高考数学理复习练习专题限时集训8 空间几何体的三视图表面积和体积含答案.docx
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高考数学理复习练习专题限时集训8空间几何体的三视图表面积和体积含答案
专题限时集训(八) 空间几何体的三视图、表面积和体积
(对应学生用书第93页)
(限时:
40分钟)
题型1 几何体的三视图、表面积和体积
2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19
题型2 球与几何体的切接问题
1,7,8,9,10,12,13,18,20
一、选择题
1.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图812所示,图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( )
图812
A.π B.3π
C.4πD.6π
B [由三视图可知:
该四面体是正方体的一个内接正四面体,
∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为,
∴此四面体的外接球的表面积为4π×=3π,故选B.]
2.(2017·惠州三调)某四棱锥的三视图如图813所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
【07804060】
图813
A.1B.
C.D.2
C [四棱锥的直观图如图所示,PC⊥平面ABCD,PC=1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,故最长棱PA==.]
3.(2017·沈阳一模)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球O的表面积为4π,则SA=( )
A.B.1
C.D.
B [根据已知把SABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4π,所以球O的半径R=1,2R==2,解得SA=1,故选B.]
4.(2017·广州一模)如图814,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
图814
D [由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,其底面为正方形,面积为2×2=4,因为该几何体的体积为×4×2=,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形.选D.]
5.(2017·江西五校联考)如图815是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )
图815
A.-1B.-
C.D.+1
A [由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切,设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h.正三棱柱底面三角形的高为3r,边长为2r,则V正三棱柱=×2r×3rh=3r2h,所以该几何体的体积V=(3-π)r2h,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为=-1.]
6.(2017·郑州第一次质量检测)某几何体的三视图如图816所示,则该几何体的体积为( )
图816
A.80B.160
C.240D.480
B [如图所示,题中的几何体是从直三棱柱ABCA′B′C′中截去一个三棱锥AA′B′C′后所剩余的部分,其中底面△ABC是直角三角形,AC⊥AB,AC=6,AB=8,BB′=10,因此题中的几何体的体积为×10-×=××10=160,选B.]
7.(2017·南昌十校二模联考)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )
A.4B.6
C.8D.10
C [依题意,设题中球的球心为O、半径R,△ABC的外接圆半径为r,则=,解得R=5,由πr2=16π,解得r=4,又球心O到平面ABC的距离为=3,因此三棱锥PABC的高的最大值为5+3=8,选C.]
8.(2017·兰州实战模拟)某几何体的三视图如图817所示,则下列说法正确的是( )
【07804061】
图817
①该几何体的体积为;
②该几何体为正三棱锥;
③该几何体的表面积为+;
④该几何体外接球的表面积为3π.
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
B [根据该几何体的三视图,可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,它的另外三条棱长均为,显然其是一个正三棱锥,②正确;该几何体的体积V=××1×1×1=,①正确;该几何体的表面积S=3××1×1+×××=+,③错误;该几何体外接球的直径为2R==,所以其外接球的表面积为4πR2=3π,④正确.故选B.]
9.(2017·广州高中毕业班综合测试)如图818,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是( )
图818
A.25πB.π
C.29πD.π
D [由俯视图,可得该三棱锥底面外接圆的半径r=,
∴三棱锥的外接球的半径R===,∴三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=π.]
10.(2017·石家庄、唐山联考)已知三棱锥PABC的顶点都在同一个球面上(球O),且PA=2,PB=PC=,当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是( )
A.B.
C.D.
A [三棱锥PABC的三个侧面的面积之和为×2×sin∠APB+×2×sin∠APC+××sin∠BPC,由于∠APB,∠APC,∠BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大,此时PA,PB,PC两两垂直,以其为长方体的三条棱长得出一个长方体,则三棱锥PABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r==2,所以三棱锥PABC的体积与球O的体积的比值是=.]
11.从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为( )
A.B.
C.D.
C [设OP交平面ABC于O′,
由题得△ABC和△PAB为正三角形,
所以O′A=AB=AP.
因为AO′⊥PO,OA⊥PA,
所以=,=,=,
所以OA==×=1,
即球的半径为1,
所以其体积为π×13=π.选C.]
12.(2017·开封模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,AA1=2,则该三棱柱的外接球的体积为( )
A.B.
C.D.20π
B [如图,设△A1B1C1的外心为O1,△ABC的外心为O2,连接O1O2,OB,O2B.
由题意可得,球心O为O1O2的中点.
在△ABC中,由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=32+12-2×3×1×cos60°=7,所以BC=.
由正弦定理可得,△ABC外接圆的直径2r=2O2B==,所以r==.
而球心O到截面ABC的距离d=OO2=BB1=1,
设直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为R,由球的截面的性质可得R2=r2+d2=+12=,
所以球的体积为V=R3=.故选B.]
13.(2017·惠州模拟)已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于( )
【07804062】
A.πB.π
C.πD.π
C [由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的,
∵正四面体的各棱长均为4,
∴正四面体体积为××42×=,
∴没有水的部分的体积是,
设其棱长为a,
则×a2×a=,
∴a=2,
设小球的半径为r,
则4×××22r=,
∴r=,
∴球的表面积S=4π·=π.
故选C.]
14.(2017·宁德三模)已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是( )
图819
A.πB.2π
C.πD.3π
C [设正△ABC的中心为O1,连接O1A,O1O,O1E,OE(图略),
∵O1是正△ABC的中心,A,B,C三点都在球面上,
∴O1O⊥平面ABC,∵球的半径R=2,球心O到平面ABC的距离为1,得O1O=1,
∴Rt△O1OA中,O1A==,
又∵E为AB的中点,△ABC是等边三角形,∴AE=AO1cos30°=.
∵过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,
∴当截面与OE垂直时,截面圆的面积有最小值.
此时截面圆的半径r=,
可得截面面积为S=πr2=.故选C.]
二、填空题
15.(2017·郑州二模)正方体的八个顶点中,有四个恰好为一个正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为________.
[如图,四面体ABCD的所有棱均为正方体的面对角线,设正方体的棱长为a,则正方体的表面积为6a2,正四面体的棱长均为a,其表面积为4××a××a=2a2,则=.]
16.(2017·南昌一模)如图820,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体的表面积为________.
图820
(+3)π [根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.
则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和,即表面积为π·1·+2π·12+π·12=(+3)π.]
17.(2017·武汉4月模拟)在四面体PABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体体积的最大值为________.
[由题意知,△PBC的面积为定值,如图,当PA垂直于平面PBC时,该四面体的体积最大,Vmax=××1=.]
18.(2017·山东日照一模)现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________.
【07804063】
[设球的半径为R,正方体的棱长为a.由题意得当正方体体积最大时,a2+=R2,∴R=a,∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为==.]
19.(2016·宁夏银川一中月考)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1B1EDF的体积为________.
【07804064】
a3 [法一:
(直接法)如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作O1H⊥B1D于H.
因为EF∥A1C1,且A1C1⊄平面B1EDF,EF⊂平面B1EDF,
所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.
易知平面B1D1D⊥平面B1EDF,又平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H⊥平面B1EDF,所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高.
因为△B1O1H∽△B1DD1,
所以O1H==a.
所以VC1B1EDF=S四边形B1EDF·O1H=×·EF·B1D·O1H=×·a·a·a=a3.
法二:
(体积分割法)连接EF,B1D.
设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=a.
由题意得,VC1B1EDF=VB1C1EF+VDC1EF=·S△C1EF·(h1+h2)=a3.]
20.(2017·江西五校联考)已知在三棱锥SABC中,SA=SB=SC=,BC=6,若点A在侧面SBC内的射影恰是△SBC的垂心,则三棱锥SABC的内切球的体积为________.
π [因为点A在侧面SBC内的射影恰是△SBC的垂心,记为O,连接AO,SO(图略),则AO⊥平面SBC,SO⊥BC,所以AO⊥BC,又SO∩AO=O,所以BC⊥平面SAO,所以SA⊥B
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