初中函数复习专题适合初三学生.docx
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初中函数复习专题适合初三学生
初中函数复习
一、基本概念
1、常量和变量:
在变化过程中,数值保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量叫做变量。
2、函数:
⑴定义:
一般的,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,我们称y是x的函数。
其中x是自变量,y是因变量。
⑵函数的表示方法:
列表法、图象法和解析法。
⑶自变量取使函数关系式有意义的值,叫做自变量的取值范围。
①函数的解析式是整式时,自变量可以取全体实数;
②函数的解析式是分式时,自变量的取值要使分母不为0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值要使被开方数是非负数;
④对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。
二、初中所学的函数
1、正比例函数:
(1)、正比例函数的定义:
形如的形式。
自变量与函数之间是倍的关系
一般情况下,当作自变量,作为函数
(2)、正比例函数的性质
正比例函数y=kx的图象是经过(0,0),(1,k)的一条直线。
当时,图象从左到右是上升的趋势,也即是随的增大而增大。
过一、三象限。
当时,图象从左到右是下降的趋势,也即是随的增大而减小。
过二、四象限。
k>0k<0
注意:
因为正比例函数y=kx(k≠0)中的待定系数只有一个k,因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件,列出一个方程,从而求出k值。
2、一次函数
(1)、一次函数的定义:
形如的形式;自变量与常量的乘积,再加上一个常量的形式。
(2)、一次函数与正比例函数的关系
属于
正比例一次函数
不属于
(3)、一次函数的图象性质
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)(—k/b,0)的一条直线,也可由y=kx平移得到
当k>0时,y随x的增大而增大,b>0时,图象过第一、二、三象限,b<0时,图象过一、三、四象限
当k<0时,y随x的增大而减小,b>0时,图象过第一、二、四象限,b<0时,图象过二、三、四象限
注意:
一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b,因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件,列出一个方程组,从而求出k和b。
3、反比例函数
(1)、反比例函数的定义:
形如y=(为常数,)的形式;x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0.
(2)、反比例函数的性质
反比例函数y=的图像是双曲线(两个分支)
当k>0时,图像的两个分支分别在第一,三象限内;在每个象限内,y随x的增大而减小
当k<0时,图像的两个分支分别在第二,四象限内;在每个象限内,y随x的增大而增大
k>0k<0
④对称性:
反比例函数y=的图像是轴对称图形,对称轴是直线y=x或直线y=—x,也是中心对称图形,对称中心是原点
⑤在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x、轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则S1=S2=|k|。
设R是双曲线上任意一点,过P作x轴的垂线,垂足为A,则
注意:
因为反比例函数y=(k≠0)中的待定系数只有一个k,因此确定反比例函数的解析式只需x、y一组条件,列出一个方程,从而求出k值
4、二次函数
(1)、二次函数的定义:
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数称为二次函数,其定义域是R。
(2)、二次函数的解析式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);对称轴为,顶点坐标为.
②顶点式:
();对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)
③零点式(两根式):
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中,x1、x2是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点(或是方程ax2+bx+c=0的两个根)。
(3)、二次函数的图像:
二次函数的图像是一条抛物线.
(4)、二次函数的图像的性质:
①开口方向:
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
②顶点坐标:
;
③对称轴方程:
;
④当时,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值;当时,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
(5)、二次函数图象的平移
①保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
②平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.一定要记住!
(6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系
①二次项系数;二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
②一次项系数;在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
③常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
④二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
(1).已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2).已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3).已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
(4).已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
(7)、二次函数图象的对称,当成结论重点记忆。
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
①.关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
②.关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
③.关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
④.关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
⑤.关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
(8)、二次函数与一元二次方程:
①.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
(1).当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
(中考常考,重点记忆)
(2).当时,图象与轴只有一个交点;
(3).当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
②.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
③.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
练习一
1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品,剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的函数关系是______________,x的取值范围是__________;
2、函数y=的自变量x的取值范围是________;
3、一根弹簧原长13厘米,它所挂的重物不能超过16千克,并且每挂重量1千克时,弹簧
就伸长0.5厘米。
①写出挂重后弹簧的长y(厘米)与挂重x(千克)之间的函数关系式;②求自变量的取值范围。
4、如图,在边长为4的正方形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上顺次截取AP=BQ=CR
=DH,得到正方形PQRH,求正方形PQRH的面积S和AP的长度x之间的函数关系式
和自变量x的取值范围。
5、如图,在直角梯形ABCD中,AB=22,CD=10,AD=16。
①在斜腰BC上任取一点P,
过P点作底边的垂线,与上下底分别交于E、F。
设PE长为x,PF长为y。
求y与x的函数表达式和自变量x的取值范围;②如果SΔPCD=SΔPAB,P点应取在什么地方?
6、已知y与3x成正比例,当x=8时,y=-12,求y与x的函数解析式。
7、已知2y-3与3x+1成正比例,且x=2时,y=5,
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出它是什么函数;
(2)若点(a,2)在这个函数的图象上,求a.
8、一个一次函数的图象,与直线y=2x+1的交点M的横坐标为2,与直线y=-x+2的交点N的纵坐标为1,求这个一次函数的解析式
9、已知直线y=kx+b经过点(,0)且与坐标轴所围成的三角形的面积是,求该直线的解析式
10、设一个等腰三角形的周长为45,一腰为x,底为y,
⑴写出y用x表示函数关系式.确定自变量x的取值范围.
⑵求出当x=15时,y的值,并指出此时三角形是什么三角形?
11、已知直线y=3x与y=-x+4,求:
⑴这两条直线的交点.⑵这两条直线与y轴围成的三角形面积.
12、已知直线y1=2x-6与y2=-ax+6在x轴上交于A,直线y=x与y1、y2分别交于C、B。
(1)求a;
(2)求三条直线所围成的ΔABC的面积。
13、已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1的交点在第四象限内。
(1)求k的取值范围
(2)若k为非负整数,△PAO是以OA为底的等腰三角形,点A的坐标为(2,0)点P在直线x-2y=-k+6上,求点P的坐标及OP的长。
14、我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,雉城镇制定了每月用水4吨以内(包括4吨)和用水4吨以上两种收费标准(收费标准:
指每吨水的价格),用户每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,其函数图象如图所示。
⑴观察图
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