不定积分例题及答案.docx
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不定积分例题及答案
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第4章不定积分
内容概要
名称
主要内容
不定积分
不定积分的概念
设f(x),xI,若存在函数F(x),使得对任意xI均有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。
f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为
注:
(1)若f(x)连续,则必可积;
(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)G(x)C。
故不定积分的表达式不唯一。
性质
d
性质1:
dx
性质2:
F(
性质3:
[
f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx;
x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C;
f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx,,为非零常数。
计算方法
第一换元积分法(凑微分法)
设f(u)的原函数为F(u),u(x)可导,则有换元公式:
f((x))(x)dxf((x))d(x)F((x))C
第二类换元积分法
设x(t)单调、可导且导数不为零,f[(t)](t)有原函数F(t),则f(x)dxf((t))(t)dtF(t)CF(1(x))C
分部积分法
u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)
有理函数积分
若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。
本章的地位与作用
在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。
这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到!
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分:
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直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:
利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★
(1)x2x
15
思路:
被积函数2x2,由积分表中的公式
(2)可解。
x2x
解:
53
x2xxdx3xC
★
(2)(3x
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:
(3x
1111
(x3x2)dxx3dxx2dx
3x32x2C
4
★(3)(2xx2)dx
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
2x
解:
(2xx2)dx2xdxx2dxln22
13x3C
★(4)x(x3)dx
思路:
根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,
分别积分。
31
解:
x(x3)dxx2dx3x2dx
53
22x2C
★★(5)3x423x21dxx21
思路:
观察到
3x43x21
x21
3x221
x2
1后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别
积分。
解:
3x43x21
x21
dx
3x2dx1
13
2dxxarctanxCx
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2
x★★(6)2dx
1x2
2
思路:
注意到x2
1x2
1x
1
2
1x2
,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积
解:
xarctanxC.
注:
容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分
x134
★(7)(-+3-4)dx
2xxx
思路:
分项积分。
解:
x13
(-+-
3
2xx
41134
4)dxxdxdx3x3dx4x4dx
x42x
32
★(8)
(2
)dx
1x
思路:
分项积分
解:
11
32dx2dx
1x21x2
3arctanx2arcsinxC.
解:
22dxx2(1x2)
1x
2)dx
1
x12dx1x
2dx
arctanxC.
思路:
xxx?
看到xxxx248x8,直接积分。
解:
xxxdxx8dx8x8C.
15
★★(9)
★★(10)212dx
x2(1x2)
思路:
裂项分项积分
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2x
e1
★(11)xdx
e1
2xxx
解:
ex1dx(e1x)(e1)dx(ex1)dxexxC.
ex1ex1
★★(12)3xexdx
思路:
初中数学中有同底数幂的乘法:
指数不变,底数相乘。
显然3xex(3e)x
解:
3xexdx(3e)xdx(3e)C.ln(3e)
2
★★(13)cot2xdx
思路:
应用三角恒等式“cot2xcsc2x1”。
解:
cot2xdx(csc2x1)dxcotxxC
★★(14)
23x52x
3x
dx
23x52x2
思路:
被积函数x2(5)x,积分没困难。
3x3
解:
xx()x
23x52dx(2(52)x)dx2x53C.3x3ln2ln3
★★(15)
cos2xdx
2
思路:
若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分
解:
cos2xd1cosxdx1x1sinxC.
2222
★★(16)dx
1cos2x
思路:
应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分
解:
11121dx2dxsecxdxtanxC.
1cos2x2cos2x22
cos2x
★(17)dx
cosxsinx
思路:
不难,关键知道“cos2xcos2xsin2x(cosxsinx)(cosxsinx)
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解:
dx(cosxsinx)dxsinxcosxC.cosxsinx
★(18)
cos2x
22dx
cosxsinx
思路:
同上题方法,应用“cos2xcos2xsin2x”,分项积分。
解:
cos2x
22cosxsin
dx
x
22
cosxsinx
22dx
cosxsinx
1
2
sinx
1
2x
cosx
dx
★★(19)(
1x
1x
1x
1x
1x
思路:
注意到被积函数
1x
1x21x2
2,应用公式(5)即可。
1x2
解:
1
dx2dx2arcsinx
1x2
C.
1cos2x
dx
★★(20)
1cos2x
思路:
注意到被积函数
2
cosx
1cos2x
1cos2x
2cos2x
12
sec
2
1,则积分易得。
2
解:
2
1cosx121tanxxdxsecxdxdxC.
1cos2x222
★2、设xf(x)dxarccosxC,求f(x)。
知识点:
考查不定积分(原函数)与被积函数的关系
思路分析:
直接利用不定积分的性质1:
d[f(x)dx]f(x)即可。
dx
解:
等式两边对x求导数得:
★3、设f(x)的导函数为sinx,求f(x)的原函数全体。
知识点:
仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系
思路分析:
连续两次求不定积分即可。
解:
由题意可知,f(x)sinxdxcosxC1
所以f(x)的原函数全体为:
(cosxC1)dxsinxC1xC2。
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★4、
证明函数1e2x
2
exshx和exchx都是
x
e
chx-shx
的原函数
知识点:
考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
只需验证即可
解:
chxeshxe2x,而ddx[(2e2x)]ddx[exshx]ddx[exchx]e2x
2
★5、一曲线通过点(e2,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:
属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
d1
解:
设曲线方程为yf(x),由题意可知:
[f(x)],f(x)ln|x|C;
dxx
又点(e2,3)在曲线上,适合方程,有3ln(e2)C,C1,所以曲线的方程为f(x)ln|x|1.
2
★★6、一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t2(m/s),问:
(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2)物体走完360米需要多少时间?
知识点:
属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:
求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。
解:
设物体的位移方程为:
yf(t),
d23
则由速度和位移的关系可得:
[f(t)]3t2f(t)t3C,
dt
3又因为物体是由静止开始运动的,f(0)0,C0,f(t)t3。
3
(1)3秒后物体离开出发点的距离为:
f(3)3327米;
(2)令t3360t3360秒。
习题4-2
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★1、填空是下列等式成立。
知识点:
练习简单的凑微分
思路分析:
根据微分运算凑齐系数即可。
解:
(1)dx1d(7x3);
(2)xdx1d(1x2);(3)x3dx1d(3x42);
72122、求下列不定积分。
知识点:
(凑微分)第一换元积分法的练习
思路分析:
审题看看是否需要凑微分。
直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块
的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类
换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
3t
★
(1)e3tdt
思路:
凑微分。
解:
e3tdt1e3td(3t)1e3tC
33
3
★
(2)(35x)dx
思路:
凑微分。
1
解:
(35x)dx
314
(35x)d(35x)(35x)4C
★(3)
312xdx
思路:
凑微分。
解:
312xdx
1d(32x)
232x
1ln|32x|C.
★(4)
3513xdx
思路:
凑微分。
解:
3513xdx
1
3d(53x)
1
3353x
12
1112(53x)3d(53x)(53x)3C.
32
x
★(5)(sinaxeb)dx
思路:
凑微分
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xbx
解:
(sinaxeb)dx1sinaxd(ax)bebd()
ab
1bcosaxbebCa
★★(6)costdt
1
思路:
如果你能看到d(t)dt,凑出d(t)易解。
2t
解:
costdt2costd(t)2sintC
★(7)tan10xsec2xdx
思路:
凑微分。
解:
tan10xsec2xdxtan10xd(tanx)1
11
11tanxC.
dx
★★(8)
xlnxlnlnx
思路:
连续三次应用公式
(3)凑微分即可。
dx
解:
xlnxlnlnx
d(ln|x|)d(ln|lnx|)lnxlnlnx
lnlnx
ln|lnlnx|C
★★(9)tan1xxdx
1x2
思路:
本题关键是能够看到xdx是什么,是什么呢?
就是
1x2
d1x2!
这有一定难度!
解:
tan1x2xdxtan1x2d1
x2
1x
ln|cos1x2|C
★★(10)
dx
sinxcosx
思路:
凑微分。
解:
方法一:
倍角公式sin2x2sinxcosx。
方法二:
将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数
方法三:
三角公式sin2xcos2x1,然后凑微分
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★★(11)
ex
dx
ex
解:
dxexdxdexx
exexe2x11(ex)2arctanexC
思路:
凑微分:
★(12)xcos(x2)dx
解:
xcos(x2)dx
cosx2dx2
1sinx2
dxexdxdexdex
xx2x2xx2eee11e1(e)
思路:
凑微分
★★(13)xdx2
23x2
xdx1dx21d(23x2)
思路:
由凑微分易解。
23x2223x2623x2
解:
xdx
23x2
1d(23x2)
623x2
61(23x2)2d(23x2)
1323x2C
★★(14)cos2(t)sin(t)dt
思路:
凑微分
解:
cos2(t)sin(t)dt
1212
cos(t)sin(t)dtcos(t)dcos(t)
★★
3x3
(15)3x4dx
1x
思路:
凑微分
33
3x334x3
4dx4dx
1x441x4
314dx4314d(1x4)3ln|1x4|C.
41x441x44
sinx
★(16)3dx
cosx思路:
凑微分。
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解:
sin3xdx13dcosx112C.
cos3xcos3x2cos2x
x9
★★(17)dx
2x20
思路:
经过两步凑微分即可。
解:
9
2x20
dx11
102
10dx20x
10
1xarcsin()C2102
10
x
1x
★★(18)914xx2dx
思路:
分项后分别凑微分即可。
1x1x解:
dxdxdx
94x294x294x2
★★
(19)
dx
2x21
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
解:
2xd2x1
(2x1)(
dx
(2x1)
1
2
1
121x1)dx
★(20)(4xd5xx)2
(45x)
思路:
分项后分别凑微分即可。
解:
(4xd5xx)251(4(455xx)24)
1
dx
25
(1412)d(45x)
45x(45x)2
★(21)
x2dx
(x1)100
思路:
分项后分别凑微分即可。
解:
(xx2d1)x100
(x11)2dx((x1)2
(x1)100((x1)100
2(x1)1)dx
100100
(x1)100(x1)100
10
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xdx
★★(22)
x81
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
xdx
44
解:
xx8dx1(x41)(x41)
1111112
2(x41x41)xdx4(x41x41)dx2
★(23)cos3xdx
思路:
凑微分。
cosxdxdsinx。
解:
cos3xdxcos2xcosxdxcos2xdsinx(1sin2x)dsinx
★★(24)cos2(t)dt
思路:
降幂后分项凑微分。
解:
cos2(t)dt1cos2(t)dt1dt1cos2(t)d2(t)224
★★★(25)sin2xcos3xdx
思路:
积化和差后分项凑微分
解:
111
sin2xcos3xdx(sin5xsinx)dxsin5xd5xsinxdx
2102
★★★(26)sin5xsin7xdx思路:
积化和差后分项凑微分。
解:
111
sin5xsin7xdx(cos2xcos12x)dxcos2xd2xcos12xd(12x)
★★★
(27)tan3xsecxdx
思路:
凑微分tanxsecxdxdsecx。
解:
tan3xsecxdxtan2xtanxsecxdxtan2xdsecx(sec2x1)dsecx
arccosx
★★(28)101x2dx
1
思路:
凑微分dxd(arccosx)。
1x2
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arccosx
解:
10
101x2dx10arccosxdarccosx
10arccosx
ln10
C.
★★(29)
dx
(arcsinx)21x2
1
思路:
凑微分1dx
d(arcsinx)。
1x
dx
解:
22
(arcsinx)21x2
darcsinx
2
(arcsinx)
Carcsinx
arctanx
★★★★(30)dx
x(1x)
思路:
凑微分arxct(a1nxx)dx21arc(tanx)2xdx2arctanxd(arctanx)。
x(1x)
解:
arctanx
x(1x)dx
2arctan2xdx2arctanxd(arctanx)
1(x)2
★★★★(31)
lntanxdxcosxsinx
思路:
被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出tanx,即被积函数中凑出
secx,
解:
lntanxdxcosxsinx
lntanx
2dxcosxtanxtanx
lntanx
dtanxlntanxd(lntanx)
★★★★(32)
1lnx
2dx(xlnx)2
思路:
d(xlnx)(1lnx)dx
1lnx
解:
2dx(xlnx)
2d(xlnx)
(xlnx)2
1C
xlnx
★★★★(33)
dx
1ex
解:
方法思路:
将被积函数的分子分母同时除以ex,则凑微分易得。
方法二思路:
分项后凑微分
12
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x
ex,裂项后凑微分
方法三:
思路:
将被积函数的分子分母同时乘以
dx
★★★★(34)dx
x(x64)
解:
方法一:
思路:
分项后凑积分
方法二:
思路:
利用第二类换元法的倒代换
令x1t,则dxt12dt
★★★★(35)
dx
x8(1x2)
解:
方法思路:
分项后凑积分
方法二:
思路:
利用第二类换元法的倒代换。
令x1t
,则dx12dt。
t2
(t6
1)dtt1
11x
75ln|
7x75x53x3x21x
1)dt(t6t4t21)dt21(t11
t4t21)dt(2t1
1t51t3t1ln|t1|C1111111532t1
|C
3、求下列不定积分。
知识点:
(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。
思路分析:
题目特征是被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?
三角函数中,下列二
恒等式起到了重要的作用。
为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。
不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。
★★★
(1)2
11x2
思路:
令xsint,t,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式
2
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解:
令xsint,t
2,则dxcostdt。
ttantCarcsinx
211x2
xC.(或arcsinx11xC)
万能公式tan2t1sicnotst1sicnotst,又sintx时,
cost1x2)
x9
★★★
(2)dx
x
思路:
令x3sect,t(0,),三角换元。
2
解:
令x3sect,t(0,),则dx3secttantdt。
2
3x29x29
x3secx时,cosx,sinx,tanx
xx
★★★(3)
dx
3
(x21)
思路:
令xtant,t2,三角换元。
解:
令xtant,t
2,则dxsec2tdt。
★★★(4)
dx
(x2a2)3
思路:
令xatant,t,三角换元。
★★★★(5)
x21dx
xx41
思路:
先令ux2,进行第一次换元;然后令utant,t
,进行第二次换元。
2
2
解:
令xatant,t,则dxasec2tdt。
解:
x21
x
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