届一轮复习人教A版专题五 函数学案.docx
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届一轮复习人教A版专题五函数学案
江苏新高考
江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”,2013年第20题,考查函数的单调性、零点个数问题;2014年第19题,考查函数与不等式;2015年第19题,讨论函数的单调性及函数零点确定参数值;2016年第19题,考查函数与不等式、零点问题,2017年第20题,考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大,多体现分类讨论思想.
第1课时
函 数(基础课)
[常考题型突破]
函数的概念与图象
[必备知识]
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件,它会直接影响函数的性质,所以要树立定义域优先的意识.
(2)对于复合函数的定义域要注意:
①如果函数f(x)的定义域为A,则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围.
②如果f(g(x))的定义域为A,则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.
③f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.
2.函数的值域
求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
4.函数的图象
函数的图象包括作图、识图、用图,其中作函数图象有两种基本方法:
一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
[题组练透]
1.(2017·南通二调)函数f(x)=的定义域是________.
解析:
由题意得lg(5-x2)≥0⇒5-x2≥1⇒-2≤x≤2,因此f(x)的定义域为[-2,2].
答案:
[-2,2]
2.(2017·盐城模考)已知函数f(x)=
若f(0)=3,则f(a)=________.
解析:
因为f(0)=3,所以a-2=3,即a=5,所以f(a)=f(5)=9.
答案:
9
3.(2017·南通模考)函数f(x)=31-x2的值域为________.
解析:
因为1-x2≤1,所以f(x)=31-x2∈(0,3].
答案:
(0,3]
4.(2016·南通调研)已知函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是________.
解析:
将(-3,0),(0,-2)分别代入解析式得loga(-3+b)=0,logab=-2,解得a=,b=4,从而a+b=.
答案:
[方法归纳]
1.求函数定义域的类型和相应方法
(1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可.
(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义.
2.求函数值的注意点
形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;对具有周期性的函数求值要利用其周期性.
3.函数的图象
(1)作图
若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征描点作出;若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.尤其注意y=f(x)与y=f(-x),y=-f(x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.,
(2)识图,从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.
(3)用图
图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
函数的基本性质
[必备知识]
1.函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法.
2.函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性,判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法.
3.函数的周期性
周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|,最小正数T叫做f(x)的最小正周期.
4.函数的对称性
若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.
若函数f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)或f(x)=-f(2a-x),则函数f(x)关于点(a,0)中心对称.
[题组练透]
1.(2017·南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x∈[2,4]时,f(x)=,则f的值为________.
解析:
因为函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数,所以f=f=f,因为当x∈[2,4]时,f(x)=,所以f=f==log42=.
答案:
2.(2017·盐城期中)若函数f(x)=在区间(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
解析:
函数f(x)=根据反比例函数的性质可知,在区间(-∞,0)上单调递减,要使函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递减,则a≤0.因此函数f(x)=|x+1|在区间(a,+∞)上单调递增,那么a+1≥0,解得a≥-1.所以实数a的取值范围是[-1,0].
答案:
[-1,0]
3.(2017·苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-3,则不等式f(x)≤-5的解集为______________.
解析:
若x<0,则-x>0,
∵当x>0时,f(x)=2x-3,
∴当-x>0时,f(-x)=2-x-3,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=2-x-3=-f(x),
则f(x)=-2-x+3,x<0,
当x>0时,不等式f(x)≤-5等价于2x-3≤-5,
即2x≤-2,无解,不成立;
当x<0时,不等式f(x)≤-5等价于-2-x+3≤-5,即2-x≥8,得-x≥3,即x≤-3;
当x=0时,f(0)=0,不等式f(x)≤-5不成立,
综上,不等式的解为(-∞,-3].
答案:
(-∞,-3]
4.(2017·江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若
f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.
解析:
由f(x)=x3-2x+ex-,
得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数.
又f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,
所以f(x)在其定义域内单调递增.
因为f(a-1)+f(2a2)≤0,
所以f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2),
所以a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,
故实数a的取值范围是.
答案:
[方法归纳]
1.破解函数的单调性的四种方法
数形结合法
对于填空题能画出图象的函数
转化法
由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,(常转化为基本初等函数单调性的判断问题)
导数法
解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数
定义法
抽象函数
2.判断函数的奇偶性的三个技巧
(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称;
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(3)对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.函数性质的应用
可以利用函数的性质确定函数图象,并充分利用已知区间上函数的性质解决问题,体现转化思想.
基本初等函数
[必备知识]
1.指数函数的图象与性质
y=ax(a>0,且a≠1)
a>1
0 图象 性质 定义域: R 值域: (0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; x<0时,0 当x>0时,0 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 2.对数函数的图象与性质 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0 图象 性质 定义域: (0,+∞) 值域: R 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0 当x>1时,y<0; 当0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 3.二次函数的图象和性质 y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 图象 函数性质 定义域 R 值域 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 单调性 x∈时递减, x∈时递增 x∈时递增, x∈时递减 图象特点 对称轴: x=-;顶点: 4.幂函数图象的比较 5.常见幂函数的性质 特征 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R 且x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R 且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0,+∞) 时,增; x∈(-∞,0] 时,减 增 增 x∈(0,+∞)和 (-∞,0)时,减 公共点 (1,1) [题组练透] 1.(2017·南通海安检测)已知幂函数f(x)=xα,其中α∈.则使f(x)为奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________. 解析: 幂函数f(x)为奇函数,则α=-1,1,3,f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,则α的所有值为1,3. 答案: {1,3} 2.(2017·江苏学易联考期末)函数y= 的单调递增区间是__________. 解析: 由题意可得-x2+x+2≥0,解得-1≤x≤2,故函数y= 的定义域为[-1,2].又函数f(x)=-x2+x+2在区间上单调递增,在区间上单调递减,根据复合函数的单调性可得函数y= 的单调递增区间为. 答案: 3.(2017·扬州期中)已知函数f(x)=x(1-a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________. 解析: ∵f(x)=x(1-a|x|)+1 = =(a>0), f(x+a)=(x+a)(1-a|x+a|)+1, 又∵f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立, 在同一直角坐标系中作出满足题意的y=f(x+a)与y=f(x)的图象如图所示: ∴x(1+ax)+1≥(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立, 即x+ax2+1≥-a(x2+2ax+a2)+x+a+1, 整理得: 2x2+2ax+a2-1≥0恒成立, ∴Δ=4a2-4×2×(a2-1)≤0,解得a≥. 答案: [,+∞) 4.(2017·苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为________. 解析: 设C(x0,logax0),则2logaxB=logax0, 即x=x0,解得xB=, 故xC-xB=x0-=2,解得x0=4, 即B(2,2loga2),A(2,3loga2), 由AB=2,可得3loga2-2loga2=2,解得a=. 答案: [方法归纳] 基本初等函数图象与性质的应用技巧 (1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>1和0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. (3)对于幂函数y=xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同. 函数的零点 [必备知识] 1.函数零点的定义 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. 2.确定函数零点的常用方法 (1)解方程法; (2)利用零点存在性定理; (3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解. [题组练透] 1.(2017·苏锡常镇一模)若函数f(x)=则函数y=|f(x)|-的零点个数为________. 解析: 当x≥1时,y=-, 则=,即lnx=x2, 令g(x)=lnx-x2,x≥1,则函数g(x)是连续函数且先增后减, g (1)=-<0,g (2)=ln2->0, g(4)=ln4-2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx-x2,有2个零点. 当x<1时, y= 函数的图象与y=的图象如图, 则两个函数有2个交点, 综上,函数y=|f(x)|-的零点个数为4个. 答案: 4 2.(2017·南通二调)已知函数f(x)=其中m>0.若函数y=f(f(x))-1有3个不同的零点,则m的取值范围是________. 解析: 令f(x)=t,则f(t)=1,所以t=或t=m-1,即f(x)=与f(x)=m-1有3个不同解. 所以即0 答案: (0,1) 3.(2017·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是________. 解析: 由于f(x)∈[0,1),因此只需考虑1≤x<10的情况, 在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=,q,p∈N*,p≥2且p,q互质. 若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质, 因此10=,则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lgx∉Q, 故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等, 只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点. 画出函数草图(如图),图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D的部分, 且x=1处(lgx)′==<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程f(x)-lgx=0的解的个数为8. 答案: 8 [方法归纳] 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 [课时达标训练] 1.(2017·苏锡常镇一模)函数f(x)=的定义域为________. 解析: 由题意得 解得x>且x≠1, 故函数的定义域是. 答案: 2.函数f(x)=ln的值域是________. 解析: 因为|x|≥0,所以|x|+1≥1. 所以0<≤1.所以ln≤0, 即f(x)=ln的值域为(-∞,0]. 答案: (-∞,0] 3.(2017·启东模考)设函数f(x)= 则f(f (2))=________. 解析: 因为f (2)=-4+2=-2,f(-2)=-2-1=3,所以f(f (2))=3. 答案: 3 4.已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g (2)=3,则g(-2)=________. 解析: 由题意可得g (2)==3,则f (2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)===-1. 答案: -1 5.已知函数f(x)=若f (1)+f(a-1)=2,则a的值为________. 解析: 因为f (1)+f(a-1)=2,又f (1)=0,所以f(a-1)=2,当a-1>0,即a>1时,有log2(a-1)=2,解得a=5.当a-1≤0,即a≤1时,有2a-1=2,解得a=2(舍去),所以a=5. 答案: 5 6.(2017·泰州二中模考)函数f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则f(7)=________. 解析: 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f (1)=-(1+2)=-3. 答案: -3 7.(2017·苏州考前模拟)设a=log2,b=log,c=0.3,则a,b,c按从小到大的顺序排列为______________. 解析: 由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0,b>1,0 答案: a 8.(2017·盐城响水中学学情分析)设函数f(x)=lg(x+)是奇函数,则实数m的值为________. 解析: ∵函数f(x)=lg(x+)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即lg(-x+)=-lg(x+), 即lg(-x+)+lg(x+) =lg[(-x+)(x+)] =lg[1+(m-1)x2]=0, 即1+(m-1)x2=1,故m=1. 答案: 1 9.已知在(-1,1)上函数f(x)=若f(x)=-,则x的值为________. 解析: 当-1<x≤0时,由f(x)=sin=-,解得x=-;当0<x<1时,由f(x)=log2(x+1)=-,解得x=-1,不符合题意,舍去,故x的值为-. 答案: - 10.已知f(x)=(a>0且a≠1)满足对任意x1≠x2都有>0,那么实数a的取值范围是________. 解析: 因为任意x1≠x2,都有>0,则f(x)在R上为单调递增函数,则函数y=ax在[1,+∞)和函数y=(a-2)x+1在(-∞,1)上均为单调递增函数,所以⇒a>2. 答案: (2,+∞) 11.(2017·全国卷Ⅰ改编)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是________. 解析: ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∵f (1)=-1,∴f(-1)=-f (1)=1. 故由-1≤f(x-2)≤1, 得f (1)≤f(x-2)≤f(-1). 又f(x)在(-∞,+∞)单调递减, ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3. 答案: [1,3] 12.(2017·浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是________. 解析: ∵x∈[1,4],∴x+∈[4,5], ①当a≤时,f(x)max=|5-a|+a=5-a+a=5,符合题意; ②当a>时,f(x)max=|4-a|+a=2a-4=5, 解得a=(矛盾),故a的取值范围是. 答案: 13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 解析: 依题意,h(x)= 当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数; 当x>2时,h(x)=3-x是减函数, 所以h(x)在x=2时,取得最大值h (2)=1. 答案: 1 14.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________. 解析: 由题意知,可对不等式分x≤0,0 当x≤0时,原不等式为x+1+x+>1,解得x>-,所以- 当0 当x>时,原不等式为2x+2x->1,显然成立. 综上可知,x的取值范围是. 答案: 1.已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是________. 解析: 法一: 根据题意,作出f(x)的大致图象,如图所示. 当x≤1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;当x>1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤2.综上,a的取值范围是. 法二: 关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于-f(x)≤a+≤f(x), 即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立, 令g(x)=-f(x)-. 当x≤1时,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3 =-2-, 当x=时,g(x)max=-; 当x>1时,g(x)=--=-≤-2, 当且仅当=,且x>1,即x=时,“=”成立, 故g(x)max=-2. 综上,g(x)max=-. 令h(x)=f(x)-, 当x≤1时,h(x)=x2-x+3-=x2-+3 =2+, 当x=时,h(x)min=; 当x>1时,h(x)=x+-=+≥2, 当且仅当=,且x>1,即x=2时,“=”成立, 故h(x)min=2. 综上,h(x)min=2. 故a的取值范围为. 答案: 2.已知函数y=与函数y=的图象共有k(k∈N*)个公共点: A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则(xi+yi)=________. 解析: y===2-,易知该函数在R上单调递增,值域为(0,2),且图象关于点(0,1)对称.y==1+,易知该函数在R上单调递减,且图象关于点(0,1)对称.故两函数图象有两个交点,它们关于点(0,1)对称,所以(xi+yi)=2. 答案: 2 3.(2017·扬州考前调研)已知函数f(x)=有两个不相等的零点x1,x2,则+的最大值为________. 解析: 当k=0时,函数f(x)只有一个零点,不合题意;当k>0时,由于-<0,所以函数f(x)在(0,1]上至多有一个零点,在(1,+∞)上没有零点,不合题意;当k=-1时,函数f(x)只有一个零点1,不合题意;当k<-1时,函数f(x)在(0,1]上Δ=4+4k<0,没有零点,不合题意;当-1<k<0时,函数f(x)在(0,1]上的零点为x1=,在(1,+∞)上零点为x2=,符合题意.所以+=-k+,令=t∈(0,1),则k=t2-1,则+=-t2+t+2=-2+≤. 答案: 4.(2017·南通三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 解析: g(x)= 显然当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意; 当x≥a时,令g(x)=0,得x=0, 当x ①若a>0,且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点, 在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-,
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