导数选择题之构造函数法解不等式的一类题.docx
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导数选择题之构造函数法解不等式的一类题
导数选择题之构造函数法解不等式的一类题
一、单选题
1.定义在上的函数的导函数为,若对任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为
A.B.C.D.
2.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A.B.
C.D.
3.定义在上的偶函数的导函数,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为()
A.B.C.D.
4.已知函数定义在数集上的偶函数,当时恒有,且,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
5.定义在上的函数满足,,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
6.设定义在上的函数满足任意都有,且时,有,则的大小关系是()
A.B.
C.D.
7.已知偶函数满足,且,则的解集为
A.B.
C.D.
8.定义在R上的函数满足:
是的导函数,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为()
A.B.C.D.
9.已知定义在上的函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
10.定义在上的函数f(x)满足,则不等式的解集为
A.B.C.D.
11.已知定义在上的函数满足,其中是函数的导函数.若,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有()
A.e2017f(-2017) C.e2017f(-2017)>f(0),f(2017)>e2017f(0)D.e2017f(-2017)>f(0),f(2017) 13.已知可导函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为 A.B.C.D. 14.函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为() A.B. C.D. 15.已知函数的导数是,若,都有成立,则() A.B. C.D. 16.已知函数满足条件: 当时,,则下列不等式正确的是() A.B. C.D. 17.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则有() A.B. C.D. 18.已知函数是偶函数,,且当时其导函数满足,若,则() A.B.C.D. 19.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是() A.B.C.D. 参考答案 1.B 【解析】【分析】 构造函数,则得的单调性,再根据为奇函数得,转化不等式为,最后根据单调性性质解不等式. 【详解】 构造函数,则,所以在上单独递减, 因为为奇函数,所以. 因此不等式等价于,即,选B. 【点睛】 利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行: 如构造,构造,构造,构造等 2.A 【解析】分析: 构造函数,首先判断函数的奇偶性,利用可判断时函数的单调性,结合函数图象列不等式组可得结果. 详解: 设, 则的导数为, 因为时,, 即成立, 所以当时,恒大于零, 当时,函数为增函数, 又, 函数为定义域上的偶函数, 当时,函数为减函数, 又 函数的图象性质类似如图, 数形结合可得,不等式, 或, 可得或, 使得成立的的取值范围是,故选A. 点睛: 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 3.A 【解析】 【详解】 分析: 构造新函数,利用导数确定它的单调性,从而可得题中不等式的解. 详解: 设,则,由已知当时,,∴在上是减函数,又∵是偶函数,∴也是偶函数,, 不等式即为,即, ∴,∴,即. 故选A. 点睛: 本题考查用导数研究函数的单调性,然后解函数不等式.解题关键是构造新函数.新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造.如,,,等等. 4.B 【解析】分析: 设,结合求导法则,以及题中的条件,可以断定函数在相应区间上的单调性,根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可. 详解: 设,所以, 因为当时,有恒成立, 所以当时,所以在上递增, 因为,所以,所以是奇函数, 所以在上递增,因为,所以, 当时,等价于,所以,所以, 当时,等价于,所以,所以, 所以原不等式的解集为,故选B. 点睛: 该题考查的是有关函数的问题,结合题中所给的条件,结合商函数求导法则构造新函数,结合函数的单调性与导数的符号的关系,得到相应的结果,在求时的情况的时候,可以直接根据函数是偶函数求得结果. 5.B 【解析】分析: 根据题意,设,对其求导分析可得在区间上递减,利用的值可得的值,进而将原不等式转化为,结合函数的单调性、定义域,分析可得答案. 详解: 根据题意,设, 则, 又由函数定义在上,且有, 则,则在区间上递减, 若,则, , 则, 即不等式的解集为. 故选: B. 点睛: 本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系,关键是构造函数,并分析其单调性. 6.C 【解析】 根据题意,函数满足任意都有,则有,则是周期为的函数,则有,设,则导数为,又由时,,则有,则有,则函数在上为减函数,则有,即,又由,则有,变形可得,故选C. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 7.C 【解析】 【分析】 构造函数,由可得在递增,结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果. 【详解】 由得, 令, , 时,递增, 又时, 不等式等价于 是偶函数,也是偶函数, 可得或, 所以的解集为或,故选C. 【点睛】 本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则,属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题,通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 8.B 【解析】 【分析】 构造函数,,研究的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解 【详解】 设,, 则 则,在定义域内单调递增 , , , 则不等式的解集为 故选 【点睛】 本题主要考查了函数单调性,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。 9.A 【解析】分析: 先构造函数,再根据函数单调性解不等式. 详解: 令,因为, 所以 因此解集为, 选A. 点睛: 利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行: 如构造,构造,构造,构造等 10.C 【解析】 【分析】 构造函数,可得,在上单调递增,原不等式等价于,利用单调性可得结果. 【详解】 设, 由可得, 所以在上单调递增, 又因为, 不等式等价于 , 因此,, 即等式的解集为,故选C. 【点睛】 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 11.D 【解析】 【分析】 根据题意,构造函数,,利用导数研究其单调性,可得在上单调递减,将,,转化为,即,从而可得实数的取值范围. 【详解】 令,,则. ∵ ∴ ∴函数在上单调递减 ∵, ∴,即. ∴且,解得. ∴实数的取值范围为. 故选D. 【点睛】 本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题,往往要根据已知和所求合理构造函数,再求导进行求解,如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数. 12.D 【解析】 【分析】 构造函数,由可得函数在上单调递减,利用单调性可得结果. 【详解】 构造函数,则, 因为,均有,并且, 故函数在上单调递减,, 即, 即,故选D. 【点睛】 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13.B 【解析】 【分析】 构造函数,将不等式转化为,再根据定义域以及单调性化简求解. 【详解】 令 因为, 所以 因为在单调递减, 所以,选B. 【点睛】 利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行: 如构造,构造,构造,构造等 14.C 【解析】分析: 由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数,把原不等式转化为,结合求得x的范围. 详解: 则函数是区间上的增函数. 由不等式,得 ,解得, 又由,得,即 . 故选C. 点睛: 该题考查的是有关解不等式的问题,在解题的过程中,涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性,构造新函数,结合题意求得对应的不等式的解集. 15.D 【解析】分析: 由题意构造函数,结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果. 详解: 令, 则: , 由,都有成立,可得在区间内恒成立, 即函数是区间内单调递减, 据此可得: ,即,则. 本题选择D选项. 点睛: 函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效. 16.C 【解析】 【分析】 令,得到在递增,有,从而得到答案. 【详解】 构造函数.在恒成立,在上是增函数, 得, 故选. 【点睛】 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)=x2f(x)-x2是解题的关键,属中档题. 17.D 【解析】 【分析】 : 先构造的原函数,由此题意,得出原函数单增函数,由此判断函数值的大小。 【详解】 : 先构造的原函数,因为,则,那么在不等式的两边同时乘以不等号不变,,所以原函数单增函数,由此, ,,,,所以 ,所以A错 ,所以B错 ,所以C错 故选D。 【点睛】 : 已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种: (1)构造满足题目条件的特殊函数, (2)还原抽象函数,利用抽象函数的性质求解。 18.B 【解析】分析: 先根据函数图象的平移,得到函数的图象关于直线对称,再通过讨论导数的符号得到函数的单调性,将,,转化到同一个单调区间上进行比较大小 详解: 是偶函数,图象关于轴对称, 的图象关于直线对称 当时,, 即函数在上为增函数 ,,, , 则 即 故选 点睛: 本题主要考查了导数在研究函数中的应用,由已知条件结合导数确定函数的单调性,然后判定大小关系,读懂题意,理解函数性质是关键,本题较为综合,有一定难度。 19.D 【解析】分析: 构造函数,可得在上为减函数,可得在区间和上,都有,结合函数的奇偶性可得在区间和上,都有,原不等式等价于或,解可得的取值范围,即可得到结论. 详解: 根据题意,设, 其导数, 又由当时,, 则有, 即函数在上为减函数, 又由, 则在区间上,, 又由,则, 在区间上,, 又由,则, 则在和上,, 又由为奇函数,则在区间和上,都有, 或, 解可得或, 则的取值范围是,故选D. 点睛: 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手: ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
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- 关 键 词:
- 导数 选择题 构造 函数 不等式 一类