数学表达式解析前缀中缀后缀.docx

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数学表达式解析前缀中缀后缀

前缀、中缀、后缀表达式

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。

它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：

前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：

（3+4）×5-6就是中缀表达式

-×+3456 前缀表达式

34+5×6- 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。

中缀表达式是人们常用的算术表示方法。

虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。

对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）

前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：

从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素op次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。

例如前缀表达式“-×+3456”：

（1）从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；

（2）遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；

（3）接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；

（4）最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：

遵循以下步骤：

（1）初始化两个栈：

运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；

（2）从右至左扫描中缀表达式；

（3）遇到操作数时，将其压入S2；

（4）遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：

（4-1）如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“）”，则直接将此运算符入栈；

（4-2）否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；

（4-3）否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到（4-1）与S1中新的栈顶运算符相比较；

（5）遇到括号时：

（5-1）如果是右括号“）”，则直接压入S1；

（5-2）如果是左括号“（”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；

（6）重复步骤

（2）至（5），直到表达式的最左边；

（7）将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；

（8）依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

例如，将中缀表达式“1+（（2+3）×4）-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素

S2（栈底->栈顶）

S1（栈底->栈顶）

说明

5

5

空

数字，直接入栈

-

5

-

S1为空，运算符直接入栈

）

5

-）

右括号直接入栈

4

54

-）

数字直接入栈

×

54

-）×

S1栈顶是右括号，直接入栈

）

54

-）×）

右括号直接入栈

3

543

-）×）

数字

+

543

-）×）+

S1栈顶是右括号，直接入栈

2

5432

-）×）+

数字

（

5432+

-）×

左括号，弹出运算符直至遇到右括号

（

5432+×

-

同上

+

5432+×

-+

优先级与-相同，入栈

1

5432+×1

-+

数字

到达最左端

5432+×1+-

空

S1中剩余的运算符

因此结果为“-+1×+2345”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）

后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：

与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：

从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。

例如后缀表达式“34+5×6-”：

（1）从左至右扫描，将3和4压入堆栈；

（2）遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；

（3）将5入栈；

（4） 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；

（5）将6入栈；

（6）最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：

与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：

（1）初始化两个栈：

运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；

（2）从左至右扫描中缀表达式；

（3）遇到操作数时，将其压入S2；

（4）遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：

（4-1）如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“（”，则直接将此运算符入栈；

（4-2）否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；

（4-3）否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到（4-1）与S1中新的栈顶运算符相比较；

（5）遇到括号时：

（5-1）如果是左括号“（”，则直接压入S1；

（5-2）如果是右括号“）”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；

（6）重复步骤

（2）至（5），直到表达式的最右边；

（7）将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；

（8）依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

例如，将中缀表达式“1+（（2+3）×4）-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素

S2（栈底->栈顶）

S1（栈底->栈顶）

说明

1

1

空

数字，直接入栈

+

1

+

S1为空，运算符直接入栈

（

1

+（

左括号，直接入栈

（

1

+（（

同上

2

12

+（（

数字

+

12

+（（+

S1栈顶为左括号，运算符直接入栈

3

123

+（（+

数字

）

123+

+（

右括号，弹出运算符直至遇到左括号

×

123+

+（×

S1栈顶为左括号，运算符直接入栈

4

123+4

+（×

数字

）

123+4×

+

右括号，弹出运算符直至遇到左括号

-

123+4×+

-

-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-

5

123+4×+5

-

数字

到达最右端

123+4×+5-

空

S1中剩余的运算符

因此结果为“123+4×+5-”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。

其中的toPolishNotation（）方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation（）方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：

（1）程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。

有耐心的话可以研究一下。

（2）此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

[java] viewplain copy

1.package qmk.simple_test;  

2.import java.util.Scanner;  

3.import java.util.Stack;  

4./** 

5. * Example of converting an infix-expression to 

6. * Polish Notation （PN） or Reverse Polish Notation （RPN）. 

7. * Written in 2011-8-25 

8. * @author QiaoMingkui 

9. */  

10.public class Calculator {  

11.      public static final String USAGE = "== usage ==\n"  

12.            + "input the expressions, and then the program "  

13.            + "will calculate them and show the result.\n"  

14.            + "input 'bye' to exit.\n";  

15.      /** 

16.       * @param args 

17.       */  

18.      public static void main（String[] args） {  

19.            System.out.println（USAGE）;  

20.            Scanner scanner = new Scanner（System.in）;  

21.            String input = "";  

22.            final String CLOSE_MARK = "bye";  

23.            System.out.println（"input an expression:

"）;  

24.            input = scanner.nextLine（）;  

25.            while （input.length（） !

= 0  

26.                  && !

CLOSE_MARK.equals（（input））） {  

27.                  System.out.print（"Polish Notation （PN）:

"）;  

28.                  try {  

29.                        toPolishNotation（input）;  

30.                  } catch （NumberFormatException e） {  

31.                        System.out.println（"\ninput error, not a number."）;  

32.                  } catch （IllegalArgumentException e） {  

33.                        System.out.println（"\ninput error:

" + e.getMessage（））;  

34.                  } catch （Exception e） {  

35.                        System.out.println（"\ninput error, invalid expression."）;  

36.                  }  

37.                  System.out.print（"Reverse Polish Notation （RPN）:

"）;  

38.                  try {  

39.                        toReversePolishNotation（input）;  

40.                  } catch （NumberFormatException e） {  

41.                        System.out.println（"\ninput error, not a number."）;  

42.                  } catch （IllegalArgumentException e） {  

43.                        System.out.println（"\ninput error:

" + e.getMessage（））;  

44.                  } catch （Exception e） {  

45.                        System.out.println（"\ninput error, invalid expression."）;  

46.                  }  

47.                  System.out.println（"input a new expression:

"）;  

48.                  input = scanner.nextLine（）;  

49.            }  

50.            System.out.println（"program exits"）;  

51.      }  

52.      /** 

53.       * parse the expression , and calculate it. 

54.       * @param input 

55.       * @throws IllegalArgumentException 

56.       * @throws NumberFormatException 

57.       */  

58.      private static void toPolishNotation（String input）  

59.                  throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  

60.            int len = input.length（）;  

61.            char c, tempChar;  

62.            Stack s1 = new Stack（）;  

63.            Stack s2 = new Stack（）;  

64.            Stack