 =6. 解得x=5,x=- (舍去), 当0 故x=5为f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+ =70. 当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元. 达标检测 1.4 2.6 3. 4.解 (1)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,若记商品在一个星期的获利为f(x),则有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2). 由已知条件,得24=k×22,于是有k=6. 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21]. (2)根据 (1),f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 故x=12时,f(x)取得极大值. 因为f(0)=9072,f(12)=
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