有理数的运算知识点总结Word文档格式.docx
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12.方程5x=3(x﹣4)的解为 .
13.如图,正方形ABCD的边长为3cm,以直线AB为轴,将正方形旋转一周,所得几何体的体积为 cm2.(结果保留π)
14.如图是一个立方体的平面展开图形,每个面上都有一个自然数,且相对的两个面上两数之和都相等,若13、9、3的对面的数分别是a、b、c,则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为 .
15.某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的小正方体的个数是 .
三.解答题(共15小题)
16.计算:
(1)﹣3﹣(﹣4)+2;
(2)(﹣6)÷
2×
(﹣
);
(3)(﹣
+
)×
(﹣24);
(4)﹣14﹣7÷
[2﹣(﹣3)2].
17.计算:
18.当a=3,b=﹣1时,求下列代数式的值.
(1)(a+b)(a﹣b);
(2)a2+2ab+b2.
19.已知:
有理数m所表示的点到点3距离4个单位,a,b互为相反数,且都不为零,c,d互为倒数.
(1)求m的值,
(2)求:
2a+2b+(
)﹣m的值.
20.合并同类项:
.
(1)x2+3x2+x2﹣3x2
(2)3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2.
21.化简
(1)﹣3a+2b﹣7a+3b
(2)4x2﹣[x﹣(2x2﹣3x)].
(3)12a+5b﹣8a﹣7b(4)5a2b﹣[2ab2﹣3(ab2﹣a2b)].
23.解方程(x+1)﹣2(x﹣1)=1﹣3x.
24.某校组织学生种植芽苗菜,三个年级共种植909盆,初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆,初三年级种植的数量比初二年级多25盆.初一、初二、初三年级各种植多少盆?
25.恺桐超市购进一批四阶魔方,按进价提高40%后标价,为了让利于民,增加销量,超市决定打八折出售,这时每个魔方的售价为28元.
(1)求魔方的进价?
(2)超市卖出一半后,正好赶上双十一促销,商店决定将剩下的魔方以每3个80元的价格出售,很快销售一空,这批魔方超市共获利2800元,求该超市共购进四阶魔方多少个?
26.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面,已知正方体相对两个面上的代数式的值相等.求a+
的值.
27.如图所示,俯视图上标有正方体的个数,请你画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图.
28.如图,O是直线AB上一点,∠AOC=∠BOD,射线OE平分∠BOC,∠EOD=42°
,求∠EOC的大小.
29.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角.
30.解不等式2x﹣1>
,并把它的解集在数轴上表示出来.
青剑湖花园F区第一次课
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2015秋•靖江市校级期中)下列各数中:
【分析】先化简,根据负数的意义:
数字前面带“﹣”的数,直接得出答案即可.
【解答】解:
+(﹣2.1)=﹣2.1,﹣|﹣9|=﹣9;
所以负有理数有:
+(﹣2.1)、﹣
、﹣|﹣9|,﹣0.1010010001共4个.
故选:
C.
【点评】此题考查负数的意义,注意把数据化为最简形式,再进一步判定即可.
2.(2013秋•三亚校级期末)下列说法错误的是( )
【分析】根据0在运算中的规定和0的特性逐一判定得出答案即可.
A、零不能做除数(0做除数无意义)说法是正确的;
B、零没有倒数,说法是正确的;
C、零的相反数是零说法是正确的;
D、零除以任何数都得零,(除数必须不为0),此说法错误.
D.
【点评】此题考查有理数的意义,熟记0的特性和在运算中的规定是解决问题的关键.
3.(2016•常州)若x>y,则下列不等式中不一定成立的是( )
【分析】根据不等式的基本性质进行判断,不等式的两边加上同一个数,不等号的方向不变;
不等式的两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(A)在不等式x>y两边都加上1,不等号的方向不变,故(A)正确;
(B)在不等式x>y两边都乘上2,不等号的方向不变,故(B)正确;
(C)在不等式x>y两边都除以2,不等号的方向不变,故(C)正确;
(D)当x=1,y=﹣2时,x>y,但x2<y2,故(D)错误.
故选(D)
【点评】本题主要考查了不等式的性质,应用不等式的性质应注意的问题:
在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向.
4.(2016•阜新)不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
解不等式组得:
,再分别表示在数轴上即可得解.
由1﹣x≤0,得x≥1,又x<3,
则不等式组的解集为1≤x<3.
A选项代表x≤1;
B选项代表1≤x<3;
C选项代表x≤1或x>3;
D选项代表x>3.
故选B.
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;
<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;
“<”,“>”要用空心圆点表示.
5.(2016•包头)不等式
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项可得.
去分母,得:
3x﹣2(x﹣1)≤6,
去括号,得:
3x﹣2x+2≤6,
移项、合并,得:
x≤4,
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.
6.(2016•常德)若﹣x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( )
【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解.
∵﹣x3ya与xby是同类项,
∴a=1,b=3,
则a+b=1+3=4.
故选C.
【点评】本题考查了同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项中相同字母指数相同的概念.
7.(2016秋•滨州期中)去括号正确的是( )
【分析】根据负正得负,负负得正,正正得正即可进行各选项的判断,从而得出答案.
A、a2﹣(a﹣b+c)=a2﹣a+b+c,故本选项错误;
B、5+a﹣2(3a﹣5)=5+a﹣6a+10,故本选项正确;
C、3a﹣
(3a2﹣2a)=3a﹣a2+
a,故本选项错误;
D、a3﹣[a2﹣(﹣b)]=a3﹣a2﹣b,故本选项错误.
【点评】本题考查去括号的知识,难度不大,注意掌握负负得正这个知识点.
8.(2016•厦门校级一模)多项式2x2+3x﹣2与下列一个多项式的和是一个一次二项式,则这个多项式可以是( )
【分析】由已知多项式与选项中多项式和为一个一次二项式,确定出结果即可.
根据题意得:
(2x2+3x﹣2)+(﹣2x2﹣2x+1)=2x2+3x﹣2﹣2x2﹣2x+1=x﹣1,结果为一次二项式,
故选D
【点评】此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
9.(2016秋•禹州市校级月考)+5.7的相反数与﹣7.7的绝对值的和是 2 .
【分析】先根据题意列式,再去括号、绝对值,然后相加即可.
﹣(+5.7)+|﹣7.7|=﹣5.7+7.7=2.
故答案是2.
【点评】本题考查了有理数的加法,解题的关键是掌握有理数的相反数、绝对值的表示方法,并会计算.
10.(2009•鹤岗模拟)已知|x|=4,|y|=2,且xy<0,则x﹣y的值等于 6或﹣6 .
【分析】绝对值的性质:
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
有理数的乘法法则:
同号得正,异号得负.
∵|x|=4,|y|=2,
∴x=±
4,y=±
2.
又xy<0,∴x=4,y=﹣2或x=﹣4,y=2.
当x=4,y=﹣2时,
x﹣y=4﹣(﹣2)=6,
当x=﹣4,y=2时,
x﹣y=﹣4﹣2=﹣6.
故答案为:
6或﹣6.
【点评】本题考查绝对值的性质:
互为相反数的绝对值相等.能够根据两个数的乘积的符号判断两个数的符号的关系.
11.(2016•鄂州)不等式组
的解集是 ﹣1<x≤2 .
【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
,
解①得:
x>﹣1,
解②得:
x≤2,
则不等式的解集是:
﹣1<x≤2.
故答案是:
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;
同小取小;
大小小大中间找;
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
12.(2016•晋江市二模)方程5x=3(x﹣4)的解为 x=﹣6 .
【分析】方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出x的值.
去括号得:
5x=3x﹣12,
移项合并得:
2x=﹣12,
解得:
x=﹣6,
x=﹣6
【点评】此题考查了一元一次方程的解,求出方程的解是解本题的关键.
13.(2016秋•简阳市期中)如图,正方形ABCD的边长为3cm,以直线AB为轴,将正方形旋转一周,所得几何体的体积为 27π cm2.(结果保留π)
【分析】首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体,圆柱的高为3cm,底面直径为6cm,再找出主视图的形状可得答案.
直线AB为轴,将正方形旋转一周可得圆柱体,圆柱的高为3cm,底面直径为6cm,
∴所得几何体的体积=32π•3=27π
27πcm3.
【点评】此题主要考查了点、线、面、体,以及三视图,关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形.
14.(2016•雅安校级自主招生)如图是一个立方体的平面展开图形,每个面上都有一个自然数,且相对的两个面上两数之和都相等,若13、9、3的对面的数分别是a、b、c,则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为 76 .
【分析】本题须先求出a﹣b=﹣4,b﹣c=﹣6,c﹣a=10,再通过对要求的式子进行化简整理,代入相应的值即可求出结果.
∵正方体的每一个面上都有一个正整数,相对的两个面上两数之和都相等,
∴a+13=b+9=c+3,
∴a﹣b=﹣4,b﹣c=﹣6,c﹣a=10,
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=
=
=76
76.
【点评】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题,在解题时要注意知识的综合运用及与图形结合问题.
15.(2016•百色)某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的小正方体的个数是 5 .
【分析】根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列,故可得出该几何体的小正方体的个数.
综合三视图,我们可得出,这个几何体的底层应该有4个小正方体,第二层应该有1个小正方体,
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5个;
5.
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.
16.(2016秋•南京期中)计算:
(2)(﹣6)÷
(4)﹣14﹣7÷
【分析】
(1)原式利用减法法则变形,计算即可得到结果;
(2)原式从左到右依次计算即可得到结果;
(3)原式利用乘法分配律计算即可得到结果;
(4)原式先计算乘方运算,再计算除法运算,最后算加减运算即可得到结果.
(1)原式=﹣3+4+2=3;
(2)原式=6×
×
;
(3)原式=12﹣20+14=6;
(4)原式=﹣1﹣7÷
(﹣7)=﹣1+1=0.
【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.(2016春•武隆县期末)计算:
【分析】按照有理数混合运算的顺序,先乘方后乘除最后算加减,有括号和绝对值的先算括号和绝对值里面的,计算过程中注意正负符号的变化.
原式=
.=
【点评】本题考查的是有理数的运算能力.注意:
要正确掌握运算顺序,即乘方运算(和以后学习的开方运算)叫做三级运算;
乘法和除法叫做二级运算;
加法和减法叫做一级运算.在混合运算中要特别注意运算顺序:
先三级,后二级,再一级;
有括号的先算括号里面的;
同级运算按从左到右的顺序.
18.(2016•湖州)当a=3,b=﹣1时,求下列代数式的值.
(2)a2+2ab+b2.
(1)把a与b的值代入计算即可求出值;
(2)原式利用完全平方公式变形,将a与b的值代入计算即可求出值.
(1)当a=3,b=﹣1时,原式=2×
4=8;
(2)当a=3,b=﹣1时,原式=(a+b)2=22=4.
【点评】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.(2016秋•海原县期中)已知:
(1)根据m所表示的点到点3距离4个单位,确定出m即可;
(2)利用相反数,倒数的定义求出a+b,
,cd的值,代入原式计算即可得到结果.
(1)根据题意得:
m=﹣1或7,a+b=0,
=﹣1,cd=1;
(2)当m=﹣1时,原式=2(a+b)+
﹣3cd﹣m=﹣1﹣3+1=﹣3;
当m=7时,原式=﹣1﹣3﹣7=﹣11.
【点评】此题考查了代数式求值,相反数,绝对值,以及倒数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
20.(2016秋•房山区期中)合并同类项:
(1)x2+3x2+x2﹣3x2
(2)3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2.
【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项,然后根据合并同类项的法则,即系数相加作为系数,字母和字母的指数不变计算进行判断.
【解答】
(1)解:
原式=(1+3+1﹣3)x2
=2x2,
(2)原式=2a2+a﹣6.
【点评】本题主要考查的是同类项的概念和合并同类项的法则,掌握合并同类项的法则:
系数相加作为系数,字母和字母的指数不变.
21.(2016秋•泰兴市校级期中)化简
(1)﹣3a+2b﹣7a+3b
(2)4x2﹣[x﹣(2x2﹣3x)].
(1)先找出同类项,再合并即可;
(2)先去括号,再合并同类项即可.
(1)原式=﹣10a+5b;
(2)原式=4x2﹣x+2x2﹣3x
=6x2﹣4x.
【点评】本题考查了合并同类项,掌握合并同类项得法则是解题的关键.
22.(2015秋•翔安区期末)计算:
(1)12a+5b﹣8a﹣7b
(2)5a2b﹣[2ab2﹣3(ab2﹣a2b)].
(1)原式合并同类项即可得到结果;
(2)原式去括号合并即可得到结果.
(1)原式=12a﹣8a+5b﹣7b=4a﹣2b;
(2)原式=5a2b﹣2ab2+3ab2﹣3a2b=2a2b+ab2.
23.(2016•江岸区模拟)(x+1)﹣2(x﹣1)=1﹣3x.
【分析】方程去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解.
x+1﹣2x+2=1﹣3x,
2x=﹣2,
x=﹣1.
【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:
去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,求出解.
24.(2016•怀柔区二模)某校组织学生种植芽苗菜,三个年级共种植909盆,初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆,初三年级种植的数量比初二年级多25盆.初一、初二、初三年级各种植多少盆?
【分析】设初一年级种植x盆,则初二年级种植(2x﹣3)盆,初三年级种植(2x﹣3+25)盆,根据“三个年级共种植909盆”列出方程并解答.
设初一年级种植x盆,
依题意得:
x+(2x﹣3)+(2x﹣3+25)=909,
解得,x=178.
∴2x﹣3=353
2x﹣3+25=378.
答:
初一、初二、初三年级各种植178盆、353盆、378盆.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用.利用方程解决实际问题的基本思路如下:
首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.
25.(2016秋•南岗区校级期中)恺桐超市购进一批四阶魔方,按进价提高40%后标价,为了让利于民,增加销量,超市决定打八折出售,这时每个魔方的售价为28元.
(1)设魔方的进价是x元.进价×
(1+40%)×
八折=售价;
(2)设该超市共购进四阶魔方y个,根据“商店决定将剩下的魔方以每3个80元的价格出售,很快销售一空,这批魔方超市共获利2800元”列出方程并解答.
(1)设魔方的进价是x元.
(1+40%)x×
0.8=28,
解得x=25.
魔方的进价是25元;
(2)设该超市共购进四阶魔方2y个,
(
﹣25)y+(28﹣25)y=2800,
解得y=600.
该超市共购进四阶魔方1200个.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用.关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,设出未知数,列出方程.
26.(2016春•防城港期末)如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面,已知正方体相对两个面上的代数式的值相等.求a+
【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答列方程组求出x、y的值,再确定出a的值,然后代入代数式进行计算即可得解.
由题意得,
①代入②得,5﹣x=2x﹣5+1,
解得x=3,
将x=3代入①得,y=2×
3﹣5=1,
所以,
又∵正方体相对两个面上的代数式的值相等,
∴a=3,
所以,a+
=3+
=3+2=5.
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
27.(2016秋•荣成市校级期中)如图所示,俯视图上标有正方体的个数,请你画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图.
【分析】分别画出从正面看、左面看看的图形即此立体图形的主视图和左视图即可,在画图时注意所看到的棱都要表示到三视图中.
如图所示:
【点评】此题主要考查了作三视图,以及求几何体的表面积,关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.
28.(2016春•莱芜期末)如图,O是直线AB上一点,∠AOC=∠BOD,射线OE平分∠BOC,∠EOD=42°
【分析】设∠AOC=x°
,则∠BOE=(42+x)°
,由∠AOC+2∠BOE=180°
列出关于x的方程,求解得x的值,继而即可知∠EOC的大小.
设∠AOC=x°
根据题意,知:
∠AOC+2∠BOE=180°
即:
x+2(42+x)=180,
x=32,
∴∠EOC=∠BOE=(42+x)°
=74°
【点评】本题主要考查角平分线的定义,灵活运用角平分线的定义与邻补角的定义,通过方程思想求解是解题的关键.
29.(2016春•普陀区期末)已知一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角.
【分析】根据互余的两角之和为90°
,互补的两角之和为180°
,表示出余角和补角,然后列方程求解即可.
设这个角为x,则补角为(180°
﹣x),余角为(90°
﹣x),
由题意得,3(90°
﹣x)=180°
﹣x,
x=45,
即这个角为45°
【点评】本题考查了余角和补角的知识,属于基础题,关键是掌握互余的两角之和为90°
30.(2016•苏州)解不等式2x﹣1>
【分析】根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原
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