动点问题题型方法归纳.docx
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动点问题题型方法归纳
动点问题题型方法归纳
动态几何特点问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特
殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)
动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点
3
1、(2009年齐齐哈尔市)直线y=-3x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O→B→A运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
48
(3)当S=48时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
提示:
第
(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类;
第(3)问是分类讨论:
已知三定点O、P、Q,探究第四点构成平行四边形时按已
知线段身份不同分类①OP为边、OQ为边,②OP为边、OQ为对角线,③OP
为对角线、OQ为边。
然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。
2、(2009年衡阳市)如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.
(1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t(s)(0t2),连结EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形.
注意:
第(3)问按直角位置分类讨论
3、(2009重庆綦江)如图,已知抛物线y=a(x-1)2+33(a0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点
C,B在x轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?
并求出最小值及此时PQ的长.
注意:
发现并充分运用特殊角∠DAB=60°
二、特殊四边形边上动点
4、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,B=60°.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q
以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重.叠.部.分.的面积为y平方厘米(这里规定:
点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒;
秒;
2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时x的值是
3)求y与x之间的函数关系式.
提示:
第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类;提醒高相等的两个三
角形面积比等于底边的比。
5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
图
(1)
注意:
第
(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类;
第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余,画出点P运动过程中,
∠MPB=∠ABM的两种情况,求出t值。
利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.
6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(33,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒.
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.
①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<23时,求m的取值范围(写出答案即可).
注意:
发现特殊性,DE∥OA
7、(07黄冈)已知:
如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且
∠AOC=60°,点B的坐标是(0,83),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动,设t(0t8)秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
4
(3)当a=3,OD=3时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与OAB相似?
当a为何值时,以
O,P,Q,D为顶点的三角形与OAB不相似?
请给出你的结论,并加以证明.
8、(08黄冈)已知:
如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积
2
的?
7
(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(4)当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?
请求出此时动点P的坐标;若不能,请说明理由.
9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy
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中,抛物线y=118x2-49x-10与x轴的交点为
点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:
秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
9
(3)当0 若是,求出此定值,若不是,请说明理由;2 (4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形? 请写出解答过程. 提示: 第(3)问用相似比的代换, 得PF=OA(定值)。 第(4)问按哪两边相等分类讨论①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、直线上动点 8、(2009年湖南长沙)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴相交于点C.连结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0,3),且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等. (1)求实数a,b,c的值; (2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标; (3)在 (2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为项点 的三角形与△ABC相似? 如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 提示: 第 (2)问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM为菱形; 第(3)问注意到△ABC为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC相似的△ BNQ,再判断是否在对称轴上。 9、(2009眉山)如图,已知直线y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。 2 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标。 提示: 第 (2)问按直角位置分类讨论后画出图形①P为直角顶点AE为斜边时,以AE 为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时,过点A作AE垂线交x轴于点P,③E为直角顶点时,作法同②; 第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。 10、(2009年兰州)如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒. (1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标; (3)在 (1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由. 注意: 第(4)问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论;求t值时,灵活运用等腰三 角形“三线合一”。 11、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),C(0,43),延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. (1)求D点的坐标; (2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3)设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。 (要求: 简述确定G点位置的方法,但不要求证明) 提示: 第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心; 第(3)问,转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小;发现(2) 上的动点,点Q在射线AB上,且满足PQ=AD(如图1所示). PCAB (1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图2所示),求线段PC的长; 3 (2)在图8中,联结AP.当AD=3,且点Q在线段AB上时,设点B、Q之间的距离为x,S △APQ=y,其中S△APQ表示△APQ的面积,S△PBC表示△PBC的面积,求y关于x的函数S△PBC 解析式,并写出函数定义域; (3)当ADAB,且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示),求QPC的大小.注意: 第 (2)问,求动态问题中的变量取值范围时,先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值,然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。 当PC⊥BD时,点Q、B重合,x获得最小值;当P与D重合时,x获得最大值。 第(3)问,灵活运用SSA判定两三角形相似,即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似;或者用同一法;或者证∠BQP=∠BCP,得B、Q、C、P四点共圆也可求解。 13、(08宜昌)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,P是边AB(含端点)上的动点.过P作BC的垂线PR,R为垂足,∠PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上. (1)△ABC与△SBR是否相似,说明理由; (2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系; (3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值. S P A 提示: 第(3)问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形;当p运动到使T与R重合时,PA=TS为最大;当P与A重合时,PA最小。 此问与上题中求取值范围类似。 14、(2009年河北)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0). (1)当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围) (3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形? 若能,求t的值.若不能,请说明理由; 提示: (3)按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出t值;有二种成立的情形, DE∥QB,PQ∥BC; (4)按点P运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出t值;有二种情形,CQ=CP=AQ=t时, QC=PC=6-t时. 15、(2009年包头)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A(1,0),B(2,0), C(0,-2),直线x=m(m2)与x轴交于点D. (1)求二次函数的解析式; (2)在直线x=m(m2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);(3)在 (2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形? 若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由. 提示: 第 (2)问,按对应锐角不同分类讨论,有两种情形; 第(3)问,四边形ABEF为平行四边形时,E、F两点纵坐标相等,且AB=EF,对第 (2)问中两种情形分别讨论。 四、抛物线上动点 16、(2009年湖北十堰市)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1, 0)和点B(-3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形? 若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标. 注意: 第 (2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标①C为 顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 17、(2009年黄石市)正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,抛物线 y=ax2+bx-4过A、D、F三点. (1)求抛物线的解析式; (2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M,交BC所 3 在直线于N,若S四边形AFQM=3S△FQN,则判断四边形AFQM的形状; (3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且 AP=PH,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由. 注意: 第 (2)问,发现并利用好NM∥FA且NM=FA; 第(3)问,将此问题分离出来单独解答,不受其它图形的干扰。 需分类讨论,先画 出合适的图形,再证明。 近三年黄冈中考数学 坐标几何题”(动点问题)分析 马铁汉) 07 08 09 动点 个数 两个 一个 两个 问题 背景 特殊菱形两边 上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 考查 难点 探究相似三角 形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角 形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 点 ①菱形是含60°的特殊菱形; △AOB是底角为30°的等腰三角形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时,按对应角不同分类讨论;先画图,再探究。 ④通过相似三角形过度,转化相似比得出方程。 ⑤利用a、t范围,运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类 ③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的(一底角是45°) ②点动带动线 动 ③线动中的特殊性(两个交点D、E是定点;动线段PF长度是定值,PF=OA) ④通过相似三角形过度,转化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时,先画图,再探究(按边相等分类讨论) 三年共同点: ① 特 殊 四边 形 为 背 景; ② 点 动 带线 动 得 出 动三角形; ③ 探 究 动三 角 形 问 题(相似、等腰三角形、面积 函 数 关系 式 ); ④ 求 直 线、 抛 物 线 解析式; ⑤ 探 究 存在 性 问 题 时,先画出图形,再根据图形 性 质 探究 答 案 。 大趋势:
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