版高中数学必修二同步讲义人教A版第三章直线与方程321Word版含答案.docx
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版高中数学必修二同步讲义人教A版第三章直线与方程321Word版含答案
3.2.1 直线的点斜式方程
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.
知识点一 直线的点斜式方程
思考1 如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y应满足什么关系?
答案 由斜率公式得k=,
则x,y应满足y-y0=k(x-x0).
思考2 经过点P0(x0,y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P0斜率不存在的直线为x=x0.
梳理
点斜式
已知条件
点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式
y-y0=k(x-x0)
适用条件
斜率存在
知识点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),得到的直线l的方程是什么?
答案 将k及点(0,b)代入直线方程的点斜式得:
y=kx+b.
思考2 方程y=kx+b,表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?
b可不可以为负数和零?
答案 y轴上的截距b不是距离,可以是负数和零.
思考3 对于直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2.
①l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2,
②l1⊥l2⇔k1k2=-1.
梳理
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y=kx+b
适用条件
斜率存在
类型一 直线的点斜式方程
例1 写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5),且与直线y=2x+7平行;
(2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(3)经过点D(1,2),且与x轴垂直.
解
(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).
(2)由题意知,直线的斜率k=tan0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.
反思与感悟
(1)求直线的点斜式方程
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
跟踪训练1
(1)经过点(-3,1)且平行于y轴的直线方程是________.
(2)直线y=2x+1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程是________.
(3)一直线l1过点A(-1,-2),其倾斜角等于直线l2:
y=x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为________.
答案
(1)x=-3
(2)y-3=-(x-1)
(3)y+2=(x+1)
解析
(1)∵直线与y轴平行,∴该直线斜率不存在,
∴直线方程为x=-3.
(2)由题意知,直线l与直线y=2x+1垂直,则直线l的斜率为-.
由点斜式方程可得l的方程为y-3=-(x-1).
(3)∵直线l2的方程为y=x,
设其倾斜角为α,则tanα=,∴α=30°,
那么直线l1的倾斜角为2×30°=60°,
则l1的点斜式方程为
y+2=tan60°(x+1),即y+2=(x+1).
类型二 直线的斜截式方程
例2
(1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.
(2)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
(1)答案 y=x+3或y=x-3
解析 ∵直线的倾斜角是60°,
∴其斜率k=tan60°=,
∵直线与y轴的交点到原点的距离是3,
∴直线在y轴上的截距是3或-3,
∴所求直线方程是y=x+3或y=x-3.
(2)解 由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,
又因为l∥l1,所以kl=-2,
由题意知l2在y轴上的截距为-2,
所以直线l在y轴上的截距b=-2,
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
引申探究
本例
(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”,求l的方程.
解 ∵l1⊥l,直线l1:
y=-2x+3,∴l的斜率为,
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数,
直线l2:
y=4x-2,∴l在y轴上的截距为2,
∴直线l的方程为y=x+2.
反思与感悟
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重合)的直线.
(2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.
跟踪训练2 已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的斜截式方程.
解 设直线方程为y=x+b,则当x=0时,y=b;
y=0时,x=-6b.由已知可得·|b|·|-6b|=3,
即6|b|2=6,∴b=±1.
故所求直线l的斜截式方程为y=x+1或y=x-1.
类型三 平行与垂直的应用
例3
(1)当a为何值时,直线l1:
y=-x+2a与直线l2:
y=(a2-2)x+2平行?
(2)当a为何值时,直线l1:
y=(2a-1)x+3与直线l2:
y=4x-3垂直?
解
(1)由题意可知,=-1,=a2-2,
∵l1∥l2,∴解得a=-1.
故当a=-1时,直线l1:
y=-x+2a与直线l2:
y=(a2-2)x+2平行.
(2)由题意可知,=2a-1,=4,∵l1⊥l2,
∴4(2a-1)=-1,解得a=.
故当a=时,直线l1:
y=(2a-1)x+3与直线l2:
y=4x-3垂直.
反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,那么:
(1)l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;
(2)k1=k2,且b1=b2⇔两条直线重合;(3)l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
跟踪训练3 已知直线l:
y=(a2-2)x+2a+9与直线y=-x+1垂直,且与直线y=3x+5在y轴上的截距相同,求a的值.
解 由题意知:
(a2-2)×(-)=-1,解得a=±2.
经检验知a=-2符合题意.
1.方程y=k(x-2)表示( )
A.通过点(-2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.
2.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( )
A.k>0,b>0B.k>0,b<0
C.k<0,b>0D.k<0,b<0
答案 B
解析 ∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.
3.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的方程为________.
答案 x-2y=0
解析 由x-4y+3=0,得y=x+,其斜率为,
故所求直线l的斜率为,又直线l过点P(2,1),
所以直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.
4.已知直线l1:
y=2x+3a,l2:
y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则a=________.
答案 -1
解析 因为l1∥l2,所以a2+1=2,a2=1,
所以a=±1,
又由于l1∥l2,两直线l1与l2不能重合,
则3a≠3,即a≠1,
故a=-1.
5.已知直线l的方程为y-m=(m-1)(x+1),若l在y轴上的截距为7,则m=______.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y=(m-1)x+2m-1,
∴2m-1=7,得m=4.
1.求直线的点斜式方程的方法步骤
2.直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.
课时作业
一、选择题
1.过点(4,-2),倾斜角为150°的直线方程为( )
A.y-2=-(x+4)
B.y-(-2)=-(x-4)
C.y-(-2)=(x-4)
D.y-2=(x+4)
答案 B
解析 由题意知k=tan150°=-,所以直线的点斜式方程为y-(-2)=-(x-4).
2.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2斜率的2倍的直线方程是( )
A.y=-1
B.y=1
C.y-1=(x+1)
D.y-1=2(x+1)
答案 C
解析 由方程知已知直线的斜率为,
∴所求直线的斜率是,
由直线方程的点斜式可得方程为y-1=(x+1).
3.直线y=ax-的图象可能是( )
答案 B
解析 根据斜截式方程知,斜率与直线在y轴上的截距正负相反.
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A.y=x+4B.y=2x+4
C.y=-2x+4D.y=-x+4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y=kx+4,又由2k=-1,得k=-,∴所求直线方程为y=-x+4.
5.下列四个结论:
①方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线;
②直线l过点P(x1,y1),倾斜角为90°,则其方程为x=x1;
③直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1;
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ①中方程:
k=中x≠-1;④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程,∴①④错误,②③正确.
6.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点( )
A.(1,3)B.(-1,-3)
C.(3,1)D.(-3,-1)
答案 C
解析 直线kx-y+1-3k=0变形为y-1=k(x-3),
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).
7.若原点在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的方程为( )
A.x+2y=0B.y-1=-2(x+2)
C.y=2x+5D.y=2x+3
答案 C
解析 ∵直线OP的斜率为-,又OP⊥l,∴直线l的斜率为2,∴直线l的点斜式方程为y-1=2(x+2),化简,得y=2x+5,故选C.
二、填空题
8.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是________.
答案 y=x-6或y=-x-6
解析 因为直线与y轴相交成30°角,
所以直线的倾斜角为60°或120°,
所以直线的斜率为或-,
又因为在y轴上的截距为-6,
所以直线方程为y=x-6或y=-x-6.
9.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为________.
答案 [,+∞)
解析 由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则得k≥.
10.与直线l:
y=x+1平行,且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________________.
答案 y=x
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