北京市初三数学二模分类汇编第6讲圆及答案.docx
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北京市初三数学二模分类汇编第6讲圆及答案
第6讲圆
1、选填题
【2018·昌平二模】1.如图,在圆O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是.
【答案】
【2018·朝阳二模】2.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在圆O上,弧BD=弧CD,AB=10,AC=6,连接OD交BC于点E,DE=.
【答案】2
【2018·房山二模】3.如图,AB为⊙O的直径,弦CDAB,垂足为点E,连结OC,若OC=5,CD=8,则AE=.
【答案】2;
【2018·海淀二模】4.如图,圆的弦,,,中最短的是
A.B.
C.D.
【答案】A
【2018·石景山二模】5.如图,⊙O的半径为2,切线AB的长为,
点P是⊙O上的动点,则AP的长的取值范围是__________.
【答案】.
【2018·西城二模】6.如图,AB为⊙O的直径,AC与⊙O相切于点A,弦BD∥OC.若,则∠DOC=.
【答案】54
【2018·东城二模】7.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8.是△ABC的外接圆,其半径为5.若点A在优弧BC上,则的值为_____________.
【答案】2
【2018·海淀二模】8.如图,是⊙的直径,是⊙上一点,,,则图中阴影部分的面积为.
【答案】
【2018·西城二模】9.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,若⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积等于.
【答案】
【2018·朝阳二模】10.⊙O是一个正n边形的外接圆,若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等,则n的值为
(A)3(B)4(C)5(D)6
【答案】D
【2018·东城二模】11.在平面直角坐标系中,若点在内,则的半径的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】D
2、解答题
【2018·昌平二模】1.如图,是⊙的直径,弦于点,过点的切线交的延长线于点,连接DF.
(1)求证:
DF是⊙的切线;
(2)连接,若=30°,,求的长.
【答案】
(1)证明:
连接OD
∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°………………………………………1分
∴∠OCD+∠DCF=90°
∵直径AB⊥弦CD
∴CE=ED,即OF为CD的垂直平分线
∴CF=DF
∴∠CDF=∠DCF………………………………………2分
∵OC=OD,
∴∠CDO=∠OCD
∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°
∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切线………………………………………3分
(2)解:
连接OD
∵∠OCF=90°,∠BCF=30°
∴∠OCB=60°
∵OC=OB
∴ΔOCB为等边三角形,
∴∠COB=60°………………………………………4分
∴∠CFO=30°
∴FO=2OC=2OB
∴FB=OB=OC=2………………………………………5分
在直角三角形OCE中,∠CEO=90°∠COE=60°
∴CF
∴CD=2CF…………………………………………6分
【2018·朝阳二模】2.AB为⊙O直径,C为⊙O上的一点,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,CA=CD.
(1)连接BC,求证:
BC=OB;
(2)E是AB中点,连接CE,BE,若BE=2,
求CE的长.
【答案】
(1)证明:
连接OC.
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°.………………1分
∵CD为⊙O切线
∴∠OCD=90°.………………2分
∴∠ACO=∠DCB=90°∠OCB
∵CA=CD,
∴∠CAD=∠D.
∴∠COB=∠CBO.
∴OC=BC.
∴OB=BC.…………………………………………………3分
(2)解:
连接AE,过点B作BF⊥CE于点F.
∵E是AB中点
∴AE=BE=2.
∵AB为⊙O直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠ECB=∠BAE=45°,.
∴.
∴.
∴.
∴.…………………………………………5分
【2018·东城二模】3.如图,AB为的直径,直线于点.点C在上,分别连接,,且的延长线交于点.为的切线交于点F.
(1)求证:
;
(2)连接.若,,
求线段的长.
【答案】
(1)证明:
∵是的直径,
∴.
∴.
∴.
∵是的直径,,
∴MB是的切线.
∵是的切线,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.---------------------------------------------------------------------3分
(2)由
(1)可知,是直角三角形,在中,,,
根据勾股定理求得.
在和中,
∴∽.
∴.
∴.
∴.
由
(1)知,
∵,,
∴.
∵,
∴是的中位线.
∴---------------------------------------------------------------------5分
【2018·房山二模】4.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D
(1)求证:
AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长.
【答案】解:
(1)证明:
如图,延长AO交BC于H,连接BO.
∵AB=AC,OB=OC
∴A、O在线段BC的中垂线上
∴AO⊥BC
又∵AB=AC
∴AO平分∠BAC…………………………………………………………………2′
(2)如图,过点D作DK⊥AO于K
∵由
(1)知AO⊥BC,OB=OC,BC=6
∴BH=CH=,∠COH=
∵∠BAC=
∴∠COH=∠BAC
在Rt△COH中,∠OHC=90°,sin∠COH=
∵CH=3
∴sin∠COH=
∴CO=AO=5………………………………………………………………………3′
∴CH=3,
∴AH=AO+OH=9,tan∠COH=tan∠DOK=
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3
∴tan∠CAH=,…………………………4′
由
(1)知∠COH=∠BOH,tan∠BAH=tan∠CAH=
设DK=3a,在Rt△ADK中,tan∠BAH=,在Rt△DOK中,tan∠DOK=
∴OK=4a,DO=5a,AK=9a
∴OA=13a=5
∴a=,DO=,CD=OC+OD=………………………………………………5′
∴AC=3,CD=
【2018·丰台二模】5.如图,⊙O中,AB是⊙O的直径,G为弦AE的中点,连接OG并延长交⊙O于点D,连接BD交AE于点F,延长AE至点C,使得FC=BC,连接BC.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)⊙O的半径为5,,求FD的长.
【答案】
(1)证明:
∵G为弦AE的中点,∴OD⊥AE.…….…….……………1分
∴∠DGC=90°.∴∠D+∠DFG=90°.
∵FC=BC,∴∠1=∠2.∵∠DFG=∠1,∴∠DFG=∠2.
∵OD=OB,∴∠D=∠3.
∴∠3+∠2=90°.∴∠ABC=90°.即CB⊥AB.
∴BC是⊙O的切线.…….…….……………2分
(2)解:
∵OA=5,tanA=,
∴在Rt△AGO中,∠AGO=90°,OG=3,AG=4.
∵OD=5,∴DG=2.
∵AB=2OA=10,
∴在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=,AC=.
∴FC=BC=.∴.∴在Rt△DGF中,FD=.…5分
(其他证法或解法相应给分.)
【2018·海淀二模】6.如图,是的直径,是的中点,弦于点,过点作交的延长线于点.
(1)连接,则=;
(2)求证:
与相切;
(3)点在上,,交于点.若,求的长.
【答案】
23.解:
(1)60;
(2)连接,
∵,是的直径,
∴.
∵是的中点,
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴∥.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴与⊙相切.
(3)连接,,
∵于,
∴是中点.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
由
(1)可知.
∴.
在中,,,,
∴.
在中,,,,
∴.
由
(1)知,
∴.
在中,,,,
∴.
【2018·石景山二模】7.如图,在△中,∠,点是边上一点,以为直径的⊙与边相切于点,与边交于点,过点作⊥于点,连接.
(1)求证:
;
(2)若,,求的长.
【答案】
(1)证明:
连接
∵⊙与边相切
∴⊥
∵∠
∴∥.……………………..1分
∴
∵,
∴
∴
∵⊥
∴.…………………………..2分
(2)解:
在Rt△中,,,
∴.………………………………..3分
∵∥
∴,即.
解得,………………………………..4分
∴.…………………………..5分
【2018·西城二模】8.如图,AB是⊙O的直径,C是圆上一点,弦CD⊥AB于点E,且DC=AD.过点A作⊙O的切线,过点C作DA的平行线,两直线交于点F,FC的延长线交AB的延长线于点G.
(1)求证:
FG与⊙O相切;
(2)连接EF,求的值.
【答案】
(1)证明:
如图6,连接OC,AC.
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴CE=DE,AD=AC.
∵DC=AD,
∴DC=AD=AC.
∴△ACD为等边三角形.
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60.
∴∠1=30°.
图6
∵FG∥DA,
∴.
∴∠DCF=120°
∴∠OCF=90°
∴FG⊥OC.
∴FG与⊙O相切.………………………………………………………3分
(2)解:
如图6,作EH⊥FG于点H.
设CE=a,则DE=a,AD=2a.
∵AF与⊙O相切,
∴AF⊥AG.
又∵DC⊥AG,
可得AF∥DC.
又∵FG∥DA,
∴四边形AFCD为平行四边形.
∵DC=AD,AD=2a,
∴四边形AFCD为菱形.
∴AF=FC=AD=2a,∠AFC=∠D=60.
由
(1)得∠DCG=60,,.
∴.
∵在Rt△EFH中,∠EHF=90,
∴.……………………………………5分
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