不定积分换元法例题.docx
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不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】
已知f(u)duF(u)C
求g(x)dxf((x))'(x)dxf((x))d(x)【凑微分】
【求不定积分g(x)dx的第一换元法的具体步骤如下:
】
(1)变换被积函数的积分形式:
g(x)dxf((x))'(x)dx
(2)凑微分:
g(x)dxf((x))'(x)dxf((x))d(x)
(3)作变量代换u(x)得:
g(x)dxf((x))'(x)dxf((x))d(x)f(u)du
(4)利用基本积分公式f(u)duF(u)C求出原函数:
g(x)dxf((x))'(x)dxf((x))d(x)f(u)duF(u)C
(5)将u(X)代入上面的结果,回到原来的积分变量x得:
f(u)duF(u)CF((x))C
g(x)dxf((x))'(x)dxf((x))d(x)
【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量u
(x),省略⑶(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。
1、(5x7)*9dx
(5x7)9d(5x7)
51o(5x7)10C却5x7)10C
【注】(5x7)'5,d(5x7)5dx,
dx
-d(5x
5
7)
lnxdxInxdx
Inx
dInx
x
x
InxdInx
1(Inx)2
C
12-(Inx)C
2
2
2、
1
【注】(Inx)'—,
x
1
-dxd(lnx)x
丄,sinx,
3
(1)tanxdxdx
cosx
dcosx
sinxdx
dcosx
dcosx
cosx
In|cosx|CIn|cosx|C
(cosx)'
sinx,d(cosx)
sinxdx,sinxdxd(cosx)
cosx
cosxdx
dsinx
cotxdx
dx
sinx
sinx
sinx
dsinx
ln|sin:
x|Cln|sin
x|C
sinx
(sinx)'
cosx,
d(sinx)cosxdx,cosxdxd(sinx)
【注】
3
(2)
【注】
4
(1)
【注】
4
(2)
【注】
4(3)
5
(1)
5
(2)
6
(1)
6
(2)
1
1
1
dx
dx
d(a
x)
a
x
ax
a
x
1d(a
x)ln|a
x|
C
ln
|ax|
1C
a
x
(a
x)'1,
d(ax)
dx,
dx
d(a
x)
1
1
1
dx
dx
d(x
a)
x
a
xa
x
a
—d(x
a)ln|x
a|
C
ln|
xa|
C
x
a
(x
a)'1,
d(xa)
dx,
dx
d(x
a)
1
区1n|xa|
ln|xa|
C2a"
x
a
x
a
C
secxdx
secx(secx
secxtanx
tanx),dx
2
secx
secxtanx
dx
secx
tanx
d(tanx
secx
secxdx
secx)
tanx
1
d(tanxsecx)
secxtanx
In|secx
tanx|
dsinx
1sin2x
cscxdx
d(cotx
dxcosx
cosx,
2dxcosx
cosxdx
dsinx
2sinx1sinx
cscx(cscxcotx),
dx
cscx
cotx
cscx)
2
cosx
dsinx
2
cscx
d(cscxcotx)
cscxcotx
cscx(cscxcotx),
cscxdxdx
cscxcotx
1sin2x
1
ln
2
sinx1
sinx1
1
ln
2
1sinx
1sinx
cscxcotx,
dx
cscxcotx
ln|cscxcotx|
2csc
xcscxcotx,dx
cscxcotx
d(cotxcscx)
cscxcotx
d(cscxcotx)
cscxcotX
In|cscxcotx|C
1x2
dx
:
厂X2
arcsinxC
.a2
2X
.a2
2
X
2
X
a
1
dx
2
dx
2
arctanxC
1X
1X
1,dxdx
dx
.xarcsin
a
^dx
dx
dx
a2
3525
sinxcosxdxsinxcosxsnxdx
25
(1cosx)cosxdcosx
sin3xcosxdx
dX
dX
1
a
1
a
1
X
2
2
arctan
C,(a0)
a
X
a
X
a
a
1-
1
a
a
2
x
a
sin2xcos5xdcosx
75
(cosxcosx)dcosx
sin3xcos4xcosxdx
sin3x(1sin2x)2dsinx
8
COSX
8
6
COSX
6
sin3xcos4xdsinx
.4
z.35.7sinX
(sinx2sinxsinx)dsinx
4
dx
1
1
1
1
—dx
dlnx
dlnxln
lnx
C
xlnx
lnx
X
lnx
lnx
dx
xln2x
1
ln2x
dx
1
ln2x
1
ln2x
1
lnx
2xdx
x42x22
2
2xdxdx
4242
X42x22X42x22
d(x21)
22
1(X21)2
xdx
1
2xdx
1
dx2
4
x2x5
2
4
x2x5
2
x42x25
1d(x21)
22
24(x1)
dJ
d(x21)
x212
x212
-arctan/
42
1)
.6
sinx
3
2
arctan(x1)C
7
(1)
7
(2)
8
(1)
8
(2)
9
(1)
9
(2)
10
(1)
10
(2)
11
(1)
11
(2)
sin”x
dx
2sin仮dx
2丘
2sin、xdx
12、
13、
14、
15、
1
2
16、
17、
18、
19、
20、
12x
e
2
2sinVxdx2cosxC2cos、xC
2x12x12x,
edxed2xed2x
22
sin3xcosxdx
sin3xcosxdx
.3..
sinxdsinx
.4
.3」.sinx
sinxdsinx
4
(2x
100.
5)dx
(2x
100.
5)dx
100
(2x5)
1d(2x
2
5)2
(2x
(2x
、100■—
5)
11
、101
1
101
C
5)d(2x
(2x
5)C
(2x
5)
2101
202
100
5)d(2x5)
y——
(1lnx)22(1lnx)2C
3
arctanxe
7dx
1x2
arctanx
一2dx
x
arctanxe
darctanx
arctanx
edarctanx
arctanxe
1
xdx
_1_
2/x2
dx2
_1_
2*1x2
d(1
x2)
_1_
21x2
d(1
x2)
3
1
sinx
1
sinxdx
1
21、
xdx
edx
de
2e
2e
2e
e.1x1.x
xx
xd(2e)ln(2e)C2e
ln2x
21.
2..
22、
dx
lnxdx
lnxdlnx
X
x
ln2xdlnx
ln3x
23、
dx
.12xx2
dx
.2(1x)2
d(1x)
2(1x)2
d(1x)
.
(2)2(1x)2
arcsin——-
V2
、
24
dx
dx
(Xd
X
/(.
d
25、
2
X2
X
2
2
X.7
1-2
d(x》
(x$J
2
「7
arctan
2
"7
x1
arctan—C
sinxcosx
计算背
sin2xb2
2cosx
dx,
b2
【分析】因为:
(a2sin2x
b2cos2
x)'
a22sin
2
xcosxb2cosx(sinx)
2(a2
b2)sinxcosx
所以:
22
d(asinx
2
cos
2x)
2(a2
2
b)sinxcosxdx
【解答】
sinxcosxdx
sinxcosx
1
2(a2
2d(a2sin2xb2cosb2)
x)
dx-asinxbcosx
sinxcosxdx-a2sin2x
b2cos2x
d(a2sin2
d(a2sin2xb2cosx)
1
ab2a2sin2xb2cosx
1
a2b2
xb2cosx)
2、a2sin2xb2cos2x
、a2sin2xb2cos2xC
【不定积分的第二类换元法】
已知f(t)dt
F(t)C
求g(x)dx
g((t))d(t)
g((t))'(t)dt
【做变换,令x(t),再求微分】
f(t)dtF(t)C
【求积分】
1
F((x))C
1
【变量还原,t(x)】
【第二换元法例题】
1、
sin,x,
"Trdx
xt2
乎dt2
Jt
2sintdt
2cost
变量还原
2cosxC
dx
2
(1)1“
xt2
—dt2
1t
—2tdt
1t
—dt2t
-dtt
2
(2)
2tln|1
tln|t|
t|C
令1+xt
x(t1)
1:
xdx
12(t6
t3)dt
变量还原
2
d(t
变量还原
34
x(t1)
12
t7
1)2
t4
ln|1-,x|
12(t1)dtt
ln|1d|C
td(t31)4
变量还原
12
令Wxt
—dx
•'x(1x)
xt2
1
t(1t2)
dt2
2tdt
t(1t2)
变量还原
2arctantC
2arctanxC
t1dt
t
(t31)214(t3
1)3
3t2dt
2
1t2
J(1如)4
1
xdx
1exx
令ext
lnt
1
dlnt
1t
11
dt
1tt
1
dt
t(1t)
dt
In|t|In|1
t|
ln/JC
变量还原
ex
In
x
e
x
1e
dx
(1lx);x
xt6
1
(1t2)t3
dt6
6t5dt
J2
Adt
6(tarctant)
变量还原
C6
t..-rx
6(6x
arctan.x)C
【注】被积函数中出现了两个根式
m—n—k—
\x,\x时,可令\x
k为m,n的最小公倍数。
7
(1)
dx
1\x
令3x2t
7
(2)
【注】
8
(1)
xt32
dt
1t
tln|1
t|
变量还原
63
tx
7(x2)2
ln|1
:
r~2|
\xdx
变量还原
1x
t2
1dt
2t2ln|t
1|
ln|t21|
被积函数中含有简单根式
dx
x8(1
x2)
t7t5
t3
2ln|
:
ax
1|
ln|—1|
x
naxb
或'二
时,可令这个简单根式为
,即可消去根式。
1
t8
dt
1
丄
t2
t8
17dt
t6t4t2
arctant
变量还原
C
t1
1
7x7
5x5
1
3x3
1arctanC
x
1lnx
8
(2)(xlnx)2
dx
变量还原
2
tlnt
(1
11ln1C
xx
1ln-t
2
In
d1
1ln-_t_
2ln1t
lnt)dt
xInx
【注】当被积函数中分母的次数较高时,
1sinx
令tanxt
2
sinx(1
dxcosx)
x2arctart
2
1tlnt
d(1
可以试一试倒变换。
12
1t2
1t2)
d2arctan^
2
21
dt
t2
1
2n|t|
变量还原
斗2X
tan-
2
4
xtan-
2
1
2ln|tan2|
【注】对三角函数有理式的被积函数,
令xasint,|t|—
10
(1)va2x2dx
tarcsin?
a
令x
dx
■-a2
asint,|t|—
2
x2t
.xarcsin_
a
变量还原
1cos2t,dt
2
2
tarcsinxa
dx
变量还原
x
tarctan
a
;dt
tint)
」^dttlnt
1tint
2t
1t2
主)
1t2)
2dt
1t2
可以用万能公式变换,化为有理分式函数的积分问题。
dasint
.a2
a2sin2t
dasint
dt
cos2tdt
变量还原x
Xarcsin
.xo
arcsin—a
a
2
a(1
cos2t)dt
sin2t
a.x
arcsin
2
令xatant,|t|—
2
xarctan
a
datant_a2a2tant
seCdt
In|sedtant|C
ln|-
a
22
——|Cln|xa
因为:
2
(x~)'2#~x^a
22ax
所以:
(x.ax)'dx
2
2~x2dxa
戸2.ax
dx
即:
\a2x2dx
2(XJrx2
)'dx
—dx
22
\ax
10(3)
dx
令xaseC,0t_
2
变量还原x
ln|-a
xasect
因为:
所以:
即:
dasect
a
.a2se£t
sectdt
In
|x
x2|C
In|sect
tant|
~2
xa,
|CIn|x
a
(xx2a2)'2x2a2
2
a
-22
xa
(xx2a2)'dx2x2a2dx
2
a.
dx
22
xa
Cdx1(xC
)'dx
1
r~22
■-xa
dx
22a
ln|
a2|C
【注】当被积函数中出现.a2x2「a2x2,.x2a2因子时,可以用三角变换,化为三角函数的积分问题。
【附加】【应用题】
已知生产x单位的某种产品,边际单位成本是C'(x)
(空'
100,产量为1个单位时,成本为102,
x
又知边际收益为R'(x)120.1x,且R(0)0,
求:
(1)
利润函数L(x);
(2)
⑶
利润最大时的产量;利润最大时的平均价格。
【解答】
(1)因为:
x
x
所以:
100C(x)
x
G,由C1
(1)
102得:
G2,
100
C(x)2,
x
C(x)1002x
又已知:
:
R'(x)12
0.1x,R(0)
0,
R(x)12x
0.05x2
于是:
L(x)R(x)
C(x)10x
0.05x2
100
0得:
x100
C'(x)(S
100
~2~
(2)令L'(x)100.1x
因为:
L'(100)0,L"(100)0,所以当x100时利润最大,Lmax(100)400
(3)利润最大时的平均价格为:
P空毀7007
100100
【第一换元法例题】
99119
(5x7)9dx(5x7)9d(5x7)(5x7)9d(5x7)
55
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