不定积分换元法例题.docx
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不定积分换元法例题
【第一换元法例题】
1、
(5x7)9dx(5x7)9dx(5x
1911
5(5x7)d(5x7)510(5x
【注】(5x7)'5,d(5x7)5dx,
7)9;d(5x7)
7)10C—(5x
50
1
d(5x
5
1(5x7)9d(5x7)
5
7)10C
%In
x
Inxdlnx
1
xdxInxdInxx
-Wx)2
【注】
(Inx)'1
x
d(lnx)
1
别nx)-dx,x
3
(1)
tanxdx
sinx,dxcosx
sinxdx
cosx
【注】
3
(2)
【注】
4
(1)
dx
7)
-dx
x
d(lnx)
dcosx
dcosx
cosx
cosx
dcosx
cosx
(cosx)'
cotxdx
dsinx
sinx
(sinx)'
In|cosx|
CIn
|cosx|C
sinx,d(cosx)
叱dx竺型
sinxsinx
sinxdx,sinxdxd(cosx)
dsinx
sinx
In|sinx|CIn|sinx|C
cosx,d(sinx)cosxdx,cosxdx
d(sinx)
—dxax
1d(aax
d(ax)
【注】
(a
x)'
1,
d(a
x)
dx,
dx
d(a
x)
4
(2)
1dx
1
dx
1
d(x
a)
x
a
xa
xa
1
d(x
a)In|x
a|C
ln|
xa
|C
x
a
【注】
(x
a)'
1,
d(x
a)
dx,
dx
d(x
a)
4(3)
1
J、,
1
1
1
111
dxdx
2
2dx
2
2dx
2a
x
a
x
a
x
ax
a2axa
x|C
In|ax|C
x)In|a
1dx
xa
In|xa|2a
In|xa|
C
xa
xa
C
2a
2
secx(secxtanx)secxsecxtanx,
(1)secxdxdxdx
secxtanxsecxtanx
d(tanxsecx)d(tanxsecx)
secxtanxsecxtanx
In|secxtanx|C
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
secxdx
—dxcosx
cosx,
2dxcosx
cosxdx
dsinx
dsinx
1sin2x
cscxdx
d(cotx
cscx
cscxdx
d(cotx
2sinx1sinx
cscx(cscxcotx),
dx
cscx
cotx
cos2x
dsinx
2
cscx
1sin2x
In
sinx1
sinx1
1ln
2
1sinx
1sinx
cscxcotx,
dx
cscxcotx
cscx)cotx
d(cscxcotx)
cscxcotx
In|cscxcotx|
cscx(cscxcotx),dx
cscx
cotx
csc2xcscxcotx,
dx
cscxcotx
cscx)
cscxcotx
.I
1
"a^x?
—dxx
.35
sinxcos
dx
dx
2
x
xdx
d(cscxcotx)
cscxcotx
In|cscxcotx|
dx
arcsinxC
arctanx
dx
2
x
.2sin
dx
5
xcos
(1cos2x)cos5
・35■
sinxcosxdx
xdcosx
.34
sinxcos
x
a
C
2x
2
x
a
dx
sinxdx
(cos7x
.2sin
5
xcos
dcosx
cos5x)dcosx
cos8x
cos6
34
xcosxdxsinxcosx
dsinx
arcsin^C
a
丄arctan^C,(aaa
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
.4.6
.32235.7sinXSInX
sinx(1sinx)dsinx(sinx2sinxsinx)dsinx
43
.8
s^xC
8
10
(1)
10
(2)
dx
xlnx
dx
xln2x
1
Inx
1dx
dInxInx
dInxInInxCInx
11
(1)
12、
13、
14、
15、
16、
17、
11dx
Inxx
dInx
In2x
dInx
In2x
1
Inx
2xdx
x2x2
2xdx
dx2
4^2^
x2x2
2x22
d(x21)
22
1(x1)
2
arctan(x1)
xdx
1
2xdx
1
dx2
1
d(x2
1)
x42x25
2
x42x25
2
x42x25
2
4(x2
1)2
11
(2)
dJ
d(x21)
sin、x
x212
x21
-arctang
42
sin、x
xdx
/xdx
2sinxdx2cosxC2cos、xC
2x12x1
edxed2x
2
e2xd2x
1e2xC
2
sin3xcosxdx
(2x5)100dx
(2x5)100d(2x
xsinx2dx
sin
sin
(2x
5)
xcosxdx
5)100dx
sin
(2x
5)101
x2xdx
1.
sin
2
x2
3xdsinx
5)100
dx2
sin3
xdsinx
.4
sinx
Inx
—dx
x、1Inx
Inx
1dx
x
Inx
.1Inx
1d(2x5)
2
丄(2x5)101
202
100
5)d(2x
5)
sinx2
dx2
(1
1
cosx
2
IInx)1-dInx
”1Inx
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
1Inxd(1
2
3(1
3
lnx)2
arctanx
x
Ex
1
21x2
sinx
dx
cos3x
x
exdx
2e
dx
、厂2乂—x
dx
x2x2
(x
计算
jdlnx
.1lnx
1
lnx)d(1lnx)
寸1lnx
1
2(1lnx)2C
arctanxe
2dx
x
arctanxe
darctanx
arctanxe
arctanx
darctanxe
2
d(1x)
In
xdx
2.1
dx2
d(1
x2)
1
sinxdx
cos3x
x1dx
x
dx
■2(1x)2
一cos3x
xdex
i
1
2
lnx
ln2x
d(1
x)
1
1
2
e
dInx
d
ln2x
(1x)2
cosx
3
2
cos2
xdcosx
1
2cos2xC
(x
dx
F
(x
d(x;)
A
ex)ln(2
d(1x)
22
(1x)
(x1)
d(x£)
arcsin1xC
42
1
d(x2)
127
—)(—)
22
arctan
sinxcosx
2~~2—22—
asinxbcosx
dx,
a2b2
2
「7
arctan2x—1C
47
【分析】因为:
22222222
(asinxbcosx)'a2sinxcosxb2cosx(sinx)2(ab)sinxcosx
所以:
d(a2sin2x
b2cos2x)2(a2b2)sinxcosxdx
sinxcosxdx
12222
22d(asinxbcosx)
2(a2b2)
【不定积分的第二类换兀法】
已知f(t)dtF(t)C
求g(x)dxg((t))d(t)
g((t))
'(t)dt
【做变换,令x(t),再求微分】
f(t)dt
F(t)C
【求积分】
F(1(x))
C
【变量还原,t1(x)】
变量还原
2costC
2cosxC
2(1}1J】"
xt2
G2
—2tdt
1t
2丄dt21—dt
1t1t
2
(2)
变量还原__
2tln|1t|C2xln|1G|C
tJx
dx\x
令1+xt
x(t1)
12
td(t1)2
12(t1)dt
dt
dt
变量还原__
2tln|t|C21.xln|1匸|C
t1、x
12(t6
dx
t3)dt
1
dxx(1x)
3
4
令1xt
34
x(t1)
xt2
、(t31)4
td(t31)4
1
(O
2t4(t31)3
3t2dt
变量还原
12
t314x
12
3(1:
x)4
变量还原
2arctantCtx
dt22tdt2-^^dt
t(1t)t(1t)1t
2arctan、xC
1令ext1
5、xdxdlnt
1exxlnt1t
11dt
1tt
1亠
11
dt
t1t
t(1
Ult)
变量还原I
ln
tex
ex
C
1ex
In|t|ln|1t|CIn|tIC
dx
令6xt
(1:
x)」x
xt6
(1t2)t3
dt6
(1t2)t3貳水
t2
1t2dt
1t2
dt
变量还原
6(tarctant)C6
t
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- 不定积分 法例