定积分证明题方法总结六.docx
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定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇
定积分是历年数学的考查重点,其中定积分的证明是考查难点,同学们经常会感觉无从下手,小编特意为大家总结了定积分的计算方法,希望对同学们有帮助。
篇一:
定积分计算方法总结一、不定积分计算方
法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幕代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法(反、对、幕、指、三)
8.降幕法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分,比较积分值的大小
1)比较定理:
若在同一区间[a,b]上,总有
f(x)>=g(x),则>=()dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)
b)当02.估计具体函数定积分的值
积分估值定理:
设f(x)在[a,b]上连续,且其最大值为
M最小值为m则
M(b-a)3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
<%
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法
篇二:
定积分知识点总结1、经验总结
(1)定积分的定义:
分割一近似代替一求和一取极限
(2)定积分几何意义:
①f(x)dx(f(x)0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成
曲边梯形的面积ab
②f(x)dx(f(x)0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成
曲边梯形的面积的相
反数
a
(3)定积分的基本性质:
1kf(x)dx=kf(x)dxaabb
2[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaaa
3f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaac
(4)求定积分的方法:
baf(x)dx=limf(i)xini=1nbbbbbcb
①定义法:
分割一近似代替一求和一取极限②利用定
积分几何意义
'③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F(x)=f(x)
ba
篇三:
定积分计算方法总结1、原函数存在定理
•定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x€I都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
•分部积分法
如果被积函数是幕函数和正余弦或幕函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幕函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幕函数的幕降低一次。
如果被积函数是幕函数和对数函数或幕函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数
一定存在,但原函数不一定都是初等函数。
定积分
1、定积分解决的典型问题
(1)曲边梯形的面积
(2)变速直线运动的路程
2、函数可积的充分条件
•定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积。
•定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,贝Uf(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质
•性质如果在区间[a,b]上f(x)>0则/abf(x)dx>0。
•推论如果在区间[a,b]上f(x) •推论|/abf(x)dx| •性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大 值和最小值,则m(b-a)abf(x)dx •性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立: /abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a 定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) •直角坐标系下(含参数与不含参数) •极坐标系下(r,9,x=rcos9,y=rsin9)(扇形面积公 式S=R29/2) •旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面 积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=/abn[f(x)]2dx,其中f(x) 指曲线的方程) •平行截面面积为已知的立体体积(V=/abA(x)dx,其 中A(x)为截面面积) •功、水压力、引力 •函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*/abf(x)dx) 篇四: 定积分计算方法总结一、不定积分的概念和 性质 若F(x)f(x),则f(x)dxF(x)C,C为积分常数不可丢! 性质1f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx或 df(x)dxf(x)dx 性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C 性质3[f(x)g(x)]dx 或[f(x)g(x)]dx 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式f(x)dxg(x)dxg(x)dx;kf(x)dxkf(x)dx.f(x)dx kdxkxC xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxCax edxeCadxInaCxx cosxdxsinxCsinxdxcosxC dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCdxarctanxCarccotx C()1x2arcsinxC(arccosxC) 直接积分法: 对被积函数作代数变形或三角变形,化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、 加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法: 1.第一类换元法(凑微分法) g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x) 注 (1)常见凑微分: u(x)f(u)du[F(u)C]u(x). 111dxd(axc),xdxd(x2c),2dc),dxd(ln|x| c)a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2 (2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况: 若被积函数为一个函数,比如: e2xdxe2x1dx,若被积 函数多于两个,比如: sinxcosx1sin4xdx,要分成两类; (3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x); (4)若被积函数为三角函数偶次方,降次;奇次方,拆 项; 2.第二类换元法 f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型: (1)对被积函数直接去根号; (2)到代换x1;t (3)三角代换去根号 atantxasect、 xasint(orxacost) f(xdx,t f(xx,x asect f(xx,xasint f(xx,xatantf(ax)dx,ta x f(xx,t 三、分部积分法: uvdxudvuvvduuvuvdx. 注 (1)u的选取原则: 按“反对幕三指”的顺序,谁 在前谁为u,后面的为V; (2)uvdx要比uvdx容易计算; (3)适用于两个异名函数相乘的情况,若被积函数只有一个,比如: arcsinxldx, u v (4)多次使用分部积分法: uu求导vv积分(t; 篇五: 定积分计算方法总结一、原函数 定义1如果对任一xI,都有 F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。 例如: (sinx)cosx,即sinx是cosx的原函数。 [In(xx2) 原函数存在定理: 如果函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上一定有原函数,即存在区间I上的可导函 数F(x),使得对任一xI,有F(x)f(x)。 注1: 如果f(x)有一个原函数,则f(x)就有无穷多个原函数。 设F(x)是f(x)的原函数,贝U[F(x)C]f(x),即F(x)C也为f(x)的原函数,其中C为任意常数。 注2: 如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数,则F(x)与G(x)之差为常数,即F(x)G(x)C(C为常数) 注3: 如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数,则 F(x)C(C为任意常数)可表达f(x)的任意一个原函数。 1x2,即In(xx2)是1x2的原函数。 二、不定积分 定义2在区间I上,f(x)的带有任意常数项的原函数,成为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)dx。 如果F(x)为f(x)的一个原函数,则 f(x)dxF(x)C,(C为任意常数) 三、不定积分的几何意义 图5—1设F(x)是f(x)的一个原函数,则yF(x)在平面 上表示一条曲线,称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分 曲线,它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意 平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线, 其斜率都等于f(x). 在求原函数的具体问题中,往往先求出原函数的一般表 达式yF(x)C,再从中确定 /secxdx=ln|cot(x/2)|+C =(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C =-ln|secx-tanx|+C=ln|secx+tanx|+C /cscxdx=ln|tan(x/2)|+C =(1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C =-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-设F(u)为 f(u)的原函数,u(x)可微,则 f[(x)](x)dx[f(u)du] 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x)(2-1) f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x) 1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb 篇六: 定积分计算方法总结摘要: 结合实例分析介 绍了不定积分的四种基本计算方法。 为使学生熟练掌握,灵 活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方 法,简单进行了整理归类。 关键词: 积分方法第一类换元法第二类换元法分 部积分法不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积 分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。 熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分, 微分方程等相关知识打好基础。 在高等数学中,函数的概念 与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限, 从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计 算技巧显得更加重要。 这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。 对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其 计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提 高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。 1直接积分法 直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本 性质求不定积分的方法。 直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式利用积分运算法则,在逐项积分。 一、原函数与不定积分的概念 定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数,若存在函 数F(x),使得F(x)或dF (x)f(x)dx 则称F(x)为f(x)的一个原函数 定义2.函数 f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分,,记为: f(x)dxF(x)C f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式C叫做积 分常数 其中 ”叫做积分号 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1.不定积分的导数等于被积函数,不定积分的微分等于被积表达式,即 f(x)dxf(x);df(x)dxf(x)dx. 性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数,即 f(x)dxf(x)C, 或df(x)f(x)C 性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来,即 kf(x)dxkf(x)dx 性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不 精品文档定积分的代数和,即 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 基本积分公式 (1)kdxkxC(k为常数) (2)xdx 1 1 x 1 C (1) 1 (3)xlnxC x (4)exdxexC (6)cosxdxsinxC(8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC(12)secxdxlnsecxtanxC(14)(16) 11x 11x 2 (5)a dx a x Ina C (7)sinxdxcosxC(9)csc2xdxcotxC (11) cscxcotxdxcscxC (13)cscxdxlncscxcotxC(15) 1x 2 2 xarctanxC xarcsinxC xarcsinxC 三、换元积分法和分部积分法 定理1.设(x)可导,并且f(u)duF(u)C.则有f[(x)](x)dxF(u)C 凑微分 f[(x)]d(x) 令u(x) f(u)du -独家原创 14/15 2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 代回u(x) F((x))C by 该方法叫第一换元积分法(integrationsubstitution),也称凑微分法.定理2.设x数F (t)是可微函数且(t)0,若f((t))(t)具有原函 (t),则 xt换元 fxdx fttdt 积分 FtC t 1 x 回代 1 FxC. 该方法叫第二换元积分法
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