平行四边形的专题应用.docx
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平行四边形的专题应用.docx
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平行四边形的专题应用
专题平行四边形中的简单证明
、平行四边形的性质
1.
在平行四边形ABCD中,将
ABC沿AC对折,使点B落在B'处,AB'和CD相交于点0,
求证:
0D=0B。
F是AC上两点,且AE=CF求证:
EBFFDE
3.
如图,
在口ABCD勺纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处。
(1)求证:
AE=AF
二、平行四边形的判定
4.如图,在口ABCD中,E,F分别为AD,BC上两点,且BF=DE连AF、CEBE、DF、AF与
BE相交于M点,DF与CE相交于N点,求证:
四边形FMEN为平行四边形。
6.如图所示,已知E为口ABCD中DC边延长线上一点,且CE=DC连AE分别交BC,BD于F,
专题平行四边形中的面积问题
【方法归纳】:
充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题
、方程的思想
1.如图,在口ABCD中,AEBC于E,AFCD于F,已知AE=4,AF=6,口ABCD
若SABCD6,则SABEScdE
二、分类讨论的思想
三、数形结合的思想
于E,F。
图中相等的线段有:
与四边形ABEF周长相等的四边形是过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分,
即S四ABFE
过点P(0,-2)的直线分别交于OA,BC于M、N,且将口OABC的面积分成
相等的两部分,求点M、N的坐标。
专题构造三角形中位线
【方法归纳】:
中点问题的处理方法较多,构造三角形中位线是常用方法之一
、连接两点构造三角形中位线
1.
如图,E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点,试判断四边形EFGH的形状并予
以证明。
2.
如图,在ABC中,B2A,CDAB于D,E、F分别为AB、BC的中点。
求
e
证:
DE=DF。
二、利用角平行线+垂直构造中位线
5•如图,在ABC中,点M为BC的中点,AD为ABC的外角平分线,且ADBD,
若AB=12,AC=18,求MD的长。
平分ABC,且EFBE,求证:
CF=2ME
三、倍长构造三角形中位线
四、取中点构造三角形中位线
&如图,四边形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连BD,若AB=10,CD=8,
C
求MN的取值范围。
9.如图,在ABC中,C90,CA=CB,E、F分别为CA、CB上一点,CE=CF,M、
N分别为AF、BE的中点,求证:
AE=J2MN。
F
E
10.如图,点P为
ABC的边BC的中点,分别以AB、AC为斜边作RtABD和RtACE,
且BAD
CAE,求证:
PD=PE。
专题矩形中的折叠与勾股定理
1
DAE沿DE折叠,
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将
使点A落在BD上的A'处,求AE的长。
2
C与点F重合(E、F
.将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点
均在BD上),折叠分别为BH、DG。
(1)求证:
BHEDGF
(2)若AB=6,BC=8,求FG的长。
点D落在点G处。
为GF=DF,你同意吗?
请说明理由。
(2)
问题解决:
类比探究:
AD
保持
(1)中的条件不变,若DC=2DF,求——的值;
ABAD
保持
(1)中的条件不变,若DC=nDF,直接写出——的值:
AB
专题构造斜边上的中线
【方法归纳】:
遇到直角三角形斜边中点时,往往连斜边上的中线
基本图形:
已知ABD和ABC都是Rt,ADBACB90
基本结论:
图1中,若OA=OB,贝UOA=OB=OD,若OA=OD,贝UOB=OD,若OB=OD,
贝UOA=OD。
图2中,若OA=OB,则OA=OD=OC=OB,图3中,若OA=OB,则OA=OD=OC=OB。
ftjl
S
BDCBEC90,O为BC的中点,
1.如图,BCD和BCE中,
BD,CE交于
A,BAC120,求证:
DE=OE
C
2.如图,在ABC中,BD
C
点,
(1)求证:
MNDE;
AC于D,CEAB于E,点M、N分别是
BC,DE的中
MN
连ME,MD,若A60,求
DE
的值。
3.如图,在ABC中,AB=BC,ABC
90,点E、F分别在AB,AC上,且AE=EF,
点O,M分别为AF,CE的中点,求证:
1
(1)OM=-CE;
(2)OB=72oM
2
屋
fi
专题灵活运用菱形的性质
1.如图,菱形ABCD中,点E为AC上一点,且DEBE
(1)求证:
ADEABE
(2)若DAB60,AD=2j3,求DE的长。
2•如图,将矩形纸片ABCD折叠,使顶点B落在边AD上的一点,折痕的一段G点在边
BC上,另一端F在AD上,AB=8,BG=10.
(1)求证:
四边形BGEF为菱形;
3.如图,四边形ABCD与四边形AECF都是菱形,点EF在BD上,已知BAD120,
AB
EAF30,求-的值。
专题灵活运用菱形的判定
2.如图,在ABC中,AD是边BC上的中线,AE//BC,DE//AB,DE与AC交于点O,
连CE.
(1)求证:
AD=EC;
(2)若BAC90,求证:
四边形ADCE是菱形。
3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F
(1)求证:
AFDCFE
(2)若AB//CD,试证明四边形ABCD是菱形;
(3)在
(2)的条件下,试确定E点的位置,使EFDBCD,并说明理由。
4.如图,点E为AB上一点,以AE、BE为边在AB同侧作等边AED和等边BEC,
点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点。
(1)判断四边形PNMQ的形状,并证明;
专题正方形中的简单证明
【方法归纳】:
运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置
关系的证明。
1.如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,M、N分别在OA、OB上,且
0M=0N。
(1)求证:
①BM=CN:
②CNBM
(2)若M、N分别在0A、0B的延长线上,则
(1)中的两个结论仍成立吗?
请说明理
由。
2.如图,E是正方形ABCD中AD边上的中点,BD,CE相交于点F。
(3)求证:
AFBE
(4)过F作FG//BE交BC于G,求证:
FG=FC。
3.如图,已知正方形ABCD,点P在对角线
BD上,PEPA交BC于E,PFBC,
垂足为F点。
(1)求证:
PECBAP
(2)求证:
EF=FC;
(3)求证:
DP=J2cF;
flEF<■
4.正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点
A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋
转,
记旋转角DAG,其中0
180,连DF、BF,如图。
(1)
若0,贝yDF=BF,请加以证明;
(2)
试画出一个图形(即反例),说明
(1)中命题的逆命题是假命题;
对于
(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接
写出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由。
专题中点四边形
1•如图,求证:
四边形EFGH为平行四边形。
证:
四边形EFGH是菱形。
6.如图,CA=CB,CD=CE,ACBDCE90,M、N、G、H分别为AE、AB、BD、
【方法归纳】:
利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标。
E、
基本图形:
已知正方形ABCD,过B、D两点分别向过点C的直线作垂线,垂足分别为
F,贝UBCECDF
一、利用垂直且相等构造全等求坐标
(1)求点C的坐标;
(2)求CE的长。
r/J
二、利用面积法求点的坐标
4.如图,A(-3,4),四边形OABC为正方形,AB交y轴于D。
(1)求点B的坐标;
(2)求点D的坐标。
专题正方形中的动态问题
【方法归纳】:
抓住图形之间的联系,辅助线及解题思路的类似性来解题。
交直线AB于G,交直线CD于H。
(1)求证:
BG=CH-BE;
来“日-V*R数量天系。
BE、EF、FD之间的数量关系。
你利用图1证明上述结论。
关系时,仍有EF=BE+FD。
之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长。
【方法归纳】处理问题的关键是急用条件构造等腰直角三角形
基本图形:
作垂线可证)
作垂线可证)
1.如图,在正方形ABCD中,E为AC上一点,F为CD上一点,ED=EF,
求证:
(1)df=J2ae;
(2)bf=J2ef;(3)cb+cf=J2ce。
2.如图,点O为正方形ABCD的对角线的交点,E为正方形外一点,且AEBE
F
3.如图,若上题中的E点在正方形内部,其它条件不变,
(1)求OEB的度数;
(2)试探究EA、EB、OE之间的数量关系。
4.如图,若点E为正方形ABCD外一点,BEC45,连AE,
(1)求AEB的度数;
(2)求证:
AE+CE=72bE。
专题正方形中的貶问题
(二)综合探究
1.如图,在正方形ABCD中,M为BD上一点,N为BC上一点,AM=MN,NPBD于
P。
(1)
求证:
AM
MN
1
(2)
求证:
MP=-
2
BD
(3)
试探究:
:
AB、
BN、
BM之间的数量关系。
2.如图,点O为正方形ABCD的对角线的交点,点E、F分别在DA、CD的延长线上,且
AE=DF,连BE,AF。
延长FA交BE于G
(1)求证:
FGBE
(2)连OG,求OGF的度数;
(3)若AE=45,AB=2j5,求OG的长。
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- 平行四边形 专题 应用