初中几何三角形四边形圆最全辅助线做法50种.docx
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初中几何三角形四边形圆最全辅助线做法50种
种!
三角形部分
例:
如图,已知E为皿眈内两点,求证:
AB^AOBD
+DE+CE.
证法
(一):
将QE向两边延长,分别交力3、/C于M、N在中,AM+AN>MD+DE+NE①
在△BDW中,MB+MD>BD②
在ZkCEN中,CN+NE>CE③
1+②+③得
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
・・.AB+AC>BD+DE+CE
证法
(二)延长3D交MC于化
延长CE交亦于G,
在ZUBF和AGFC和中有,
1AB+AF>BD+DG+GF
2GF+FC>GE+CE
3DG+GE>DE
・••①+②+③有
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+
DE
・・・4B+AC>BD+DE+CE
注意:
利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题.
练习:
已知:
如图P为MBC内任一点,
求证:
\(AB+BC+AC) 证法 (一): 延长BD交/C于E, •: ZBDC是5EDC的外角, ・•・ZBDC>ZDEC入A 同理: ZDEC>ABACb厶。 ・・・ZBDC>ABAC 证法 (二): 连结昇。 并延长交BC于F •: 乙BDF是△川? Q的外角, : .ZBDF>ABAD 同理ZCQF>ACAD : .ZBDF+ZCDF>ZB4D+ZC4D 即: ZBDC>ZB4C 例: 已知,如图,/D为AABC的中线且Zl=Z2,Z3=Z4, 求证: BE+CF>EF 证明: 在D4上截取DN=D5连结NE、NF、贝\\DN=DC在NBDE和△"£>£*中, DN=DB Zl=Z2 ED=ED : ・、BDE竺HNDE : ・BE=NE 同理可证: CF=NF 在中,EN+FN〉EF ・・・BE+CF>EF 岛■已知.如图,如9为的中线,且Zl=Z2,Z3= Z4,求证: BE+CF>EF 证明: 延长Q到M,使DM=DE,连结CM、FM M ABDE和△CQM中, BD=CD Zl=Z5 ED=MD : .HBDEQ/XCDM : .CM=BE 又VZ1=Z2,Z3=Z4 Z1+Z2+Z3+Z4=180" /.Z3+Z2=90° 即ZEDF=90。 ZFDM=ZEDF=90。 \EDF和中 ED=MD ZFDM=乙EDF DF=DF ・・・'EDFUHMDF : .EF=MF ・・•在△CW中,CF+CM>MF BE+CF>EF (此题也可加倍FD,证法同上) 例: 已知,如图,4D为MBC的中线,求证: AB^AC>2AD. 证明: 延长血)至E使=连结3E •: AD为HAEC的中线 E ・•・BD=CD 在ZUCD和中 BD=CD Z1=Z2 AD=ED : .bACDUHEBD I“ABE中有人B+BE>4E: .AB+AO2AD 截长法: 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段; 补短法: 延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段“、b、c、〃有下列情况之一时用此种方法: ®a>b ②a±b=c®a±b=c±d 例: 甌已知,如图,在^ABC43,AB>ACtZl=Z2,P为4D 上任一点, 求证: AB-AOPB-PC证明: ⑴截长法: 在M上截取AN=AC,连结PN 在ZUPN和ZUPC中, AN=AC Zl=Z2 AP=AP : .AAPN^AAPC : ・PC=PN I△BPN曲PB-PC : .PB-PC 延长/C至M,使AM=ABt连结PM在ZUBP和ZUMP中 AB=AM Zl=Z2 AP=AP : ./\ABP^/\AMP: .PB=PM 又•・•在ZkPCM中有CM>PM-PC : .AB-AC>PB-PC练习: 1.已知,在厶ABC中,ZB=6(T,/D、CE春ABC的角平分线,并且它们交于点O 求证: AC=AE+CD 2•已知,如图,AB//CDZI=Z2,Z3=Z4. 求证: BC=4B+CD 例: 已知MC=BD,/Q丄/C于昇,BCBD于B求证: AD=BC 证明: 分别延长场、CB交于点、E 9: AD丄FCBCIBDA : .ZCAE=Z.DBE=90° 在和△C4E中 上DBE=ZCAE BD=AC ZE=ZE : .HDBE3/XCAE: .ED=ECtEB=EA : .ED-EA=EC-EB : .AD=BC 例: 已知,如图,AB//CD,AD//BC求证: AB=CD 证明: 连结/C(或3Q) •: AB//CD、AD//BC'' ・•・Z1=Z2 在&BC和中, Zl=Z2 AC=CA Z3=Z4 ・・・£\ABCm/\CDA : .AB=CD 练习: 已知,如图,AB=DCtAD=BC,DE=BF, 求证: BE=DF 例: 已知,如图,在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=9Q(\Z1=Z2,CE丄BQ的延长线于E求证: BD=2CE 证明: 分别延长从LCE交于F •: BEICF : .ZBEF=ZBEC=90° 在5BEF和中 Zl=Z2 BE=BE ZBEF=ZBEC : ./\BEF^/\BEC••・CE=FE='CF 2 ・.・ZBAC=90°,BE丄CF : .ZBAC=ZCAF=9(Y, Z1+ABDA=90° Z1+ZBFC=9W ZBDA=ZBFC 在和ZUCF中 ABAC=ZCAF ZBDA=ZBFC AB=AC ・・・^\ABD^/\ACF : ・BD=CF : .BD=2CE 练习: 已知,如图,ZACB=3ZB,Z1=Z2,CZ)丄/D于D, 求证: AB-AC=2CD 例: 已知,女口图,AC.加相交于O,S.AB-DC,AC=BDt 求证: Z/4=ZZ) 证明: (连结3C,过程略) 求证: ZABC=ZDCB 证明: 分别取应>、BC中点、N、M,连结NB、NM、NC(过程略) 餌I已知,如图,Zl=Z2,P为別V上一点,且PD丄〃C于D,AB+BC=2BD、 求证: ZBAP+ZBCP=\SO°证明: 过P作PE丄34于E •: PD丄BC,Zl=Z2 : ・PE=PD 在Rt^BPE和Rt^BPD中 BP=BP PE=PD : .RtABPE^RtABPD : .BE=BD •: AB+BC=2BD,BC=CD+BDtAB=BE-AE : .AE=CD •: PE1BE,PD丄BC ZPEB=ZPDC=90。 在ZEA和△PDC中 PE=PD ZPEB=ZPDC AE=CD ;・“PEA竺/XPDC : .ZPCB=ZEAP •;ZBAP+ZEAP=180。 ・•・ZBAP+ZBCP=180。 练习: 1・已知,如图,PA.PC分别是“ABC外角ZMAC与Z NC4的平分线,它们交于P, : .AE1BC /.Z2+ZJC5=90° ・.・BQ丄/C ・•・ZDBC+ZACB=90° : .Z2=ZDBC : .ZBAC=2ZDBC (方法二)过/作ME丄BC于E(过程略) (方法三)取〃C中点E,连结/E(过程略) ⑵有底边中点时,常作底边中线 閭■已知.如图,ZUBC中,AB=AC,D为BC中点,DE丄 MB于E,DF丄/C于F, 求证: DE=DF A 证明: 连结/D ・・・。 为BC中点, : .BD=CD 又•: AB=AC : .AD平分ABAC •: DE丄昇5DF丄AC : .DE=DF⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题 例: 已知,如图,AAI3C中,AB=AC,在必4延长线和/JC上各取一点E、F,使AE=AF,求证: EFLBC 证明: 延长BE到N,使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC : .ZB=ZACB,ZACN=ZANC •・・Z3+Z/ICB+AACN+ZANC=180。 : .2ZBCA+2ZACN=180。 /.ZBCA+ZACN=90°/ 即ZBCN=92BZ1J : ・NC丄BC 9: AE=AF : .ZAEF=ZAFE 又VZBAC=ZAEF+ZAFE ZBAC=ZACN+ZANC : .ABAC=2ZAEF=2ZANC : .ZAEF=ZANC: .EF//NC : .EF1BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例: 已知,如图,在△/3C中,AB=AC,D在如3上,E在 MC延长线上,且BD=CE,连结DE交3C于F 求证: DF=EF 证明: (证法一)过D作DN//AE,交BC于N、贝ljZDNB= Z4CB,ZNDE=ZE, •・・4B=4C, : .ZB=ZACB : .ZB=ZDNB ・・・BD=DN 又•: BD=CE : ・DN=EC 在和中 Z1=Z2 ZNDF=ZE DN=EC ・・・'DNFQHECF : .DF=EF (证法二)过E作EM//AB交BC延长线于M,则ZEMB= ZB(过程略) ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例: 已知,如图,MEC中,AB=AC,E在AC±,D在B4 延长线上,S.AD=AE,连结DE 求证: DE1BC 证明: (证法一)过点E作EF//BC交血于F,贝I] ZAFE=ZB ZAEF=ZC *: AB=AC : .乙B=ZC ・•・AAFE=AAEF 9: AD=AE ・•・ZAED=ZADE又JZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180。 : .2ZAEF^-2ZAED=90°即ZFED=90" : .DE1.FE 又9: EF//BC: .DELBC (证法二)过点。 作DN//BC交CA的延长线于N,(过程略) (证法三)过点力作AM//BC交DE于M,(过程略)⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形等边三角形 形内一点,若ZPBC=\O°ZPCB=30^求ZPAB的度数. 解法一: 以力3为一边作等边三角形,连结CE则ZBAE=ZABE=60° AE=AB=BE9: AB=AC・・・AE=ACZABC=ZACB・・・ZAEC=ZACE VZEAC=ZBAC-ZBAE=80°—60。 =20。 ・•・AACE=”180"-ZEAC)=80。 •・•ZACB=1(180°-ZBAC)=50。 : .ZBCE=ZACE-ZACB =80°—50°=30° •・•ZPCB=30。 : .乙PCB=ZBCE IZABC=ZACB=50。 ,ZABE=60。 ・•・ZEBC=ZABE-/ABC=60。 -50。 =10。 ・.・ZPBC=10。 : .ZPBC=ZEBC 在△PBC和△E3C中 ZPBC=ZEBC BC=BC ZPCB=ZBCE : .、PBC3/\EBC : .BP=BE 9: AB=BE : .AB=BP : .ZBAP=ZBPA IZABP=ZABC-"BC=50。 一10。 =40。 : .ZPAB=|(180°-ZABP)=70° 解法二: 以/C为一边作等边三角形,证法同一。 解法三: 以3C为一边作等边三角形△3CE,连结ME,则 EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60° •: EB=EC ・•・£在的中垂线上同理/在〃C的中垂线上••EA所在的直线是BC的中垂线: .EA1.BC Z4EB=+上BEC=30°=上PCB 由解法一知: ZABC=50°: .AABE=ZEBC—ZABC=\O°=ZPBC・.・ZABE=ZPBC,BE=BC上AEB=ZPCB : .HABE竺HPBC : .AB=BP : .ZBAP=ZBR4 IZABP=ZABC-ZPBC=50。 -10。 =40。 ・•・ZE4B=1(180°-ZABP)=丄(180。 一40。 )=70。 2 ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例: 已知,如图,在厶ABC中,Zl=Z2,ZABC=2ZC, 求证: AB+BD=AC 证明: 延长MB到巴使BE=BD,连结DE则ZBED=ABDE IZABD=ZE+ABDE : .ZABC=2/E A •: 乙ABC=2ZCb Z£=ZC己 在△/£! )和心3中 Z£=ZC Z1=Z2 AD=AD : .^AED^/\ACD •\AC=AE 9: AE=AB+BE : .AC=AB+BE 即AB+BD=AC ⑵平分二倍角 已知,如图,在厶ABC中,BD丄/1C于DZBAC=2Z DBC 求证: ZABC=ZACB 证明: 作ABAC的平分线/E交3C于艮则ZBAE=ZCAE =ZDBC 9: BDLAC : .ZCBD+ZC=90。 : .ZCAE+ZC=90° IZAEC=180。 -ZCAE-ZC=90° : .AE丄BC ・•・Z4BC+ZBAE=90° ZCAE+ZC=90° ZBAE=ZCAE ZABC=ZACB ⑶加倍小角 例: 已知,如图,在MBC中,BD丄/C于DZBAC=2Z DBC 求证: ZABC=ZACB 证明: 作ZFBD=ZDBC,BF交/C于F(过程略) 例: 已知,如图,5ABC中,AB=AC}ZBAC=\20°yEF为 的垂直平分线,EF交BC于F,交4B于E求证: BF=\FC 证明: 连结力尺则AF=BF: .ZB=ZFAB ^AB=AC —zc TZBAC=120。 : .Z5=ZCZBAC=1(180°一ABAC)=30。 : .ZE4B=30。 ••-ZE4C=ZBAC-ZE4B=120°-30。 =90。 又VZC=30° : .AF=LFC 2 : ・BF='FC J 练习: 已知,如图,在△人BC中,ZCAB的平分线/1D与3C的垂直平分线DE交于点DDM丄M于M,DNL4C延长线 于N 求证: BM=CN 例: 已知,如图,在HABC中,ZB=2ZC,&D丄BC于D 求证: CD=AB+BD 证明: (-)在CQ上截取=连结朋,则AB=AE : .ZB=ZAEB ・.・ZS=2ZC ・•・ZAEB=2ZC X7ZAEB=ZC+ZE4C : .ZC=ZEAC : .AE=CE又•: CD=DE+CE•••CD=BD+AB (二)延长CE到F,使DF=DC,连结MF则AF=AC(过程略) 例: 已知,如图,在厶ABC中,BC=2AB,ZABC=2ZC,BD=CD 求证: N4BC为直角三角形 证明: 过D作DE丄3C,交/1C于E,连结3E,则BE=CE,: .ZC=ZEBC ・.・ZABC=2ZC ・・・ZABE=ZEBC •: BC=2AB,BD=CD: ・BD=AB 在ZUBE和△D3E中 AB=BD ZABE=ZEBC BE=BE : ./\ABE^/\DBE: .ZBAE=Z.BDE9: ZBDE=90° ・•・ZBAE=90°即为直角三角形 例: 已知,如图,在HABC中,=DE为BC的垂直 平分线 求证: BE2-AE2=AC2 证明: 连结CE,则处=CE I厶=90" HA—EC2 : .ae2+ac2=be2 : .be2-ae2=aC1 练习: 已知,如图,在&BC中,ABAC=90°t4B=AC,P 为BC上一点 求证: PB2+P(? =2PA2 岛■已知,如图,在AABC中,ZB=45°tZC=30°, 求/C的长. 解: 过力作丄BC于D : .ZB+ZBAD=90°t VZ5=45°,ZB=ZBAD=45。 : .AD=BD 9: AB2=AD2+BD1lAB=42 : .AD=\ VZC=30",2丄BC : .AC=2AD=2 例: 已知,如图,RtAABC,ZACB=90°,CD丄AB于D,AE平分ZCAB交CD于F,过F作FH//AB交BC于H 求证: CE=BH 证明: 过F作FP//BC交4B于巴则四边形为平行四 边形 /.ZB=ZFR4,BH=FP VZACB=90°tCD丄人B /.Z5+ZCAB=45°,ZB+ZCAB=90° AZ5=Z5・•・Z5=ZFB4 又VZ1=Z2,AF=AF : ・'CAFU'PAF : ・CF=FP VZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+ZS ・・・Z3=Z4 : .CF=CE : .CE=BH 练习: 已知,如图,AB//EF//GH,BE=GC 求证: AB=EF+GH 例: 已知,如图,在oABCD中,AB=25C,M为仙中点求证: CMLDM 证明: 延长DM、CB交予N ・・・四边形ABCD为平行四边形 : .AD=BC,AD//BC : .AA=ZNBAZADN=ZN又•: AM=BM : .竺△3MN : ・AD=BN : ・BN=BC •: AB=2BC,AM=BM : ・BM=BC=BN /.Zl=Z2,Z3=ZN VZ1+Z2+Z3+ZN=180。 /.Zl+Z3=90。 : .CM丄DM 例: 已知,如图,E为矩形ABCZ)的边上一点,且= ED,P为对角线BD上一点,PF丄BE于F,PG丄应>于G求证: PF+PG=AB 证明: 证法一: 过P作阳丄于H,则四边形AHPG为矩 形 : .AH=GPPH//AD : .ZADB=/HPB •: BE=DE : .ZEBD=ZADB : .ZHPB=ZEBD 又・.・ZPFB=ZBHP=90。 : .HPFB^'BHP : .HB=FP ・・・AH+HB=PG+PF 即AB=PG+PF证法二: 延长GP交BC于“则四边形ABNG为矩形,(证明略) ⑴作斜边上的高 线与/BAD的平分线交于点E 求证: AC=CE 证明: 过/作/F丄BD,垂足为F,贝\\AF//EG : .ZE4E=ZAEG ・・•四边形ABCD为矩形 ・•・ABAD=90。 OA=OD : .ZBDA=ZCAD \'AF1BD : .ZABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90。 ・•・ZBAF=ZADB=ZCAD 9: AE为ZB4D的平分线 ・・・ZBAE=ZDAE : .ABAE-ZBAF=ZDAE-ZDAC 即ZFAE=ZCAE : .ZCAE=ZAEG : .AC=EC⑵作斜边中线,当有下列情况时常作斜边中线: ①有斜边中点时 例: 已知,如图,4D、BE是AABC的高,F是DE的中点, G是昇〃的中点 求证: GF丄DE 证明: 连结GE、GD•••血、比是2BC的高,G是力〃的中点: ・GE=LAB、GD=LAB 22 ・•・GE=GD ・・・F是DE的中点 ・・・GF丄DE ②有和斜边倍分关系的线段时 例: 已知,如图,在中,D是BC延长线上一点,且D4丄必于AC=;BD 求证: ZACB=2ZB 证明: 取80中点E,连结/E,则AE=BE=\BD .•.Zl=ZB 9: AC=LBD 2 : .AC=AE: .ZACB=Z2 ・\Z2=2Z5 ・・・ZACB=2ZB 邂已知,如图,正方形ABCD中,M为曲的中点,丄⑷,平分ZCBE并交MN于N 求证: MD=MN 证明: 取/Q的中点P,连结PM,则DP=PA=LAD •・•四边形ABCD为正方形 ・\AD=AB,ZA=ZABC=90° AZ1+ZAMD=90°,又DM丄MN ・・・Z2+= AZ1=Z2 ・・・M为中点 : .AM=MB=LAB 2 : .DP=MBAP=AM : .ZAPM=ZAMP=45°: .ZDPM=135° 平分乙CBE : .ZCBN=45° : .ZMBN=ZMBC+ZCBN=90°+45°=135。 即ZDPM=ZMBN : ./XDPM^/XMBN: .DM=MN 注意: 把M改为ABh任一点,其它条件不变,结论仍然成立。 练习: 已知,0为正方形ABCD的CD边的中点,P为CQ上 —点,RAP=PC+BC 求证: ZBAP=2ZQAD 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时,可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方 法. 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中. 例: 已知,如图,在MBC中,AB=AC,ZBAC=90°tD为 BC边上任一点 求证: 2AD2=BD-+CD- 证明: 把绕点A逆时针旋转90。 得MCE: ・BD=CEZB=ZACE *: ABAC=90° : .ZDAE=90° : .DE^=AD1+AE2=2AD1 •・•ZB+ZACB=9V ・・・ZDCE=90。 : ・CgC&=D£ ・•・2AD2=B
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