版高考数学大二轮复习11集合与常用逻辑用语学案理.docx
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版高考数学大二轮复习11集合与常用逻辑用语学案理
第1讲 集合与常用逻辑用语
考点1 集合的概念及运算
集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A;
(2)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A;
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U;
(4)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
[例1]
(1)[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )
A.{-1,0,1}B.{0,1}
C.{-1,1}D.{0,1,2}
(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M={x|-4 A.{x|-4 C.{x|-2 【解析】 (1)本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 集合B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}. (2)本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 通解 ∵N={x|-2 ∴M∩N={x|-2 优解 由题得N={x|-2 【答案】 (1)A (2)C 1.解答集合问题的策略 先正确理解各个集合的含义,弄清集合元素的属性;再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的策略为: (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解. (2)若给定的集合是点集,用图象法求解. (3)若给定的集合是抽象集合,常用Venn图求解. 2.[警示]忽略空集的讨论,若遇到A⊆B,A∩B=A时,要考虑A为空集的可能性. 『对接训练』 1.[2019·四川南充适应性考试]已知集合P= ,Q= 则( ) A.P=QB.PQ C.PQD.P∩Q=∅ 解析: 在集合P中,x= + = ,k∈Z,在集合Q中,x= + = ,k∈Z.因为k∈Z,所以2k+1为奇数,k+2为整数,由集合间的关系判断,得PQ.故选B. 答案: B 2.[2019·北京延庆一模]已知集合A={x|x(x+1)≤0},集合B={x|-1 A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1 C.{x|-1≤x<1}D.{x|0 解析: 解一元二次不等式x(x+1)≤0,可得A={x|-1≤x≤0},则A∪B={x|-1≤x<1},故选C. 答案: C 考点2 命题的真假与逻辑联结词 1.四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p,则q”,则其逆命题是若q,则p;否命题是若綈p,则綈q;逆否命题是若綈q,则綈p. (2)四种命题间的关系 2.命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 [例2] (1)[2018·北京卷]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________; (2)[2019·福建漳州一中月考]已知命题p: 椭圆25x2+9y2=225与双曲线x2-3y2=12有相同的焦点;命题q: 函数f(x)= 的最小值为 .则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(綈p)∧q C.綈(p∨q)D.p∧(綈q) 【解析】 (1)设f(x)=sinx,则f(x)在0, 上是增函数,在 ,2上是减函数.由正弦函数图象的对称性知,当x∈(0,2]时,f(x)>f(0)=sin0=0,故f(x)=sinx满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数. (2)p中椭圆 + =1的焦点坐标分别为(0,4),(0,-4),双曲线 - =1的焦点坐标分别为(4,0),(-4,0),故p为假命题;q中f(x)= = = + ,设t= ≥2(当且仅当x=0时, 等号成立),则f(t)=t+ 在区间[2,+∞)上单调递增,故f(x)min= ,故q为真命题.所以(綈p)∧q为真命题,故选B. 【答案】 (1)f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一) (2)B 1.命题真假的判定方法 (1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别; (2)四种命题真假的判断: 一个命题和它的逆否命题同真假,而其他两个命题的真假无此规律; (3)形如p∧q,p∨q,綈p命题的真假根据p,q的真假与联结词的含义判定. 2.全称命题与特称命题真假的判定 (1)全称命题: 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可; (2)特称命题: 要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 『对接训练』 3.[2019·山西芮城期末]在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]内视为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为( ) A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q 解析: “甲测试成绩不优秀”可表示为綈p,“乙测试成绩不优秀”可表示为綈q,“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”,表示形式为(綈p)∨(綈q).故选A. 答案: A 4.[2019·江西临川一中月考]已知命题p: ∀x∈R,x2-2ax+1>0;命题q: ∃x0∈R,ax +2≤0.若p∨q为假命题,则实数a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2]D.[-1,1] 解析: ∵p∨q为假命题,∴p,q均为假命题.若命题p为假命题,则Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1;若命题q为假命题,则a≥0,∴实数a的取值范围是[1,+∞),故选A. 答案: A 考点3 充分、必要条件 充分条件与必要条件的3种判定方法 定义法 正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件). 集合法 利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件. 等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. [例3] (1)[2019·天津卷]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)[2019·浙江卷]设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 (1)本题主要考查充分性与必要性的判断、简单的不等式求解,考查考生的运算求解的能力,考查的核心素养是逻辑推理. 由x2-5x<0可得0 (2)本题主要考查充分条件、必要条件,考查考生分析问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理. 通解 因为a>0,b>0,所以a+b≥2 ,由a+b≤4可得2 ≤4,解得ab≤4,所以充分性成立;当ab≤4时,取a=8,b= ,满足ab≤4,但a+b>4,所以必要性不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A. 优解 在同一坐标系内作出函数b=4-a,b= 的图象,如图,则不等式a+b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a+b=4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b= 及其左下方(第一象限中的部分),易知当a+b≤4成立时,ab≤4成立,而当ab≤4成立时,a+b≤4不一定成立.故选A. 【答案】 (1)B (2)A 判断充分、必要条件时的3个关注点 要弄清 先后顺序 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A. 要善于 举出反例 当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明. 要注意 转化 綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;綈p是綈q的充要条件⇔p是q的充要条件. 『对接训练』 5.[2019·甘肃天水一模]设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 取a=-b≠0,则|a|=|b|≠0,|a+b|=|0|=0, |a-b|=|2a|≠0,所以|a+b|≠|a-b|, 故由|a|=|b|不一定能推出|a+b|=|a-b|. 由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2, 整理得a·b=0, 所以a⊥b,此时不一定能得出|a|=|b|. 故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.故选D. 答案: D 6.[2019·天津一中月考]已知命题p: x≥k,命题q: <1.如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( ) A.[2,+∞)B.(2,+∞) C.[1,+∞)D.(-∞,1] 解析: 由 <1得, -1= <0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,由p是q的充分不必要条件知,k>2,故选B. 答案: B 课时作业1 集合与常用逻辑用语 1.[2019·全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( ) A.(-∞,1)B.(-2,1) C.(-3,-1)D.(3,+∞) 解析: 本题考查不等式的求解、集合的交运算,意在考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 因为A={x|x2-5x+6>0}={x|x>3或x<2},B={x|x-1<0}={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A. 答案: A 2.[2019·宁夏中卫一模]命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ) A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 解析: 命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D. 答案: D 3.[2019·四川内江、眉山等六市诊断性考试]已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为( ) A.4B.3 C.2D.1 解析: 由A∪C=B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4种情况,所以选A. 答案: A 4.[2019·广东广州一测]已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|2x>1},则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 解析: A={x|0 答案: D 5.[2019·吉林长春模拟]设命题p: ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1,则綈p是( ) A.∀x∈(0,+∞),lnx>x-1 B.∀x∈(-∞,0],lnx>x-1 C.∃x0∈(0,+∞),lnx0>x0-1 D.∃x0∈(0,+∞),lnx0≤x0-1 解析: 因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p: ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1的否定綈p: ∃x0∈(0,+∞),lnx0>x0-1.故选C. 答案: C 6.[2019·陕西西安铁一中月考]如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析: 解法一 (集合法)设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cosx≠cosy},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cosx=cosy},显然CD,所以BA,于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件. 解法二 (等价转化法)x=y⇒cosx=cosy,而cosx=cosy⇒/x=y.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件. 答案: C 7.[2019·安徽芜湖四校联考]已知全集U=R,集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x2≥4},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{-2,-1,0,1}B.{0} C.{-1,0}D.{-1,0,1} 解析: 由韦恩图可知阴影部分对应的集合为A∩(∁UB),∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2},A={-2,-1,0,1,2},∴∁UB={x|-2 答案: D 8.[2019·西藏拉萨中学月考]下列命题中是真命题的是( ) A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题是“若x2-3x+2=0,则x≠1” B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 C.命题p: ∃x0∈R,sinx0>1,则綈p: ∀x∈R,sinx≤1 D.“φ=2kπ+ (k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件 解析: 对于A,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠1”,A错误.对于B,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,B错误.对于C,命题p: ∃x0∈R,sinx0>1,则綈p: ∀x∈R,sinx≤1,C正确.对于D,φ=2kπ+ (k∈Z)时,函数y=sin(2x+φ)=cos2x为偶函数,充分性成立.函数y=sin(2x+φ)为偶函数时,φ= +kπ(k∈Z),必要性不成立,不是充要条件,D错误.故选C. 答案: C 9.[2019·北京卷]设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 本题考查函数的奇偶性,充分、必要条件的判断,以及三角函数的性质;考查学生的运算求解能力和推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理. 当b=0时,f(x)=cosx为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx=f(x), ∴-bsinx=bsinx对x∈R恒成立,∴b=0.故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C. 答案: C 10.[2019·安徽六安月考]已知集合A={x|x<3},B={x|x>a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围为( ) A.[3,+∞)B.(3,+∞) C.(-∞,3)D.(-∞,3] 解析: 依题意可知当a<3时,A∩B≠∅,故选C. 答案: C 11.[2019·贵州贵阳模拟]已知命题p: ∀x∈R,2x<3x,命题q: ∃x∈R,x2=2-x,若命题(綈p)∧q为真命题,则x的值为( ) A.1B.-1 C.2D.-2 解析: 因为綈p: ∃x∈R,2x≥3x,要使(綈p)∧q为真命题,所以綈p与q同时为真命题.由2x≥3x得 x≥1,所以x≤0,由x2=2-x得x2+x-2=0,所以x=1或x=-2.又x≤0,所以x=-2.故选D. 答案: D 12.[2019·海南海口模拟]已知集合A=x∈R ,B={x∈R|-1 A.m≥2B.m≤2 C.m>2D.-2 解析: 集合A= ={x|-1 答案: C 13.若 = ,则a2020+b2020的值为________. 解析: 因为 = , 所以 ={0,a2,a+b}, 所以 或 解得 或 (舍去),则a2020+b2020=1. 答案: 1 14.[2019·安徽定远重点中学月考]若命题“∃x0∈R,使得x +mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是________. 解析: 由题意知命题“∀x∈R,使得x2+mx+2m-3≥0”为真命题,所以Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6,则实数m的取值范围是[2,6]. 答案: [2,6] 15.[2019·江苏扬州期中]已知条件p: x>a,条件q: >0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 解析: 由 >0,得{x|-2 答案: (-∞,-2] 16.[2019·陕西西安模拟]已知下列命题: ①∃x0∈ ,sinx0+cosx0≥ ; ②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1; ③∀x∈R,2x+ >2; ④∃x0∈ ,tanx0>sinx0. 其中真命题为________(填所有真命题的序号). 解析: 对于①,当x= 时,sinx+cosx= ,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,因为2x>0,所以 +2x≥2 =2,当且仅当 =2x,即x=0时等号成立,所以此命题为假命题;对于④,当x∈ 时,tanx<0 答案: ①②
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