第14讲直线形计算二完整版.docx
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第14讲直线形计算二完整版
第14讲直线形计算二
内容概述
进一步学习直线形面积公式的运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系互相转化;初步学习添加辅助线的分析方法。
兴趣篇
1.如图14—1,在三角形ABC中,AB是AD的3倍,三角形ACD的面积是5平方厘米.请问:
三角形ABC的面积是多少?
1.15平方厘米
解答:
△ABC与△ACD的高相等,而AB是AD的3倍,所以△ABC的面积是△ACD面积的3倍,即5×3=15平方厘米,
2.如图14-2,四边形ABCD是直角梯形,其中AD=12(厘米),AB=8(厘米),
BC=15(厘米),且三角形ADE,四边形DEBF,三角形CDF的面积相等.阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米?
答案:
30平方厘米
解答:
直角梯形ABCD的上底AD=12(厘米),下底BC=15(厘米),高AB=8(厘米),那么它的面积是(12+15)×8÷2—108平方厘米.
由于△ADE,理边形D-BF,△CDF面积的和是整个梯形,而且它们的面积相等,所以它们的面积均为108÷3=36平方厘米,
在△ADE申,AD=12(厘米),则AE=30×2÷12=6(厘米).所以BE-AB-AE=8-6=2(厘米).
在△CDF中,底边CF上的高与AB相等,即8厘兴,CF=36×2÷8=9(厘米).
所以BF=BC-CF=15-9=6(厘米).于是△BEF的面积是2×6÷2=6平方厘米,
△DEF的面积为四边形DEBF与△BEF的面积差,即36-6=30平方厘米.
3.一块长方形的土地被分割成4个小长方形,其中三块的面积如图14-3所示(单位:
平方米),剩下一块的面积应该是多少平方米?
答案:
20平方米
解析:
注意到上排的左边长方形面积是右边长方形面积的2倍,而这两个长方形的宽又相同.
根据长方形的面积公式,左边长方形的长也恰好等于右边长方形的长的2倍.
再考虑下排的两个长方形,它们的宽也相同,而它们的长和上面对应的长方形的长相同.
那么下排左边的长方形面积也应该是右边的两倍,
所以剩下的长方形面积为40÷2—20平方米.
4.如图14-4,在三角形ABC中,BC是DC的3倍,AC是EC的3倍.三角形DEC的面积是3平方厘米,请问:
三角形ABC的面积是多少平方厘米?
答案:
27平方厘米
解析:
△ADC和△DEC的底边AC是EC的3倍,它们过D点作的高相同,
所以△ADC面积是△DEC的3倍,于是△ADC面积为3×3—9平方厘米.
再比较△ABC和△ADC.它们的底边BC是DC的3倍,过A点的高相同.
所以△ABC面积是△ADC的3倍.△ABC面积为9×3=27平方厘米.
5.如图14-5,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的2倍.三角形ABC的面积为36平方厘米.三角形BDE的面积是多少平方厘米?
答案:
16乎方厘米
解析:
△ABE和△ABC有公共顶点A,高相同,并且因为E是BC上的三等分点,所以底边BE是BC的
,于是△ABE的面积也是△ABC面积的
,
所以△ABE的面积为36×
=24平方厘米.
△BDE和△ABE有公共顶点B,高相同,并且ED是AD的2倍,所以底边剧)是AE的
.于是△BDE的面积也是△ABE面积的
,
所以△BDE的面积为24×
=16平方厘米.
6.如图14-6所示,已知三角形BEC的面积等于20平方厘米,E是AB边上靠近B点的四等分点.三角形AED的面积是多少平方厘米?
平行四边形DECF的面积是多少平方厘米?
答案:
60平方厘米;160平方厘米
解析:
(1)△BEC和△AED都在平行四边形ABCD中,以BE.AE为底边,高相等.
因为E是AB边上靠近B点的四等分点,所以AE是BE的3倍,
所以△AED的面积是△BEC面积的3倍,是20×3-60平方厘米.
(2)△DEC与平行四边形ABCD同底等高,所以它的面积是平行四边形ABCD的一半,
那么△BEC和△A-D正好是剩下的另一半.
所以△DEC的面积为60+20一80平方厘米.
而平行四边形DE-CF中,对角线DE正好把它平分成两个相同的部分,所以平行四边形DECF的面积是△DEC的2倍.
平行四边形DECF的面积为80×2=160平方厘米.
7.如图14-7,已知平行四边形ABCD的面积为36,三角形AOD的面积为8。
三角形BOC的面积为多少?
答案:
10
解析:
过O点作一条AD的平行线,分别交AB,CD于E,F.它正好把ABCD分成左右两个小平行四边形,而且分别与两个阴影三角形同底等高,
△AOD的面积是平行四边形ADFE的一半,
△BOC的面积是平行四边形BCFE的一半.
于是它们的总面积是平行四边形ABCD的一半,即36÷2=18.
而△AOD的面积为8,所以△BOC的面积为18-8=10.
8.如图14-8,长方形ABCD的面积是96平方厘米,E是AD边上靠近D点的三等分点,F是CD边上靠近C点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
答案:
40平方厘米
解析:
考虑空白△AEB,△BFC,△EDF,分别求出它们的面积.
首先求△AEB的面积,它的底为AE,是长方形的长AD的
;它的高为AB,与长方形的宽相等.
所以△AEB的面积是长方形面积的
×1÷2=
,即96×
=32平方厘米,
同样可求得△13FC的面积是长方形面积的1×
÷2=
,即96×
=12平方厘米.
△EDF的面积是长方形面积的
×
÷2=
,即96×
一12平方厘米.
所以空白部分的总面积为32+12+12=56平方
厘米,阴影部分的面积为96-56=40平方厘米.
9.如图14-9,把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米,结果面积增加了71平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
答案:
49平方厘米
解析:
方法一:
将阴影部分分成三块,①,②重新拼接成一个长方形.
长方形③的面积为3×5=15,①和②拼成的长方形面积为71-15—56,又知道这个长方形的一条边为3+5=8,那么另一条边的长度为56÷8—7,即为正方形的边长,
因此正方形的面积就是7×7=49平方厘米.
方法二:
设原来正方形的边长为a厘米,则有2+71=(a-3)(a+5),解得a=7,因此原正方形的面积是49平方厘米.
10.如图14-10所示,把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和4厘米,结果面积减少了46平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
答案:
81平方厘米
解析:
方法一:
把阴影部分划分成3部分,把①③组成的长方形与②③组成的长方形拼在一起,如下图所示:
注意到③的面积为2×4=8平方厘米,①②③的面积和是46平方厘米.
所以拼出的长方形面积是8+46=54平方厘米,
而它的一条边是2+4=6厘米,则另一条边是54÷6=9厘米.
于是原正方形的边长是9厘米,面积是9×9=81平方厘米.
方法二:
设原正方形的边长为a,则有a2—46=(a-2)(a-4),解得a=9,因此原正方形的面积是81平方厘米.
拓展篇
1.如图14-11,有9个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为4,8,12,16,20平方米,其余4个长方形的面积分别是多少平方米?
答案:
8平方米;24平方米;10平方米;30平方米
解析:
第一行,12平方米的长方形面积是4平方米的长方形的3倍,而且它们的宽相同.所以前者的长是后者的3倍.相对应的,②的面积是8×3=24平方米,④的面积是③的3倍,
第二行,16平方米的长方形面积是8平方米的长方形的2倍,而且它们的宽相同.所以前者的长是后者的2倍.相对应的,①的面积是4×2=8平方米,③的面积是20÷2—10平方米.
所以④的面积是10×3=30平方厘米
2.图14-12中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD是AE的3倍,三角形ABE的面积是多少平方厘米?
解析:
观察△ABC和△ABD.它们的底边BC是BD的2倍,而这两个三角形过A点的高相同,
所以△ABD的面积是△ABC的一半,即180÷2=90平方厘米。
由于AD是AE的3倍,同样方法可以得到,△ABE的面积是△ABD的
。
因此△ABE的面积是10×3=30平方厘米。
3.如图14-13,在四边形ABCD中,已知CD=3DF,AE=3ED,而且三角形BFC的面积为6平方厘米,四边形BEDF的面积为7平方厘米.大四边形ABCD的面
积是多少?
答案:
25平方厘米
解析:
连接BD,把四边形BEDF分成△BDE和△BDF两部分,如下图所示:
在△BCD中,由于CD=3DF,则CF=2DF,即△BCF的面积是△BDF面积的2倍,因此△BDF的面积是6÷2=3平方厘米,
由于四边形BEDF的面积是7平方厘米,那么△BDE的面积就是7-3—4平方厘米.
在△ABD中,AE=3ED.△ABE的面积是△BDE面积的3倍,即4×3—12平方厘米.
这样一来,四边形ABCD各部分的面积都已求出,所以它的面积为12+7+6=25平方厘米,
4.如图14-14,把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为1.三角形DEF的面积是多少?
答案:
解析:
先比较△ABD和△DEF的面积,这两个三角形的底边AD和DF相等,但是高不相等.
如果把AE连起来,如右图所示:
△ADE与△DEF等底
等高,所以它们的面积相等,注意到E足BD的中点,所以△ABE与△ADE面积相等,因此△ABD的面积就是△DEF的2倍.
同理,△BCE和△CAF的面积都是ADEF面积的2倍,所以大△ABC的面积就是△DEF面积的2+2+2+1=7倍,于是△DEF的面积就是l÷7=
.
5.如图14-15,将一个长为18的长方形,分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的5倍.三角形ABE的边BE的长是多少?
答案:
6
解析:
梯形面积是△ABE面积的5倍,则整个长方形的面积是△ABE面积的6倍。
又知△ABC面积是整个长方形的面积的一半,因此是△ABE面积的3倍,所以BC是BE的3倍,BE=18÷3=6.
6.如图14-16,E是AB边上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍,请问:
梯形的下底长是上底长的几倍?
答案:
1.5倍
解析:
假设△AEC的面积是1份,那么梯形的面积是5份,
因为E是AB上靠近A点的三等分点,所以AB=3AE,于是△ABC面积的3份。
那么△ACD的面积就是5-3=2份。
△ABC以BC为底时,高正好等于梯形的高。
同样△ACD以AD为底时,高也是梯形的高。
则它们面积的倍数关系就等于BC与AD的倍数关系,而这两条线段恰好就是梯形的下底和上底。
因此梯形的下底是上底的3÷2=1.5倍。
7.如图14-17,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?
答案:
22平方厘米
解析:
黄色三角形的底和高分别对应上面长方形的长与宽,绿色三角形的底和高分别对应下面长方形的长与宽,于是这两个三角形的面积和就是整个大长方形
面积的一半.
同样道理,红色、蓝色两个的面积和也是整个大长方形面积的一半,与黄色、绿色两个三角形的面积和相等,因此蓝色三角形的面积等于21+10-9=22平方厘米.
8.图14-18中,正方形ABCD的面积为1.把每条边都3等分,然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接,形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形.阴影部分的总面积是多少?
答案:
解析:
把P点与正方形的四个顶点都连结起来,把正方形分成了四个大三角形:
△PAB,△PBC,△PCD和△PDA.
在△PBC中,由于E,F是BC上的三等分点,则有BE=EF=FC.
于是△PBE,△PEF和△PFC的面积都相等,所以△PBC中阴影部分的面积占了
.
同样道理,在△PAB,△PCD,△PDA中,阴影部分的面积也分别占各自的
,因此阴影部分的总面积就是正方形面积的
.
正方形的面积是1,则阴影部分的总面积就是
9.如图14-19,在梯形ABCD中,E是AB的中点.已知梯形ABCD的面积为35平方厘米,三角形ABD的面积为13平方厘米,三角形BCE的面积为多少平方厘米?
答案:
11平方厘米
解析:
连结AC.由于E是AB的中点,则△BCE的面积就是△ABC面积的一半,
在梯形ABCD中,△DBC的面积=梯形面积一△ABD的面积=35-13=22平方厘米,
而△ABC与△DBC同底等高.所以它的面积也是22平方厘米.
于是△BCE的面积为22÷2=11平方厘米
10.在图14-20中,正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐,两个正方形边长分别为6和4.三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少?
答案:
8;18
解析:
如下图,在两个图形中分别链接正方形的对角线AE,EF。
(1)四边形ADEB和ECFG都是正方形,因此对角线AE和CG平行.
观察△ACG和△ECG,它们有公共底边CG,且CG边上的高相等,于是这两个三角形的面积也相等,
即:
S△ACG=S△ECG=4×4÷2=8.
(2)与第一问类似,有BD平行于EF.
观察△BDF和△BDE,它们有公共底边BD,且BD边上的高相等,于是这两个三角形的面积也相等.
即:
S△BDF=S△BDE=6×6÷2=18.
11.图14-21是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成的,有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分,那么BF的长度为多少厘米?
答案:
5.8厘米
解析:
三个正方形的面积之和是10×10+12×12+8×8=100+144+64=308平方厘米,把它分成面积相等的两部分,则每部分的面积都是308÷4=154平方厘米,
把左上角长为10厘米,宽为12-10=2厘米的长方形补到上半部分图形中.这样一来,直线EF上半部分就是长方形BCEF,它的长为EF,而宽为BF.
左上角的小长方形面积为10×2=20平方厘米,长方形CEFB的面积是20+154=174平方厘米,而长方形的长EF正是三个正方形边长之和,即10+12+
8=30厘米,因此BF就是174÷30=5.8厘米.
12.
(1)如14-22中左图所示,把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米,结果面积增加了50平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
(2)如14-22中右图所示,把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米,结果面积减少了65平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
答案:
(1)49平方厘米
(2)100平方厘米
解析方法一:
(1)将阴影部分分成三块后,容易发现,①,②两个长方形的长都等于正方形的边长.则可以把①,②重新拼接成一个长方形.
长方形③的面积为2×4=8厘米,①和②拼成的长方形的面积为50-8=42平方厘米,又知道这个长方形的一条边为2+4=6厘米,那么另一条边的长度为42÷6=7厘米。
因此原正方形的面积就是7×7=49平方厘米。
(2)把阴影部分划分成3部分,此时把它们拼在一起,注意到它们不能直接拼在一起,必须利用正方形边长相等的关系。
则可以把①③组成的长方形与②③组成的长方形拼在一起。
注意到③的面积为3×5=15平方厘米,①②③的面积和是65平方厘米。
所以拼出的长方形的面积是15+65=80平方厘米,而它的长是3+5=8厘米,则宽是80÷8=10厘米。
于是原正方形的边长是10厘米,面积是10×10=100平方厘米。
方法二:
(1)设原正方形的边长为a厘米,则有a2+50=(a+2)×(a+4),节的a=7,因此原正方形的面积是49平方厘米。
(2)设原正方形的边长为a厘米,则有a2-65=(a-3)×(a-5),解得a=10,因此原正方形的面积是100平方厘米。
13.如图14-23,四边形ABCD内有一点O,O点到四条边的垂线都是4厘米.四边形的周长是36厘米.四边形的面积是多少平方厘米?
答案:
72平方厘米
解析:
连结AO,BO,CO,DO之后,四边形ABCD的面积正好是△AOB,
△BCC,△COD和△DOA的面积和.O点到四条边的垂线正好是这些三角形的高,都等于4厘米.
利用乘法分配律,它们(AB+BC+CD+DA)=
×4×36=72平方厘米
14.如图14-24,直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF,E点恰好在AB边上.直角边AC长20厘米,BC长12厘米,正方形的边长为多少厘米?
答案:
7.5
解析:
连结CE,发现△ACE与△CBE的面积之和是20×12÷2=120平方厘米,
而分别以AC,CB为底边时,它们的高EF和ED相等.
于是有AC×高÷2+CB×高÷2=(AC+CB)×高÷2=120平方厘米。
而AC+CB=20+12=32厘米,因此高就是120×2÷32=7.5厘米,那么正方形的边长是7.5厘米。
超越篇
1.如图14-25,三角形ABC的每边长都是96厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形.请求出CE和CF的长度之和.
答案:
100厘米
解析:
△ABC的面积是△ABD的4倍,它们有相同的高,所以它们的底边AC与AD也是4倍关系。
于是AD=AC÷4=96÷4=24厘米,所以CD=AC-AD=96-24=72厘米。
△DBC的面积是△DBE的3倍。
从而BE=BC÷3=96÷3=32厘米,CE=BC-BE=96-32=64厘米。
由△DEF和△EFC面积相等,得到CF=CD÷2=72÷2=36厘米。
所以CE+CF=64+36=100厘米。
2.如图14-26,把四边形ABCD的各边都延长1倍,得到一个新四边形EFGH.如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?
答案:
25平方厘米
解析:
连结BD,DE,由于AB=AE,△ABD和△ADE等底同高,可知它们的面积相等。
同理,由于DA=DH,△EDH和△ADE的面积也相等,所以△AEH的面积是△ADE面积的2倍.
同样,连结BG,可以发现△CFG是△BCD面积的2倍。
于是△AEH与△CFG的面积和为2S1+2S2,四边形ABCD的面积为S1+S2,所以△AEH与△CFG的面积和正好是四边形ABCD的面积的2倍.
同理,△BEF与△DGH的面积和也是四边形ABCD的面积的2倍.
所以四边形EFGH的面积为四边形ABCD的面
积的2+2+1=5倍.邸5×5=25平方厘米.
3.图14-27中ABCD是正方形,图中数字是各线段的长度(单位:
厘米).过I点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分.线段BM的长度是多少厘米?
答案:
2.75厘米
解析:
观察图形,发现BM在直角梯形ABMI之中,
已经知道了这个直角梯形的上底和高,如果知道
它的面积就可以求出下底BM.
S△AEI=2×5÷2=5(平方厘米),S△BEF=1×6÷2=3(平方厘米),S△CHG=2×4÷2=4(平方厘米),
S△DHI=3×4÷2=6(平方厘米),正方形ABCD面积为8×8=64平方厘米,
于是五边形EFGHI的面积为64-5-3-4-6=46平方厘米.
四边形EFMI的面积为五边形的一半,即46÷2=23平方厘米.
直角梯形ABMI的面积为△AEI,△BEF和EFMI的面积和,即为5+3+23=31平方厘米,它的高AB为8厘米,上底AI为5厘米,则下底BM=31×2÷8-5=2.75(厘米).
4.如图14-28,在钝角三角形ABC中,M为AB边的中点,MD,EC都垂直于BC边,若三角形BDE的面积是3平方厘米,则三角形ABC的面积是多少?
答案:
6平方厘米
解析:
注意到MD,EC都垂直于BC边,所以它们相互平行.连结CM.
△DEM与△CDM同底等高,所以它们的面积相等,于是它们分别加上△BDM后也相等,即△BDE和△BCM面积也相等,于是△BCM的面积是3平方厘米,
即△ABC的面积为△BDE的2倍,为2×3=6平方厘米.
5.在图14-29中,大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米.大正方形面积是多少平方厘米?
答案:
121平方厘米
解析:
方法一:
把阴影部分分割为三块,分别是两一长方形和一个小正方形,如下图所示:
此时发现,①和③的宽相同,正好等于②的边长
于是把这3块拼在一起.
可以发现拼成一个阴影长方形,而且它的长正好是20厘米,于是它的宽是
40÷20=2厘米,也就是说②的边长是2厘米,这也正好是原图中大小两个正形的边长之差。
由和差问题的方法,大正方形的边长为(20+2)÷2=ll厘米.所以它的面积是11×II=121平方厘米.
方法二:
设大正方形边长为a厘米,小正方形长为b厘米,
则有a2–b2=(a+b)(a-b)=40,其中a+b=20,则a-b=2,a=
=11,大正方形的面积是121平方厘米,
6.如图14-30,直角三角形ABC的三边长分别为AC=30分米,AB=18分米,BC=24分米,ED垂直于AC,且ED=95厘米.问正方形BFEG的边长是多少厘米?
答案:
35厘米
解析:
把AE,BE,CE连结起来,把直角△ABC分成了三部分:
△ACE,△ABE和△CBE.如下图所示:
直角△ABC的面积就是18×24÷2—216平方分米
而△ACE的底边AC=30(分米),高ED=9.5分米,它的面积是30×9.5÷2=142.5平方分米,那么△ABE和△CBE面积之和就是216-142.5=73.5平方分米,
在△ABE和△CBE中,底边分别是AB和BC,高都是正方形的边长,利用乘法分配律,它们的面积之和为(AB+BC)×高÷2.于是它们的高为73.5×2÷(18+24)=3.5分米.
因此正方形边长为3.5分米,即35厘米.
7.菜鸟和大虾在武林大会上相遇,争夺武林盟主的地位.三百回合大战后,两人不分胜负.突然,菜鸟向对手发出一枚飞镖.说时迟,那时快,飞镖已经接近大虾的胸口,只见大虾迅速抽身向左闪开,同时用手中的宝剑向飞镖劈去,只听见“瞠”的一声,飞镖被劈成了两半.如图14-31,菜鸟的飞镖是正六角星的形状,边长为5.被大虾劈开的刀口如虚线所示,那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几?
答案:
解析:
整个六角星可以被分成12个相等的小三角形,设整个六角星的面积为1,则每个小三角形的面积为
,图中粗线的大三角形面
积为
×9=
如右图所示,
易知阴影三角形的面积为
×
×
=
,因此较大的残片的面积是
+
+
=
,较小的残片的面积是1-
=
8.如图14-3
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