高中数学必修28.docx
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高中数学必修28
2.2.2 二次函数的性质与图象
学习目标
1.掌握二次函数的概念,能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式,会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值.
知识点一 二次函数的概念
思考 结合一次函数的特征,请给出二次函数的定义、定义域?
答案 函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,定义域为R.
梳理 1.二次函数的定义
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,定义域为R.
2.二次函数的解析式
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点.
(3)两根式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
知识点二 二次函数的图象与性质
思考1 二次函数的图象是一条抛物线,那么哪一个量影响图象的开口方向?
答案 x2的系数a影响开口方向.
思考2 二次函数的图象是轴对称图形,那么对称轴的位置与哪些量有关?
对称轴方程是什么?
答案 对称轴的位置与a,b两个量有关.
对称轴为x=-
.
梳理 二次函数的性质与图象
a>0
a<0
图象
图象特点
对称轴:
x=-
顶点:
定义域
R
值域
奇偶性
当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数
单调性
为减区间,
为增区间
为增区间,
为减区间
最值
抛物线有最低点,当x=-
时,y有最小值ymin=
抛物线有最高点,当x=-
时,y有最大值ymax=
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是
.( × )
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R,不可能是偶函数.( × )
3.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小.( √ )
类型一 二次函数的图象
例1 画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)比较f(0),f
(1),f(3)的大小;
(2)若x1<x2<1,比较f(x1)与f(x2)的大小;
(3)由图象判断x为何值时,f(x)>0,f(x)=0,f(x)<0.
解 f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的图象如图所示.
(1)由图可知,二次函数f(x)的图象对称轴为x=1且开口向下,且|0-1|<|3-1|,故f
(1)>f(0)>f(3).
(2)∵x1<x2<1,
∴|x1-1|>|x2-1|,
∴f(x1)<f(x2).
(3)由图可知:
当x>3或x<-1时,f(x)<0;
当x=-1或x=3时,f(x)=0;
当-1<x<3时,f(x)>0.
反思与感悟
(1)观察图象主要是把握其本质特征:
开口方向决定a的符号,在y轴上的交点决定c的符号(值),对称轴的位置决定-
的符号.另外,还要注意与x轴的交点,函数的单调性等,从而解决其他问题.
(2)比较二次函数函数值的大小的方法
①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小.
②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.
跟踪训练1 已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)画出该函数的图象,并指明此函数图象的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)由图象判断x为何值时,y>0,y=0,y<0.
解
(1)由y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8,
图象如图:
由图象可知,函数图象开口向上,
对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).
(2)由图象可知,当x>3或x<-1时,y>0;
当x=-1或x=3时,y=0;当-1<x<3时,y<0.
类型二 二次函数的对称性与单调性
例2 已知函数f(x)=x2-ax的单调增区间为(2,+∞).
(1)求参数a的值;
(2)求对称轴方程;(3)求在R上的最小值.
解
(1)∵f(x)=x2-ax=
2-
,
∴f(x)的单调增区间为
.
又f(x)的单调增区间为(2,+∞),
∴
=2即a=4.
(2)对称轴方程为x=2.
(3)f(x)min=f
(2)=-4.
引申探究
1.若f(x)=x2-ax在(2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为________.
答案 (-∞,4]
解析 ∵
≤2,∴a≤4.
2.若f(x)=x2-ax在[1,3]上单调,求a的范围.
解 ∵f(x)=x2-ax在[1,3]上单调,
∴区间必在对称轴x=
的一侧,
∴
≤1或
≥3,
∴a≤2或a≥6,
即a∈(-∞,2]∪[6,+∞).
反思与感悟 利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法
已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题.解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴,通过集合间的关系来建立变量间的关系.
跟踪训练2 已知函数y=ax2+(a-1)x+
在[1,+∞)上是减函数,求a的范围.
解
(1)当a=0时,y=-x+
在[1,+∞)上是减函数.
(2)当a>0时,在
上为增函数,不合题意.
(3)当a<0时,在
上为减函数,
∴-
≤1,即a≤
,
∴a<0.
综上所述a∈(-∞,0].
类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法
例3 求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.
解 ∵f(x)=x2-2ax+2的对称轴为x=a且开口向上.
∴①当a≤2时,f(x)在[2,4]上为增函数.
∴f(x)min=f
(2)=6-4a.
②当2<a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a2.
③当a>4时,f(x)在[2,4]上为减函数,
∴f(x)min=f(4)=18-8a.
综上所述f(x)min=
引申探究
1.若求f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值,如何分类?
解 区间[2,4]的中点为3.
∵f(x)=x2-2ax+2的对称轴为x=a且开口向上,
∴①当a≤3时,f(x)max=f(4)=18-8a,
②当a>3时,f(x)max=f
(2)=6-4a.
综上所述f(x)max=
2.若f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值为10,求a的值.
解 由探究1知,当a≤3时,f(x)max=18-8a=10,
∴a=1;
当a>3时,f(x)max=6-4a=10,
∴a=-1(舍).
综上所述a=1.
3.若f(x)=x2-2ax+2,当x∈[2,4]时,f(x)≤a恒成立,求a的取值范围.
解 由探究1知:
①当a≤3时,f(x)max=18-8a≤a恒成立,
∴a≥2,即a∈[2,3].
②当a>3时,f(x)max=6-4a≤a,
∴a≥
,
∴a>3.
综上所述a∈[2,+∞).
反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略
(1)确定对称轴,抛物线的开口方向,作图.
(2)在图象上标出定义域的位置.
(3)观察单调性写出最值.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2ax+2a.
(1)若方程x2-2ax+2a=0无解,求实数a的取值范围;
(2)若x∈[-1,2]时,f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围.
解
(1)Δ=(-2a)2-8a<0,
解得0<a<2.
(2)f(x)=x2-2ax+2a,对称轴为x=a.
当a>2时,f(x)min=f
(2)=4-2a≥-2,
解得2<a≤3.
当-1≤a≤2时,f(x)min=f(a)=-a2+2a≥-2,
解得1-
≤a≤2.
当a<-1时,f(x)min=f(-1)=1+4a≥-2,
解得a∈∅.
综上所述,a的取值范围是[1-
,3].
1.函数y=x2+2x-2的图象的顶点坐标是( )
A.(2,-2)B.(1,-2)
C.(1,-3)D.(-1,-3)
答案 D
解析 由于y=x2+2x-2=(x+1)2-3,所以函数y=x2+2x-2的图象的顶点坐标是(-1,-3).
2.已知一元二次函数y=-x2+2x+4,则函数( )
A.对称轴为x=1,最大值为3
B.对称轴为x=-1,最大值为5
C.对称轴为x=1,最大值为5
D.对称轴为x=-1,最小值为3
答案 C
解析 由y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,知对称轴为x=1,最大值为5.
3.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为( )
A.-7B.1C.17D.25
答案 D
解析 对称轴x=
=-2,
∴m=-16即y=4x2+16x+5,
当x=1时,y=4+16+5=25.
4.若二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上为减少的,则( )
A.a<-2B.a≤-2
C.a>-2D.a≥-2
答案 B
解析 由题意,得-
≥1,解得a≤-2.
5.函数f(x)=-x2+2x+1在[-2,-1]上的最大值是________,最小值是________.
答案 -2 -7
解析 f(x)=-x2+2x+1的对称轴为x=1,开口向下,
∴f(x)max=f(-1)=-1-2+1=-2,
f(x)min=f(-2)=-4-4+1=-7.
1.作二次函数的图象,抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域,则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论:
(1)若对称轴不在所求区间内,则可根据单调性求值域.
(2)若对称轴在所求区间内,则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得,比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
一、选择题
1.若f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-3,1)上( )
A.单调递增B.单调递减
C.先增后减D.先减后增
答案 C
解析 当m=0时,f(x)是偶函数,此时f(x)=-x2+3,所以f(x)的图象是开口向下的抛物线,所以函数f(x)在区间(-3,1)上先增后减.
2.若f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=2,则( )
A.f(4)<f
(1)<f
(2)B.f
(2)<f
(1)<f(4)
C.f
(2)<f(4)<f
(1)D.f(4)<f
(2)<f
(1)
答案 B
解析 f(x)的对称轴为x=2,所以f
(2)最小.
又x=4比x=1距对称轴远,故f(4)>f
(1),
即f
(2)<f
(1)<f(4).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为(2,-1),与y轴交点坐标为(0,11),则( )
A.a=1,b=-4,c=-11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=-11
D.a=3,b=-12,c=11
答案 D
解析 由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11),知c=11,又因为函数y=ax2+bx+c的图象顶点为(2,-1),所以-
=2,
=-1,解得a=3,b=-12.
4.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )
答案 C
解析 因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,所以为a<0,b<0,所以二次函数图象的开口向下,对称轴方程x=-
<0,只有选项C适合.
5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[0,2]
C.(-∞,2]D.[1,2]
答案 D
解析 f(x)=(x-1)2+2,∵f(x)min=2,f(x)max=3,且f
(1)=2,f(0)=f
(2)=3,
∴1≤m≤2,故选D.
6.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.(-∞,0]
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
答案 C
解析 令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f
(2)=0.
∴a<0.
二、填空题
7.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的有关叙述:
(1)值域为R;
(2)在
上单调递减,在
上单调递增;
(3)当b=0时,函数是偶函数.
其中正确说法的序号为________.
答案 (3)
解析 二次函数的值域不可能为R,故
(1)错;当a<0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在
上单调递增,在
上单调递减,故
(2)错;当b=0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c=ax2+c为偶函数,故(3)正确.
8.已知函数f(x)=(x+a)(bx+a)(a,b为常数)的图象关于y轴对称,其值域为(-∞,4],则a=________,b=________.
答案 ±2 -1
解析 ∵f(x)=bx2+(a+ab)x+a2图象关于y轴对称,∴x=-
=0,∴-a-ab=0,①
又∵值域为(-∞,4],∴
=4,②
由①②可知a=±2,b=-1.
9.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________.
答案 1
解析 函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.
故当x=0时,函数有最小值,
当x=1时,函数有最大值.
∵当x=0时,f(0)=a=-2,∴f(x)=-x2+4x-2,
∴当x=1时,f(x)max=f
(1)=-12+4×1-2=1.
10.已知-x2+4x+a≥0在[0,1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 [0,+∞)
解析 方法一 -x2+4x+a≥0,即a≥x2-4x,x∈[0,1],也就是a应大于或等于f(x)=x2-4x在[0,1]上的最大值,函数f(x)=x2-4x在[0,1]上的最大值为0,∴a≥0.
方法二 设f(x)=-x2+4x+a,
由题意知
解得a≥0.
三、解答题
11.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间
上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
解
(1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈
,
∴f(x)的最小值是f
(1)=1,又f
=
,f(3)=5,
∴f(x)的最大值是f(3)=5,
即f(x)在区间
上的最大值是5,最小值是1.
(2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,
∴
≤2或
≥4,即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
12.已知函数y=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值.
解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1,
∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.
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