经典竞赛几何的题目.docx
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经典竞赛几何的题目
绝密★启用前
2018年05月17日张朋松的初中数学组卷
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一.解答题(共50小题)
1.已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:
△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问
(2)中结论还成立吗?
如果成立,请说明理由.
2.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图所示).求证:
∠DEF=∠HFE.
3.在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的角平分线AE,CF相交于点O,
(1)如图1,若AB=BC,求证:
OE=OF;
(2)如图2,若AB≠BC,试判断线段OE与OF是否相等,并说明理由.
4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,在△ABC外取一点E,使得∠EAB=∠ACB,AE=DC,并且线段ED与线段AB相交,交点记为K,问线段EK与DK有怎样的大小关系?
并说明理由.
5.已知如图,AC=BC,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂直AD于E,求证:
BE=AD.
6.如图,已知AB=AC,∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:
AD=BD+CD.
7.如图△ABC,D是△ABC内的一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线,求证:
AB=CD.
8.如图,在正方形ABCD中,取AD,CD的边的中点E,F,连接CE,BF交于点G,连接AG,试判断AG与AB是否相等,并说明理由.
9.如图,设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点,AD⊥BM于E,AD交BC于D.求证:
∠AMB=∠CMD(请用两种不同的方法证明)
10.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC及AB的中点,射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G.试猜想∠AHF与∠BGF的关系,并给出证明.
提示:
若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系,可考虑使四边形ABCD为特殊情况.如果给不出证明,可考虑下面作法,连结AC,以F为中心,将△ABC旋转180°,得到△ABP.
11.如图,D为△ABC中线AM的中点,过M作AB、AC边的垂线,垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.
(1)求证:
PN=QN;
(2)求证:
MN⊥BC.
12.在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.
求证:
①△DEM≌△DFN;
②∠PAE=∠PBF.
13.如图:
已知AB∥DC,∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E,过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点.猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系,并证明.
14.如图,已知△ABC中,AB=BC=CA,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,G是BC上一点,△DGH是等边三角形.求证:
EG=FH.
15.已知如图,CD是RT△ABC斜边上的高,∠A的平分线交CD于H,交∠BCD的平分线于G,
求证:
HF∥BC.
16.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是CD的中点,过点E作CD的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:
AM=2MB;
(2)试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明.
17.如图,在△ABC中AC>BC,E、D分别是AC、BC上的点,且∠BAD=∠ABE,AE=BD.
求证:
∠BAD=∠C.
18.已知A,C,B在同一条直线上,△ACE,△BCF都是等边三角形,BE交CF于N,AF交CE于M,MG⊥CN,垂足为G.求证:
CG=NG.
19.如图所示,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD为BC边上的高,延长AB到E点,使BE=BD,过点D、E引直线交AC于点F,请判定AF与FC的数量关系,并证明之.
20.如图,△ABC是边长为l的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形,
求证:
△AMN的周长等于2.
21.已知如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且AE=(AB+AD),求证:
∠B与∠D互补.
22.如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD于E.求证:
BD=2CE.
23.AD是△ABC的角平分线,M是BC的中点,FM∥AD交AB的延长线于F,交AC于E.
(1)求证:
CE=BF;
(2)探索线段CE与AB+AC之间的数量关系,并证明.
24.如图,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°.判断线段AD与EF数量和位置关系.
25.如图,四边形ABCD中,BC=DC,对角线AC平分∠BAD,且AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的长.
26.如图,已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°,∠ABD=90°﹣∠DBC.求证:
AC=AD.
27.如图,正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形,P、Q为它们的中心,M是BC的中点,试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系?
并证明你的结论.
28.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,BP⊥AD,垂足为P.已知AB=5,BP=2,AC=9.试说明∠ABC=3∠ACB.
29.如图,在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN,CM相交于点P,试求∠APM的度数.
30.已知如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O,
(1)求:
∠AOC的度数;
(2)求证:
AC=AE+CD.
31.如图,已知△ABC中AB>AC,P是角平分线AD上任一点,求证:
AB﹣AC>PB﹣PC.
32.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:
DP=DQ.
33.如图已知△ABC中,AB=AC,∠ABD=60°,且∠ADB=90°﹣∠BDC,求证:
AB=BD+DC.
34.如图,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE度数.
35.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM.点E在射线NA上,且NE=2NA,求证:
BD⊥DE.
36.如图,△ABC中,BD为∠ABC的平分线;
(1)若∠A=100°,∠C=50°,求证:
BC=BA+AD;
(2)若∠BAC=100°,∠C=40°,求证:
BC=BD+AD.
37.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.
求证:
BD=CD.
38.如图所示,在△ABF中,已知BC=CE=EF,∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°,求的值.
39.如图,已知过△ABC的顶点A,在∠BAC内部任意作一条射线,过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE,M为BC边中点.求证:
MD=ME.
40.已知,如图,在正方形ABCD中,O是对角线的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,交AC于点G,DH延长线交AB于点E
求证:
.
41.已知:
在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:
∠ADB=∠CDF.
42.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连接CE、CD,求证:
CD=2EC.
43.如图,在△ABC中,BD=CD,AG平分∠DAC,BF⊥AG,垂足为H,与AD交于E,与AC交于F,过点C的直线CM交AD的延长线于M,且∠EBD=∠MCD,AC=AM.
求证:
DE=CF.
44.如图,BE、CF是△ABC的高,它们相交于点O,点P在BE上,Q在CF的延长线上且BP=AC,CQ=AB,
(1)求证:
△ABP≌△QCA.
(2)AP和AQ的位置关系如何,请给予证明.
45.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠BAC交CD于E,交BC于F,EG∥AB交BC于G,说明BG=CF的理由.
46.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD,求证:
∠CDA=2∠ACD.
47.如图,已知:
四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点,直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H.求证:
∠AHF=∠BGF.
48.如图,在等腰直角△ABC中,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G,求证:
BG=AF+FG.
49.已知△ABC,∠C=90°,AC=BC.M为AC中点,延长BM到D,使MD=BM;N为BC中点,延长NA到E,使AE=NA,连接ED,求证:
ED⊥BD.
50.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°,求证:
BD=BA.
2018年05月17日张朋松的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共50小题)
1.已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:
△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问
(2)中结论还成立吗?
如果成立,请说明理由.
【分析】
(1)利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC;
(2)四边形BCEF是平行四边形,因为△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,进而证明∠ABF=∠BAC,则可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四边形BCEF是平行四边形;
(3)易证AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可证明△AFB≌△ADC;根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,进而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.
【解答】证明:
(1)∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
(2)由①得△AFB≌△ADC,
∴∠ABF=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
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