第四章421指数函数的概念.docx
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第四章421指数函数的概念
§4.2指数函数
4.2.1指数函数的概念
【学习目标】1•理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性2了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
知识梳理梳理教材务实底础
乙\
知识点一指数函数的定义
一般地,函数y=a^l>O,且<∕≠1)HH做指数函数,英中X是自变虽:
,函数的左义域是R.思考为什么底数应满足>0且"工1?
答案①当"WO时,"可能无意义;②当“>0时,X可以取任何实数;③当“=1时,R=I(x∈R),无研究价值.因此规定y=R中“>0,且a≠l.
知识点二两类指数模型
1.y=ka∖k>0,“>0且占1),当仝L时为指数增长型函数模型.
2.y=ka∖k>0,">0且<∕≠1),当0<“<1时为指数衰减型函数模型.
■思考辨析判断正误
1.y=xx(x>0)是指数函数.(×)
2.)UUX+2(<∕>0且"H1)尉M数函数.(X)
3.)U谢是指数衰减型函数模型.(√)
4.若yu)二/为指数函数,则ι.(×)
题型探究探究重点提升素养
%
一、指数函数的概念
例1
(1)给出下列函数:
①y=2∙3l②y=3"∣;③y=3";®y=x\⑤),=(一2尸.其中,指数函数的个数是()
A.OB.1C.2D.4
答案B
解析①中,罗的系数是2,故①不是指数函数;②中fy=3v+1的指数是a+1,不是自变呈
A-,故②不是指数函数;③中,3'的系数是1,幕的指数是自变臺Xf且只有3一项,故③是指数函数;④中,)=F的底数为自变呈,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数•
⑵若函数)=(2“一Ir(X是自变量)是指数函数,则“的取值范囤是()
A.(O,1)U(1,+∞)B.[O,1)U(1,+8)
C.(£l)u(l,+8)D.+8)
答案C
解析依题意得2"-l>0,且S-IHl,
解得Q*,且"H1.
反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求•
(2M前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求•
跟踪训练1
(1)下列是指数函数的是()
A.j=-3λB.y=2χ2~l
C.y=aκD・y=7f
答案D
解析根据指数函数的特征知,A,B,C不满足•
⑵若函数尸3—3"+3)"是指数函数,则“的值为.
答案2
Cr-+3=1,①
解析由指数函数的走义知
Qo且"Hl,②
由①得“二1或2,结合②得“二2.
二、求指数函数的解析式或函数值
例2
(1)若函数./(X)=G“一3).沪是指数函数,则冷)的值为()
A.2B.~2C.-2√2D.2√2
答案D
解析因为函数yω是指数函数,所以》-3=ι,所以t∕=8f所以./U)=8λ/∕Q)=82=2√2.
(2)已知函数y=∕U∙),x∈R,且,Λ0)=3,盟=M器=*,…,器缶=⅛∏∈N∖求函数y
=∕U)的一个解析式.
解当X增加1时函数值都以細衰减率衰减,
・•.函数./U)为指数衰减型,
令Λχ)=^X≠θ),
又人0)二3,H二3,.∙..几r)=3∙(芬.
反思感悟
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键•
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式•
跟踪训练2指数函数y=βx)的图象经过点(一2,那么人4笊2)等于()
A.8B.16C.32D.64
答案D
解析由指数函数V=M="(“>0,且占1)的图象经过点(-2,{),可得-2二需解得“二
2I函数的解析式为y二2,,,Λ4)Λ2)二24-22=64.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3某林区2020年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山冇林、严禁采伐等措施,
使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过X年后,该林区的木材蓄枳量为y万立方米,求y=yiΛ)的表达式,并求此函数的立义域;
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
解
(1)现有木材蓄积呈为200万立方米,经过1年后木材蓄积星为200+200X5%二200(1十
5%).
经过2年后木材蓄积呈为:
200(l+5%)+2∞(l+5%)×5%=200×(l+5%)2.
••・经过.V年后木材蓄积呈为200(1十5%/.
•••〉,二心)二200(1十5%);函数的走义域为x∈N∖
⑵作函数)=√ω二200(1十5%)U20)图象见下图・
X
0
1
2
3
•••
y
200
210
220.5
231.5
•••
作直线y二300与函数y二200(1+5%/的图象交于A点,则A(XOJ300),A点的横坐标血的值就是函数值y=300时(木材蓄积星为300万立方米时)所经过的时间X年的值.
V8 达到300万立方米・ 反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义增长(衰减)率是所研究的又寸象在单位时间"内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较. (2)分析具体问题时f应严格计算并写出前3〜4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再概括为数学问题,最后求解数学问题即可. (3)在实际问题中r有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型 表示J通常可以表示为y二N(1十M(其中N为基5出数,P为增长率小为时间)的形式・ 跟踪训练3春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长岀荷叶覆盖水面面积是 前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水而而积一半时,荷叶 已生长了天. 答案19 随堂演练 为y二2一-当X=20时,长满水面,所以生长19天时,荷叶布满水面一半・ 基础巩固学以致用 \ 1.下列各函数中,是指数函数的是() A.y=(-4/B.y=—令 C.y=y1D.y=(少 答案D 解析A中函数的底数不满足大于零且不等于1,故不是指数函数;B中函数式中幕值的系数不是1,故不是指数函数;C中的指数是*-1,不是指数函数. 2.若函数y=(∕n2-ΛH-I)WV是指数函数,则加等于() A.一1或2B.-1 C.2D.∣ 答案C { m2-/n-1=1r m>O^m≠∖r 解得m=2(舍加二-1)• 3.碳14的半衰期为5730年,那么碳14的年衰变率为() A5730B-G)5730 C∙CF5D.局 (2丿 答案C 解析设碳14的年衰变率为川,原有呈为1, 1(∏5⅛) 则"严。 二厂解得加二-, \2/ .15730 所以碳14的年衰变率为-・ \2) 4.若函数./U)是指数函数,且戏2)=2,则./(X)=. 答案(√2f 解析由题意,设/U)=ax(a>0且a≠∖)I 则由./ (2)-CiI-Il得"二√5,所以/(x)=(√2>r. 5.若函数.∕ω=(4-3"F是指数函数,则实数的取值范囤是. 答案(一8,1)U(1,扌) 〔4-3">0,4 解析由题意可得S解得(0且“H1. [4-3a≠1,' -课堂小结 1.知识清单: (1)指数函数的定义• (2)指数增长型和指数衰减型函数模型. 2•方法归纳: 待定系数法. 3•常见误区: 易忽视指数函数的底数"的限制条件: Qo且a≠∖. 课时对点练注重双基強化落实 "l0 V基础巩固 I.函数yω=(加一3)0是指数函数,则yω等于() 3 A・8B,2C.4D・2 答案D 解析•••函数./W二(2a-3)M是指数函数r Λ2t∕-3=1r解得"二2. ∙∙√U)=2"rΛ√(l)=2. 2.函数J(X)=ax(a>0且a≠∖),对于任意实数x,y都有() A.J(Xy)=My)B.Λ-nt)=Λv)÷Λy) c.Λv÷y)=ΛχMy)D.^+>1)=Λ-v)+Λv) 答案C解析Λv+y)=^÷>=αV=ΛW). 3.函数y=3-4"+4)0是指数函数,则"的值是() B. A.4 1或3 C.3D・1 答案C a>0t 解得"=3. 解析由题意得彳"工1, tz2-4t∕+4=1I 4.若函数y=a2(2-a)x是指数函数,贝∣J() A.α=l或一1B.a=∖ C.a=-∖D.">0且a≠∖ 答案C 解析因为函数V=“2(2-(Ir是指数函数, Cr-∖I 所以彳2-">0,即“二-1. 2-a≠∖I 5.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若每年以相同的衰减率呈指数衰减,按此规律,设2020年的湖水量为m,从2020年起,经过X年后湖水量y与x的函数关系为() Λ.(X_\ A.y=0.95°B.y=1-0.15°tn ∖ X C.y=0.9更加D.y=(l一0.1血)加 答案C 解析设每年的衰减率为q%, 丄 则(1-t7%)5o=O.9•所以17%二0.9^J X 所以y=m∙(l-q%yx=0.9药加. 6.下列函数中是指数函数的是.(填序号) φy=2∙(√2f;②U③尸(分; —丄1 ④y=3V: @y=. 答案③ 解析①中指数式(√⅛的系数不为1,故不是指数函数;②中y二2」,指数位置不是A-,故不是指数函数;④中指数不是X,故不是指数函数;⑤中指数为常数且底数不是唯一确走的值,故不是指数函数■ 7.已知函数.心)=({卜,“为常数,且函数的图象过点(-1,2),贝IJ“=,若g(x)= 4λ-2,且g(m)=βm),则加=・ 答案1一1 解析因为函数的图象过点(-L2)r 所以(扌)∙λ=2,所以tι=ll 所以./U)=Q)V'g(fn)二加)可变形为4-m-2-m-2=0f 解得2-m=2t所以用二-1. &.心)为指数函数,若./W过点(一2.4),则M-I))=• 答案J 解析设几V)=a∖a>O且a≠1)J 由,Λ-2)=4,得a,二4,解得"詁, 所以.心)=(分, 所以ZD二({H二2, 所以AA-1))二./12)二(少二∣∙ 9.已知函数.心)=(0+"-5M是指数函数. (1)求y(x)的表达式; (2)判断F(A)=AX)-Λ-^)的奇偶性,并加以证明. 解 (1)⅛a2+a-5=∖I可得α二2或α二-3(舍去), ∙∙∙∙∕ω二2’. (2)F(X)=2λ-2-λ,定义域为R,.∖F(-x)=2-x-2x=-F(X), •: F(x)是奇函数. 10.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不 砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案: 甲方案: 栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐. 乙方案: 栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答: 10年内哪一个方案可以得到较多的木材? 解设该种树的最初栽植呈为“,甲方案在10年后的木材产呈为 yι=41+20%p(l+10%)5=41.2×l」)5~4.01“. 乙方案在10年后的木材产呈为 >'2=2cι(1十20%)5二2t∕-1.25^4.98u. ∙.∙a>0tΛ4.98t∕>4.0k∕Ig∏yi>y↑t•••乙方案能获得更多的木材・ N综合运用 H.已知函数的={m则/伉劲)等于() 2∖x≤0, 1-4 - D 4 - C 1_-4 4 A 答案B 解析••了(§)=1-—=1-3=-2, ∖/ .v(∕O=Λ-2)=2-24∙ 12.某股民购买一公司股票10万元,在连续十个交易日内,前5个交易日,平均每天上涨5%,后5个交易日内,平均每天下跌4.9%,则股民的股票盈亏情况(不计貝他成本,精确到元)为() A.赚723元B.赚145元 C.亏145元D•亏723元 答案D 解析由题意得10X(1+5%)5×(1-4.9%)5 10X0.99277=9.9277; IOOOoO-99277二723z 故股民亏723元• 13.若函数y=(胪一5加+5)(2—是指数函数,且为指数增长型函数模型,则实数m= 答案1 m2-5m+5=1r 解得加二1(舍m=4)・ 14.某厂2018年的产值为“万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产 值为万元. 答案"(l+7%)4 解析2018年产值为aI增长率为7%. 2019年产值为a+a×l%=a(∖+7%)(万元). 2020年产值为"(1十7%)十"(1+7%)X7% 二"(1十7%尸(万元)• 2022年的产值为U(I+7%)4万元. N拓广探究 15.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同: 乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份() A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相等 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较髙 答案A 解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为,甲食堂的营业额每月增加(心>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为儿由题意,可得m+8“二m(∖+λ-)s,则5月份甲食堂的营业额y1二In+4uI乙食堂的营业额yι=∕m(1+x)4=y∣m(m十&<),因为yτ-yi-(W十4t∕)2-m(m+&? )二1亦>0,所以,故该年5月份甲食堂的营业额较高• 16.截止到2018年底,我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3%。 经过X年后,此市人口数为H万). (“求^与以的函数关系y=f(x),并写出泄义域: (2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少? (3)哪一年年底的人口数将达到135万? 解 (1)2018年年底的人口数为130万; 经过1年,2019年年底的人口数为130十130X3%。 =130(1十3%0)(万); 经过2年,2020年年底的人口数为130(1+3%。 )+130(1+3%。 )X3%)=130(1+3‰)2(万);经过3年,2021年年底的人口数为130(1+3%o)2十130(1+3%o)2×3%o=130(1+3%0)3(万)・ 所以经过的年数与(1十3%。 )的指数相同,所以经过X年后的人口数为130(1+3%oΓ(万)・即y二心)=130(1+3%O)X(X∈NJ・ (2)2029年年底的人口数为130(1+3%√*134(万). (3)由⑵可知,2029年年底的人口数为130(1+3%o),,≈134<135. 2030年年底的人口数为130(1+3%J2=134.8(万), 2031年年底的人口数为130(1十3%丿3宀135・2(万)・ 所以2031年年底的人口数将达到135万.
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