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不定积分典型例题docx
不定积分典型例题
一、直接积分法
H接积分法是利用基木积分公式和不定积分性质求不定积分的方法,解题时往往需对被积甫数进行简单恒等变形,使之逐项能用某本积分公式.
例1、求f(1-A)Jx石dx
例趴求佚扑
解原式=j(e2x-ex4-l)t£v=je2x-ex+x+C
例3、求[,1dx
Jsurxcos-x
解原式=(血f+c。
]'dx=[——dx+[——dx=tanx-coxx+CJsin・xcos・xJcos~xJsin*x
例4、Jc呻
原式
h"才亠r1+cosx.x+sinx小解原式
)dx=x-aictanx+C
1+x"
注,本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.
二、第一类换元积分法(凑微分法)
r凑成『
“(x)厶訂ggx)]0(x)dx
令ea戶“e求岀连甌
=Jg(")d"=G(”)+C-G[(p(x)]+C
在上述过程屮,关键的一步是从被积函数/(小屮选取适当的部分作为
0(x),与办一起凑成卩(x)的微分d(p(x)=d"且Jg(u)du易求.
例1、求
JJcosx
解原式=[S17Yrfr=JCOSXa/COSX
-dcosxcosxjcosx
例2、求J护gdx
Ja/x-jt
解原式訂平£・士厶訂护酉(石)
Jl-Xy/x^l-(Vx)2
=2|arcsmVxJ(arcsm仮)=(arcsinJx)2+C
dx=2d(Jx)
例沢求J;&d”
解原式品(“)
2
岭)
1•2—arcsm—x+23
扌E+c
例4、求J叫k•侖山
例6、求[dx
J1+tanx
例7、求[—In•^上dx
J1-x*1-x
b"K亠1Cl1+XJzi1+X、1.J+x小
解原式=—In——d(ln)=_lir——+C
2}1-x1-x41-x
例8、求\-^—dx
JK+1
解原式=J~=J厶_J]fdx
例io.求fsmYdx
」1+sinx
解原式=[(1——)dx=\dx-[-_^^clx
J1+sinx」」cos"x
=x-[——dx+fSU\'Vdx=x-tanx+secx+CJCOS'XJCOS'X
dx
-31nx
-丄
解原式=J(2-31nX)X)
=j(2-31nx)1(-丄)d(2-31iix)=--•—p—(2-3Inxy+C
33-1+1
2
-V2-31nx♦C
例12、求J~——dx
解原式“幵忌如吋制話石烷呦
b
=—arctan(^-tanx)+Cahh
例】3、求J沖
解原式彳斗戶心霁孑心吾〃
例4求『詁町去
例15、求[3x~2dx
JAT-4x+5
解原式=屮j+5)+町十丄j.
2J%•-4x+5J.「-4x+5
=—ln|x2-4.v+5|+4aictan(x-2)+C
注由丁•分子比分母低•次,故可先将分子凑成分母的导数,把积分化为形如]—dx的积分(将分母配方,再凑微分).
Jar"+PX+C
解因为冷7亠需,故加亠甘,乂因为
得空上1=厂解出处x)=21,从而
仅X)—1X-1
j(p(x)dx=j厶=J(1+=x+21n|x-l|+C
例17、求f—^—dx
JCOSX
解原式=Jsec'xdtanx=j(l+tan2x)dtanx=tailx+ytan3x+C
例厶求J戕严
解原式訂册专*
三、第二类换元法
设x=(p(t)单调可导,且/(/)工0,已知Jf[仅=F(f)+C*,则
令r⑴,t^\x)还原
Jf(x)dx=jf[(p(t)](p\t)dt=F(t)+C-F[(p'\x)]+C
选取代换X=cp(t)的关键是使无理式的枳分化为有理式的积分(消去根号),
同时使“[必)]0(/曲易丁•计算.
xdx
例5(〜心
解令x=sin/Mr=cos/d/
1山b_rsintcostdt_rdcost
'」(sin2/+1)cos/」2-cos21
^7=111
V2+cos/
2JIV2-cos/
「_1j|vi+Ju
例2、求松
解令x=tant.dx=sec2tdt
丄斗丄+—牟工+业
3smtsin/3兀x
例3、求]*A~^dx
JJ-
解令x=3sec/,贝ij=3sec/-tanfr/z
•3secf-tan/J/=|dt=f(sec/-cos/)d/
Jsec/3
=ln|sec/+tan/1-smZ+Ci
例4、求[$dx
J心+2)
解令x=l,则dx=-\rdt,
d(l+2/7)
=-—In11+2Z7|+C=-—ln|2+x7|+yln|x|+C
注设〃肆分别为被积函数的分子,分母关于x的最寫次数,当―加〉1时,可用倒代换求积分.
例5、求(—:
+1dx
解令x=dx=-^dt
tt-
=-arcsint+-Jl-t2+C=———--arcsin丄+C
X
例6、求
令阪Wff6f14.f4
解原式f7^7-12/11=12fT^i11=7^Td,
=12[/10f1+1./4j/=f(r5+1+~^—)dt5=^./10+—r5+—in|r5~i|+C
J/5-i5」/5-l10551
6-12-12-
=-x6+—x12+—lnx12-l+C
555
例7、求丄
JJ1+K
解令Jl+e,=/,ex=t2-I,dx=dt
厂一1
原式=&启〃=2j右dr=ln|m+C=ln|^^+C例8、求「严dx
J.vVl+lnx
解令t=1+liix
原式=J-^===JInx=
例矢求J倍抄
解令yjx+l=t,x=t2-Ldx=2tdt
因为原式=产士吕耳=x+21n|x|_2j年弘
而丿孕=聘=2皿+甘
=2/+1恫+。
=2V77T+ln|^Tl|+c
原式=x+21n|x|-4jx+l一21n—+C=x-4jx+l+41nJx+1+1+C
四、分部积分法
分部积分公式为uv'dx=uv-u'vdx使用该公式的关键在J:
"少的选取,可参见本节答疑解惑4.
解原式=J^dex=x^ex-3jx2dex=x3er-3x2ex+6jxdex
=xzex-3xzev+6xex-6el+C
解原式=*J(1+cosx)dx=*x'+*Jcosxdx
JxshiayAv
=丄f+丄fFdsinx=丄F+丄x2smx-
62J62
=—x3+—x2sinx+[xdcosx=丄疋+—x2sinx+xcosx—[cosxdx
62J62J
=—x3+—x2smx+xcosx-smx+C62
例3、求je^dx
令折4cc
解原式-3Jre'dt=3ft2de1=3f2d-6fe‘+6R+C
rfv»3/:
rfr
=3^e^-6\fxe^+6e^+C
例4、求
解原式=xcos(lnx)+jsm(lnx)dx
=xcos(lnx)+xsin(lnx)—jcos(lnx)dx
移项,整理得原式=专[cos(lnx)+siii(lnx)]+C
注应用一次分部积分法后,等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式,移项即得解,类似地能出现循环现彖的例题是求如下不定积分:
jeaxcosPxdx或jeaxsmfixdx
例5、求jy/l+x2)dx
解原式=xln(x+^l+x2)-fzAdx=%ln(x+Jl+x')-Jl+x‘+CJVl+x2
In3
EF+2心2讪
2na2(x2+a2)n
+(2n-l)/w
不—亍r—t—r+(2〃-3)1/r-!
2(7?
-l)nL(:
r+6T)
例8、推导/n=jtan"xdx的递推公式.
解Itl=ftail"-2xtan2xdx=ftanM_2x(sec2x-l)dx
注应用分部积分法可以建立与正榕数〃有关的一些不定积分的递推公式.
例9、已知/(%)的一个原函数是e"x',求Jh'(x)dx解原式=Jxdf(x)=xf(x)-Jf(x)dx=xf(x)-e~x'+C
例10、求jxaictanx111(1+x2)dx
解因为Jxln(l+x2)dx=yjln(l+a2)d(l+x2)
+十)-丄F
2
冷(1+力吨+,)—[沁
所以原式=jarctanaz/—(l+x2)ln(l+x2
=十arctanx[(l+x2)ln(l+亍)一疋一3〕一寸ln(l+x2)+-|x+C
注本题是三类函数相乘的形式,这类问题人多采用本题的方法.
解令x=tan/,dx=sec2tclt
2(F+—1)+C
原式=Jtan/^^sec=Jsin/coste'dt
=ljsm2^=±e\s1n2/-cos20+C=鸡巧
例12、求[A.arctailxJxJ1+x"
解原式=[
(1)arctanxdx=farctailxdx[—arctanxdx
」1+JTJ」1+JT
=xarctanx~~ln(l+x2)-y(arctanx)~+C
例13、幻譽.芒^解令x=sinaicsmx=t^dx=costdt■
原式=r(l【smO.cos/d/=f—d/+(fdt
Jsm"/cos/」sin■/」
=-tcot/+
=-/cos/+ln|sin/1+—+C
—_—arcsmx+In|x|+丄(arcsmx)2+Cx2
注也接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分般巫要的方法,主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧,同时应注意这些方法的综合运用.
五、有理函数的积分
有理函数的积分总町化为整式和如下四种类熨的积分:
°A
(1)[dx=A\n\x-a\+C
Jx-a
⑷r(x^a)dxdx=__1;_1
」(L+px+q)n2("-1)(x*+px+q)n1
中p2-4q<0.
这就是说有理两数积分,从理论上讲,可先化假分式为整式与真分式Z和,再将真分式化为若干部分分式之和,然后逐项积分,但这样做有时非常复杂,因此我们最好先分析被积函数的特点,寻求更介适,更简捷的方法也是很必耍的.
例】、求
解原式=
[竺乂=纟31遇孕+C
J(x-l)・+2J2+(x-l)・y/2yf2
本题若用待定系数法,较麻烦一些,也町获得同样的结果.事实上,
■八x2+5x+4Ax+BCv+Dw八匕宀若
设4…通分后应有
x+jx~+4x~+1x~+4
x2+5x+4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1)
比较等式两端x的同次幕的系数,得A+C=O,B+D=O,4A+C=5,4B+D=4
由此,A==1,C=——,D=—1
yAA?
丫亠厂
解设一=+—>通分后应有x=A(x2+x+l)+(Bx+C)(x-l)
1V1V1i1
比较等式两端X的同次幕的系数,得A+B=O,A-B+C=l,A-C=0・由此,
A=1,B=-1,C=1
故原式=J
1x-1
3(x-l)3(亍+x+l)
dx1
x^l_6
解原式*船非訂右心百毎于
$占心丿宀+占加
注:
本题若用待定系数法,应当将被积函数分解为
=—+——+++
ABCDEx+F
x2(l-x4)X2(1-x)(l+x)(l+X2)XX21-X1+X1+X2
然后再确定系数,显然这样做比较麻烦,也可获同样结果,此处从略.
解令x"=u,则du=4x3Jx,丁•是,
jns
e
叵W・-PHXPXP寸」X」"+Je令s
寸nno+(e+\)ml(v+-)w"+JHG+-Z+二一UIUI-I+三ui+bth
一\一
罡•牛H£.otAl9oH<
a+、)(£+耳€)十(寸+*)(远+x<)丄寸+lol
(17+—)1+1—t
解由于
1_/°+1-/°_1X9
X(X104-1)2~X(Xl°+I)2-X(X1O+1)"(严+1),
1x9x9
7~(x10+l)~(x10+l)2
原式=
X
dx=In|x|
J_(d(/°+1)__『d(+°+1)忆」10J(xI04-l)2
ln|x|-—ln(x10+l)+
———+C=—ln-^-+——'—+C
10(+°+1)10十°+110(x10+l)
注对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化,常见的初等变形有:
分子分母同乘一个因子:
有理化:
加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.
六、三角函数有理式的积分
一般从理论上讲,三角函数有理式的枳分J/?
(sinx,cosx)dx可通过万能代换r=tan-化为代数有理式的积分,但有时较繁,因此我们常采用三角恒等变形,
2
然后再求解.
例2、求JVI+smxdx
解原式=fJsill2—+cos2—4-2SUl—cos—dx
Jv2222
例4、求[S111Adx
J1+SU1X
解原式=pnivd-sinA-)^=c^lx_f匕竺弘
JCOS*XJCOS*XJCOS*X
tanx+x+Ccosx
”l亠rsinxf
例5.求|dx
JSU1X+COSX
5+打出竺竺也显(—|sin“cosx|)+C
22Jsinx+cosx2
例6、求jsin5xcosay/x
解原式=■jJ[sin4x+sin6x]〃=-gCOs4x-jjCOs6x+C
注积化和差公式
smax•cosfix=y[sin(a+P)x+sm(a一0)x]
sinax・smpx=—[cos(a-卩)x-cos(a+fl)x]
cosax•cospx=—[cos(a+0)x+cos(a-/3)x]
解令smx=t,cosxdx=dt
6|1-/|3近\[2
注形如JR(smx,cosx)dx的有理函数的积分,一般可利用代换tan-=r化为有理函数的积分.
(i)若R(-sinx,cosx)=-R(sinx.cosx)或R(suix-cosx)=-R(sinx,cosx)成立,最好利用代换cosx=t或对应的sinx=f.
(ii)若等式7?
(-sinx-cosx)=7?
(siiix,cosx)成立,最好利用代换tan.v=/.
例8、求f3SU1V3dx
Jsinx+cosx
解令tanx=t,则sec2xdx=dt.于是
原式==护需芒:
;®弓岛心总
=丄ln(/2-r+l)+-Laictan(^^)一丄In11+f|+C
6J3J33
1ftan2x-tanx+112tanx-l小
=—In;——+—7=arctan(产——)+C
6(1+tanx)"V3V3
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