青岛版五年制五年级上册数学期末复习全册单元知识点总结.docx
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青岛版五年制五年级上册数学期末复习全册单元知识点总结
一 走进军营——方向与位置
一、用数对表示物体的位置
1.行和列
行和列的意义:
确定位置时,竖排叫作列,横排叫作行。
确定第几列一般从左向右数,依次为第1列、第2列、第3列……依此类推。
确定第几行一般从前往后数,依次为第1行、第2行、第3行……依此类推。
2.用行、列描述物体的位置
用行、列描述物体的位置时,要先描述列,再描述行。
如,小强站在第3列第2行的位置。
3.用数对表示行与列
(1)通常情况下,用两个数组成的数对表示行与列比较简明准确。
数对中前面的数表示第几列,后面的数表示第几行。
(2)数对的写法:
先写列数,再写行数,中间用逗号隔开,最后用小括号将它们括起来。
如小强站在第3列第2行的位置,可以用数对(3,2)表示。
4.用数对表示物体位置的方法
先找到物体,再数出物体所在的列数与行数,最后用数对表示。
5.根据数对确定物体的位置
首先看数对的两个数表示哪一列哪一行,然后找到列和行的交叉点处,就是物体所在的位置。
二、根据方向和距离确定物体的位置,并描述简单的路线图
1.根据方向和距离确定物体的位置
(1)方向描述
确定现实空间中物体的方向,或平面图上物体的方向时,一般以南、北为主方向,用北偏东(西)或南偏东(西)多少度描述。
东北方向就叫作北偏东多少度;西北方向就叫作北偏西多少度;东南方向就叫作南偏东多少度;西南方向就叫作南偏西多少度。
(2)比例尺
图上距离1厘米表示实际距离的10千米。
(3)距离描述
在平面图上确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从前往右数。
如果两个数对的第一个数相同,说明两个物体在同一列上;如果两个数对的第二个数相同,说明两个物体在同一行上。
提醒:
在叙述方向角度时,要先确定所在的大致方向区域。
叙述时先说角度一边的正方向,再描述向另一方向偏离多少度。
在确定图上距离或实际距离时,一定要用直尺进行测量,然后依据比例尺进行换算,不可以不测量就进行估计。
确定平面图上物体的距离时,要用直尺量出两观测点之间的图上距离,再根据的比例尺计算出实际距离。
(4)把方向和距离结合起来描述位置时,要注意三个要素:
一是观测点,二是方向,三是距离。
把方向和距离结合起来确定位置,既可用来确定现实空间中物体的位置,又可用来确定平面图上物体的位置。
根据方向和距离描述物体位置的方法:
①确定好主方向,用量角器量出被观测点和观测点的连线与主方向的夹角的度数;
②用直尺量出被观测点到观测点的图上距离,计算出实际距离;
③根据测量的角度和计算出的距离,准确描述被观测点的位置。
技巧:
确定物体的位置,一要找准方向;二要确定角度;三要算清实际距离。
2.描述简单的路线图
描述路线图的方法:
(1)根据方向标示弄清路线图的各个方向;
(2)根据比例尺和测得的图上距离求出相应的实际距离;
(3)以某一地点为起点,描述从哪儿按什么方向走,走多远到哪儿;
(4)再以下一地点为起点继续描述。
3.在平面图上绘制物体的位置
(1)确定平面图中的东、南、西、北方向;
(2)确定方向并用量角器画出物体的准确方向;
(3)根据比例尺求出图上距离;
(4)以观测点为起点,在方向线上用三角板定出物体与出发点之间的图上距离,标出物体的位置;
(5)在图上标示出角度和物体的名称。
用方向和距离描述物体的位置时,一定要先说物体,再说观测点,然后说方向,最后说距离。
如红军阵地在指挥部北偏西50°方向10千米处。
描述路线时,要注意观测点是变化的。
描述路线有三看:
一看起点在哪里;二看方向偏向哪里;三看路程走了多远。
绘制物体的位置时,一般先确定角度,再确定图上的距离。
标注物体的位置和方向时,要根据观测点按照物体所在方位和与观测点的距离来标。
二 关注环境——分数加减法
(二)
一、通分
1.异分母分数
分母不相同的分数,或者说分数单位不相同的分数,叫作异分母分数。
2.通分
把异分母分数分别化成与原来分数相等的同分母分数的过程,叫作通分。
通分的依据是分数的基本性质。
3.公分母
通分时,相同的分母叫作这几个分数的公分母。
求两个分数的公分母时,先分别找出这两个分数的分母,再找出这两个分母的公倍数作为公分母。
4.通分的方法
通分的一般方法是先求出原来几个分母的最小公倍数,再把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
(1)几个分数的分母只有公因数1时,几个分母的乘积就是这几个分数的公分母。
(2)几个分数的分母成倍数关系时,其中较大的分母就是这几个分数的公分母。
(3)几个分数的分母没有关系,除了公因数1外,还有其他公因数的,此时,分母的最小公倍数就是这几个分数的公分母。
(4)通分时,看原来分数的分母变成公分母要乘几,分子就乘相同的数。
5.比较异分母分数大小的方法
分子和分母都不同,先通分,再按分母相同的分数比较大小的方法来比较;也可以求分子的最小公倍数,先使分子相同,再按分子相同比较大小的方法来比较。
二、异分母分数的加法、减法
1.异分母分数的加法
要让两个分母不同的分数相加,首先要把它们转化为分母相同的分数,然后让分子相加,而分母不变。
异分母分数加法的计算法则:
异分母分数相加,先通分,化成同分母分数,再按照同分母分数加法的计算方法进行计算,要把计算结果化成最简分数。
2.异分母分数的减法
同异分母分数的加法一样,异分母分数的减法,首先要将分数换算成同分母的分数,即通分使两个分数的分数单位相同,然后让分子相减,分母不变。
易错点:
忘记分子和分母要同时乘相同的数。
通分时,先以原来分母的最小公倍数为公分母,再看原来分数的分母变成公分母要乘几,分子也要乘相同的数。
记住常见的几种找公分母的方法,可以快捷的完成通分。
异分母分数相加减,先通分的目的是把分数化成分数单位相同的分数,否则分数单位不同,不能直接进行加减。
巧记规律:
分数加减法的计算法则
分数加减很简单,
统一单位是关键。
同分母分数相加减,
只把分子相加减,
分母大小不改变。
异分母分数相加减,
先通分来后计算。
异分母分数减法的计算法则:
异分母分数相减,先通分,化成同分母分数,再按照同分母分数减法的计算方法进行计算,计算结果要化成最简分数。
三、异分母分数连加、连减、加减混合运算
1.异分母分数连加的计算方法
异分母分数连加,可以按照从左往右的顺序依次相加,也可以将所有的分数一次性通分,再相加。
最后要把计算结果化成最简分数。
2.异分母分数连减、加减混合运算
(1)异分母分数连减,按照从左往右的顺序依次计算。
几个分数可以一次性通分计算,也可以分步通分、分步计算。
(2)分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
3.分数加减混合运算的简便计算
整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。
运用加法的运算定律能够快速、合理、巧妙地使一些计算简便。
①加法交换律:
两个分数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
②加法结合律:
三个分数相加,先把前两个分数相加,再与第三个分数相加,或者先把后两个分数相加,再与第一个分数相加,它们的和不变。
③减法的性质:
一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。
在进行分数加减法的简便计算时,通常要先观察有没有相同分母的分数,如果有则要运用运算定律把同分母的分数移到一起先计算。
移动的口诀是“带符号搬家”。
三 包装盒——长方体和正方体
一、长方体和正方体
1.长方体的特征
(1)两个面相交的线叫作棱,三条棱相交的点叫作顶点。
(2)长方体有6个面,并且每个面都是长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形)。
(3)长方体有12条棱,相对的4条棱的长度相等。
(4)长方体有8个顶点。
(5)从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面。
相交于一个顶点的三条棱的长度,分别叫作长方体的长、宽、高。
长方体的棱长之和=长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4
2.正方体的特征
(1)正方体有6个面,它们是完全相同的正方形。
(2)正方体有12条棱,所有棱的长度都相等。
(3)正方体有8个顶点。
公式:
正方体的棱长之和=棱长×12
正方体的棱长=正方体的棱长之和÷12
二、长方体和正方体的表面积
1.长方体的表面积
长方体6个面的总面积,叫作它的表面积。
长方体有6个面,且相对的两个面完全相同。
从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,只要计算出这三个面的面积,就能算出长方体的表面积。
公式:
长方体前、后每个面的面积=长×高
长方体上、下每个面的面积=长×宽
长方体左、右每个面的面积=宽×高
长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2=(长×宽+宽×高+长×高)×2
2.正方体的表面积
(1)正方体6个面的总面积,叫作它的表面积。
(2)正方体6个面是完全相同的正方形,只要计算出一个面的面积,乘6就可算出正方体的表面积。
公式:
正方体的表面积=棱长×棱长×6
长方体的6个面中,相对的两个面完全相同。
正方体是特殊的长方体。
计算长方体某个面的面积时,注意根据相对的4条棱的长度相等,把长方体的长、宽、高对应到要计算的面上。
对于看不到的面要利用“相对的两个面完全相同”转化到能看到的面上。
简记长方体表面积公式:
长、宽、高交叉相乘再相加,最后加括号乘2。
无论是计算长方体的表面积或计算正方体的表面积,都要根据实际情况进行计算,注意面的个数是几个。
三、体积、容积单位及进率
1.体积、体积单位间的进率
(1)体积的意义:
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
(2)体积单位:
常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别为cm3,dm3,m3。
①棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米。
如,一个手指尖的体积大约是1立方厘米,1粒花生米的体积大约是1立方厘米。
②棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米。
如,一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。
③棱长为1米的正方体,体积是1立方米。
如,装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米。
(3)体积单位之间的进率。
计量一个物体的体积,要看这个物体含有多少个“体积单位”。
1分米=10厘米,两个正方体的棱长相等,体积就相等。
棱长是10厘米的正方体里有10×10×10=1000(个)棱长为1厘米的正方体,棱长是10厘米的正方体,体积是1000立方厘米。
1立方分米=1000立方厘米
用同样的方法可推出:
1立方米=1000立方分米
2.容积及容积单位之间的进率
(1)容积的意义:
容器所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。
(2)容积单位有升和毫升,分别用字母L和mL表示。
计量物体的大小一般用体积单位,计量液体的体积常用容积单位。
(3)
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升。
四、长方体和正方体的体积
1.长方体、正方体的体积公式
所有的物体都占有一定的空间。
立方厘米、立方分米、立方米,都是计量物体体积的单位,在计量一个物体的体积是多少时,就是看被测量的物体包含多少个什么样的体积单位,从而知道物体的体积是多少。
用棱长是1厘米的小正方体拼图形,用了几个小正方体,拼成的图形的体积就是几立方厘米。
大单位化小单位乘进率;小单位化大单位,除以进率。
在填合适的单位时,先看该物体装的是液体还是固体,液体用容积单位,固体用体积单位,再看该物体的大小,大则用升或立方米作单位,小则用毫升或立方厘米作单位。
长方体的体积=长×宽×高,用字母表示:
V=abh。
正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示:
V=a·a·a=a3。
(1)也可以把a·a·a写作“a3”,读作“a的立方”,表示3个a相乘。
正方体的体积公式一般写成:
V=a3。
(2)长方体和正方体底面的面积叫作它们的底面积。
用S表示底面积,V表示体积,h表示高,则:
长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示:
V=Sh。
2.长方体、正方体体积公式的变形
长方体的高=体积÷(长×宽),即h=V÷(a×b)。
长方体的宽=体积÷(长×高),即b=V÷(a×h)。
长方体的长=体积÷(宽×高),即a=V÷(b×h)。
3.长方体、正方体容器的容积计算
长方体或正方体容器的容积计算方法与体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。
4.等体积变化问题
生活中经常遇到一些物体(固体或液体)的形状发生了变化。
但在变化的过程中,体积是没有变化的。
五、测量不规则物体的体积
1.用排水法可以测量不规则物体的体积,放入不规则物体(被完全淹没)后水面上升,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
2.拿出放入水中的不规则物体(被完全淹没)水面下降,下降的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
已知长方体(正方体)的长、宽、高(棱长),就可以直接运用长方体(正方体)的体积公式进行计算。
在解答形状变化问题时,要抓住体积不变这个关键点进行解答。
用排水法测量不规则物体的体积时,根据水的体积不变,而物体占用了水的空间,则排出水的体积就等于物体占水的空间,即物体的体积。
四 小手艺展示——分数乘法
一、分数乘法的意义
1.分数乘整数的意义:
求几个相同加数(分数)和的简便运算。
2.一个数乘分数的意义:
表示求这个数的几分之几是多少。
例如:
6×
表示求6的
是多少。
×
表示求
的
是多少。
二、分数乘法的计算法则
1.分数乘整数的计算方法:
分子与整数相乘,分母不变。
例如:
6×
=
=
2.分数乘分数的计算方法:
用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
例如:
×
=
=
三、分数乘法的特点
比较积和因数的大小:
(1)一个数(0除外)乘比1大的数,积就大于这个数。
(2)一个数(0除外)乘比1小的数,积就小于这个数。
(3)一个数(0除外)乘1,积就等于这个数。
四、倒数
1.倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
倒数表示两个数之间的关系,这两个数是相互依存的,不能单独存在。
2.求一个数倒数的方法。
(1)求一个数的倒数(0除外),就是把这个数的分子、分母交换位置。
(2)求小数的倒数的方法:
把小数化为分数后再交换分子、分母的位置。
3.1的倒数是1,0没有倒数。
4.真分数的倒数一定大于1,假分数的倒数小于或等于1,一个非0自然数的倒数一定小于1。
五、解决实际中的分数乘法问题
1.分数应用题的一般解题步骤。
(1)找出含有分率的关键句。
(2)找出单位“1”的量。
例如:
×3,表示求3个
相加的和是多少。
注意:
得到的结果要化成最简分数。
分数乘整数时,可以把分数看作分母是1的假分数,进行约分计算。
分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。
如
、
都叫作最简分数。
0与任何数相乘的积都等于0。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
找单位“1”的量:
在含有分数(分率)的语句中,感悟哪个是整体,把谁给平均分了,分率前面对应的量就是单位“1”对应的量,找关键词“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。
(3)根据线段图写出等量关系式:
单位“1”的量×对应分率=对应量。
(4)根据已知条件和问题列式解答。
2.分数的连乘。
解决分数连乘时,先找出具体的数量,一般是单位“1”,再看比较量与单位“1”的关系,确定另一个单位“1”;最后根据第三种量与单位“1”的关系计算。
注:
可以通过画图的方法找到单位“1”。
画图时,先找出单位“1”,再把单位“1”平均分成和分母相同的份数,最后把分子的份数表示出来。
如公牛有30头,母牛的头数相当于公牛的
小牛的头数相当于母牛的
小牛有多少头?
要求小牛的头数,就要知道母牛的数量。
母牛的头数又和公牛的头数有关,先画一条线段,表示公牛的头数;再画一条线段,表示母牛的头数;根据小牛和母牛的关系,画出表示小牛的头数。
可得:
小牛的头数=公牛头数×
×
。
线段图是分析问题的最佳方法,先确定第一个单位“1”,根据第一个单位“1”确定第二个单位“1”,再表示出未知量。
线段图可以直观表示出数量关系。
五 摸球游戏——可能性
一、有些事情的发生是确定的,有些是不确定的
可能性
二、事件发生的机会(或概率)有大小
可能性
三、客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”;客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是1”;当可能性是相等的时候,用数据表述是“2”
四、典例
思路分析:
(1)任意摸出一个球,有两种结果,摸到白球的可能性小。
(2)任意摸出两个球,有三种结果:
2蓝,2白,1蓝1白。
答案:
(1)有
(2)种结果;摸到(白)球的可能性小。
(2)任意摸出两个球,有三种结果。
画图表示如下:
有些事件发生的结果可以预测,有些不可以预测。
事件发生的可能性是有大有小的,可能性的大小与事件的基础条件及发展过程等许多因素有关。
本题考查的是可能性大小的判断,解决这类题目要注意具体情况具体分析。
六 布艺兴趣小组——分数除法
一、分数除法
1.分数除法的意义与整数除法的意义相同:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
2.一个数除以不为0的数等于乘这个数的倒数。
3.比较商与被除数的大小。
除数小于1(0除外),商大于被除数;
除数等于1,商等于被除数;
除数大于1,商小于被除数。
4.分数四则混合运算的运算顺序。
(1)先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的,同级运算按从左到右的顺序计算;
(2)分数连除运算可转化成连乘运算,能约分的先约分,再计算;
(3)在进行分数运算时,运用运算律可以使计算简便。
5.运用分数除法解决问题。
知识点一:
“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题的解法。
方程解法:
找出单位“1”,设未知量为x;找出题中的数量关系;列出方程。
算术法:
(1)找出单位“1”;
(2)找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几;
(3)列除法算式,即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
知识点二:
“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的问题。
解题方法:
(1)用方程解:
把一个数设为未知量x,根据题目中的数量关系列出方程。
(2)算术法解:
把一个数看作单位“1”,先计算出已知量占单位“1”的几分之几,已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
知识点一、二总结:
(1)找单位“1”的关键词。
(2)单位“1”已知用乘法,单位“1”未知用除法。
知识点三:
“已知一个数是另一个数的几分之几与这两个数的和,求这两个数”的问题的解法。
解题方法:
(1)用方程解:
找到题中数量间的等量关系,设单位“1”的量为x,列出方程。
(2)用算术法解:
找到题中的单位“1”,计算出两个数的和占单位“1”的几分之几,两个数的和÷两个数的和占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
分数除法算式中出现小数时要先化成分数、假分数,再计算。
在进行分数运算时,可运用运算律使计算简便。
解决分数除法问题的关键是找准单位“1”,求单位“1”时用具体的数除以它所占的分率,得出的就是比较量。
基本的数量关系:
比较量÷标准量=分率。
用方程解决问题时,未知量用x代替,参与列式。
基本的数量关系:
分率对应的比较量÷分率=标准量。
用方程解与用算术法解题的不同点:
用方程解,未知量参与列式;用算术法解,未知量不参与列式。
基本的数量关系:
两个数的和÷(1+一个数是另一个数的几分之几)=另一个数
知识点四:
工程问题。
解决工程合修天数问题的方法:
一设:
设这项工程为具体的数量或者单位“1”;
二列:
根据“工作总量÷两队工作效率之和=工作时间”列式;
三算:
计算并验算写答。
二、典例讲解
例1 学校组织爬山活动,小明上山平均每小时走2.4千米。
原路返回时,下山平均每小时走3.5千米。
小明上山、下山的平均速度是多少?
思路分析:
把路程看作单位“1”,那么小明上山用了1÷2.4=
(时),下山用了1÷3.5=
(时)。
根据平均速度的公式:
(上山路程+下山路程)÷(上山时间+下山时间)=平均速度。
答案:
(1+1)÷(
+
)=
(千米)
答:
小明上山、下山的平均速度是
千米。
例2 一批货物,第一次运走总数的
第二次运走总数的
还剩下143吨。
这批货物共有多少吨?
思路分析:
量、率的对应关系:
货物的总质量
“1”,第一次运走的质量
;第二次运走的质量
;两次共运走的质量
+
;还剩下143吨
1-
-
。
答案:
143÷(1-
-
)
=143÷
=260(吨)
答:
这批货物共有260吨。
解决工程问题,把工作总量看作单位“1”,然后按照份数计算。
把上山和下山的总路程看作单位“1”,来回的路程就是1+1=2,除以时间和就是平均速度。
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节。
根据应用题的已知条件发挥联想,找出各种量、率间接的对应关系,为正确解题铺平道路。
七 人体的奥秘——比
一、比值的意义
1.比中,比号(∶)前面的数叫作前项,比号后面的项叫作后项,比号相当于除号。
2.比的前项除以后项的商叫作比值,比值通常用分数、小数和整数表示。
3.求几个数的连比的方法。
如已知甲数与乙数的比是5∶6,乙数与丙数的比是8∶7,求甲、乙、丙三个数的连比。
化简:
20∶24∶21
4.比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
12∶20读作:
12比20
比和比值的区别:
比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数或小数。
5.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
6.化简比:
化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)化简整数比:
找前项和后项的最大公因数,前项、后项同时除以最大公因数,化成最简整数比。
(2)化简分数比:
找前项和后项分母的最小公倍数,前项、后项同时乘最小公倍数,再化成最简整数比。
(3)化简小数比:
把小数转化成整数,再化简整数比。
(4)整数和整数的比:
前、后项除以它们的最大公因数。
(5)整数和分数的比:
前、后项乘分母,再化简。
(6)整数和小数的比:
先把前、后项化成整数,再化简。
(7)小数和分数的比:
把小数化成分数,再按分数与分数的比化简,或者把分数化成小数,再按小数和小数的比来化简。
求比值:
把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比。
7.比和除法、分数的区别:
用语言描述:
比的前项相当于除法的被除数,相当于分数的分子;比号相当于除号,相当于分数线;比的后项相当于除法的除数,相当于分数的分母;比值相当于除法的商,相当于分数
两个数相除又叫作两个数的比。
比的后项不能为0。
连比时,先求出表示相同量的两个数的最小公倍数,再根据比的基本性质计算出表示另外两种量的数,最后把几种量的比化简成最简整
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- 青岛 版五年制五 年级 上册 数学 期末 复习 单元 知识点 总结