届高三数学下第二次月考试题武城县文附答案.docx
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届高三数学下第二次月考试题武城县文附答案
2017届高三数学下第二次月考试题(武城县文附答案)
高三年级下学期第二次月考
数学()试题
一、选择题(共10小题,每小题分,满分0分)
1.已知i为虚数单位,a为正实数,若||=2,则a=( )
A.1B.2.D.
2.已知全集U=R,集合A={﹣1,1,3,},集合B={x∈R|x≤2},则图中阴影部分表示的集合( )A.{﹣1,1}B.{3,}.{﹣1,1}D.{﹣1,1}
3.若命题p:
∀x∈(0,+∞),x+>2,命题q:
∃x0∈R,2x0<0,则下列为真命题的是( )
A.p∧qB.¬p∨q
.p∨qD.¬p∧q
4.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )
A.a=3B.a=4
.a=D.a=6
.将函数f(x)=sin(2x+θ)(﹣<θ<)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,),则φ的值可以是( )
A.B..D.
6.甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示,甲、乙分别表示甲、乙两人的平均得分,则下列判断正确的是( )
A.甲>乙,甲比乙得分稳定
B.甲>乙,乙比甲得分稳定
.甲<乙,甲比乙得分稳定
D.甲<乙,乙比甲得分稳定
7.已知变量x、满足的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,则实数=( )
A.B..0D.0或﹣
8.已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},若对任意的x都有f(x)+f(﹣x)=0,当x>0时,f(x)=lg2x,则不等式f(x)>1的解集为( )
A.(2,+∞)B.(1,+∞)
.(,0)∪(2,+∞)D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
9.设F1、F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P,使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.=±xB.=±x.=±xD.=±x
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+,给出下列结论:
①函数f(x)与x轴一定存在交点;
②当a2﹣3b>0时,函数f(x)既有极大值也有极小值;
③若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(﹣∞,x0)单调递减;
④若f′(x0)=0,则x0是f(x)的极值点.
其中确结论的个数为( )
A.1B.2.3D.4
二、填空题:
本大题共有个小题,每小题分,共2分,把正确答案填在答题卡的相应位置.
11.在区间[﹣2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤的概率为,则实数= .
12.一空间几何体的三视图如图所示,
则该几何体的体积为 .
13.在△AB中,|+|=|﹣|,AB=2,A=1,E,F为B的三等分点,则•= .
14.若一个圆的圆心为抛物线=x2的焦点,且此圆与直线3x+4﹣1=0相切,则该圆的方程是 .
1.给定in{a,b}=,已知函数f(x)=in{x,x2﹣4x+4}+4,若动直线=与函数=f(x)的图象有3个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的范围为 .
三、解答题:
本大题共6个小题,共7分,解答时要求写出必要的字说明、证明过稈或推理步驟
16.为了调查某区中学教师的工资水平,用分层抽样的方法从初级、中级、高级三个职称系列的相关教师中抽取若干人,有关数据见下表:
职称类型相关人数抽取人数
初级27x
中级99
高级182
(1)求x,值;
(2)若从抽取的初级和高级教师中任选2人,求这2人都是初级教师的概率.
17.在△AB中,角A、B、的对边分别为a、b、,且.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=3,sin=2sinB,求b、的值.
18.如图,在四棱锥P﹣ABD中,底面为矩形,平面PD丄平面ABD,P丄PD,PD=AD,E为PA的中点.
(1)求证:
P∥平面BDE.
(2)求证DE丄平面PA.
19.若数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有2an﹣Sn=4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(﹣1)n•,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.设函数f(x)=lnx﹣ax2﹣bx.
(1)当a=,b=时,求函数f(x)的单调区间;
(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x<3),其图象上任意一点P(x0,0)处切线的斜率≤恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0,b=﹣1时,方程f(x)=x在区间[1,e2]内恰有两个实数解,求实数的取值范围.
21.已知椭圆:
+=1,(a>b>0)的离心率为,且经过点P(0,﹣1).
(1)求椭圆的方程;
(2)如果过点Q(0,)的直线与椭圆交于A,B两点(A,B点与P点不重合).
①求•的值;
②当△PAB为等腰直角三角形时,求直线AB的方程.
高三年级下学期第二次月考
数学()试题答案
1.【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】根据查复数的基本概念,的计算即可求出.
【解答】解:
i为虚数单位,a为正实数,
||=|﹣1﹣ai|═|1+ai|=2,
∴1+a2=4,
解得a=,
故选:
.
2.【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断.
【解答】解:
由Venn图可知,阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成,所以用集合表示为A∩(ͦUB).
∵集合A={﹣1,1,3,},集合B={x∈R|x≤2},
∴ͦUB={x|x>2},
则A∩(ͦUB={3,}
故选:
B.
3.【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假即可.
【解答】解:
命题p:
∀x∈(0,+∞),x+>2是假命题,
命题q:
∃x0∈R,2x0<0是真命题,
故¬p∧q是真命题,
故选:
D.
4.【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,的值,当S=,=4时,由题意此时满足条4>a,退出循环,输出S的值为,结合选项即可得解.
【解答】解:
模拟执行程序,可得
S=1,=1
不满足条>a,S=,=2
不满足条>a,S=,=3
不满足条>a,S=,=4
由题意,此时满足条4>a,退出循环,输出S的值为,
故选:
A.
.【考点】正弦函数的图象.
【分析】由条利用函数=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得θ的值,可得φ的值.
【解答】解:
将函数f(x)=sin(2x+θ)(﹣<θ<)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x﹣2φ+θ)的图象,
若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,),则sinθ=,∴θ=,
再根据sin(﹣2φ+θ)=sin(﹣2φ+)=,
则φ的值可以是,
故选:
B.
6.【考点】茎叶图.
【分析】由茎叶图,得出场比赛甲、乙的得分,再计算平均数与方差,即可得到结论.
【解答】解:
7场比赛甲的得分为11、16、23、37、39、42、48,
7场比赛乙的得分为1、26、28、30、33、34、44,
∴=(11+16+23+37+39+42+48)≈3086,
=(1+26+28+30+33+34+44)=30,
通过比较数据的波动情况,得:
<
∴>,乙比甲得分稳定.
故选:
B.
7.【考点】简单线性规划.
【分析】由题意结合不等式组表示的平面区域是一个直角三角形画出过定点(0,1)的直线x﹣+1=0,由此可确定其斜率的值.
【解答】解:
由约束条作出可行域如图,
直线x﹣+1=0过定点B(0,1),
∵不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,
∴当=0时,平面区域为直角三角形B及其内部区域;
当=﹣时,平面区域为直角三角形AB及其内部区域.
∴的值应为0或﹣.
故选:
D.
8.【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】首先令x<0,则﹣x>0,根据函数f(x)为奇函数,求出f(x)的解析式;又f(0)=0,故f(x)在R上的解析式即可求出,然后分x>0和x<0两种情况分别求出不等式f(x)>1的解集,最后求其并集即可.
【解答】解:
∵f(x)+f(﹣x)=0,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
当x<0时,﹣x>0时,f(﹣x)=lg2(﹣x)=﹣f(x),
即f(x)=﹣lg2(﹣x),
当x=0时,f(0)=0,
∴f(x)=;
①当x>0时,由lg2x>1,解得x>2,
②当x<0时,由﹣lg2(﹣x)>1,解得x>﹣,
综上,得x>2或x>﹣,
故不等式f(x)>1的解集为:
(,0)∪(2,+∞).
故选:
.
9.【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线的定义可得,||PF1|﹣|PF2||=2a,两边平方,再由条,即可得到a,b的关系,即可求得双曲线的渐近线方程.
【解答】解:
由双曲线的定义可得,||PF1|﹣|PF2||=2a,
由|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,
则有(|PF1|+|PF2|)2﹣4|PF1|•|PF2|=9b2﹣9ab=4a2,
即有(3b﹣4a)(3b+a)=0,
即有3b=4a,
所以该双曲线的渐近线方程为=±x.
故选:
A.
10.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】根据函数的单调性判断①③,根据导函数的根的情况判断②,特殊值法判断④.
【解答】解:
函数f(x)=x3+ax2+bx+,f′(x)=3x2+2ax+b,△=4(a2﹣3b),
若△≤0,则f(x)单调递增或单调递减,若△>0,f(x)可能递减、递增、递减,或递增、递减、递增;
①函数f(x)与x轴一定存在交点;①正确;
②当a2﹣3b>0时,即△>0,函数f(x)既有极大值也有极小值;②正确;
③若x0是f(x)的极小值点,可能f(x)递减、递增、递减,则f(x)在区间(﹣∞,x0)不一定单调递减;③错误;
④若f′(x0)=0,则x0是f(x)的极值点;④错误,比如a=b==0时,f(x)=x3,f(0)=0,却不是极值点;
故选:
B.
11.【考点】几何概型.
【分析】根据几何概型的概率公式建立方程关系进行求解即可.
【解答】解:
若x满足|x|≤的概率为,则>0,
且﹣≤x≤,
则对应的概率P=,
则=1,
故答案为:
1.
12【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体:
上面是半球、下面是圆锥,由三视图求出几何元素的长度,由球体、锥体的体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:
根据三视图可知几何体是一个组合体:
上面是半球、下面是圆锥,且球的半径为1;圆锥的底面半径为1、高为4,
∴几何体的体积V=
=,
故答案为:
2π.,
13.【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意,得到三角形为直角三角形,由、求出,,即可求出•的值.
【解答】解:
由于在△AB中,|+|=|﹣|,
则∠BA=90°,
由于E,F为B的三等分点,
则=﹣,=,,
又有=,=,
则=,=,
又由AB=2,A=1,
故•==
故答案为:
.
14.【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线的焦点确定圆心为(0,﹣1);由于圆与直线相切,圆心到直线3x+4﹣1=0的距离等于半径,根据点与直线的距离公式确定圆的半径,从而确定出圆的方程
【解答】解:
抛物线=x2,可化为x2=﹣4,所以焦点坐标为(0,﹣1),
则圆心坐标为(0,﹣1);
又圆与已知直线3x+4﹣1=0相切,则圆心到直线的距离d=r=,
所以圆的标准方程为x2+(+1)2=1,
故答案为:
x2+(+1)2=1.
1.【考点】函数的图象.
【分析】画出函数f(x)的图象以及直线=的图象,根据条数形结合求得的范围.
【解答】解:
设g(x)=in{x,x2﹣4x+4},则f(x)=g(x)+4,
故把g(x)的图象向上平移4各单位,
可得f(x)的图象,
函数f(x)=in{x,x2﹣4x+4}+4的图象如图所示:
由于直线=与函数=f(x)的图象有3个交点,
数形结合可得的范围为(4,).
故答案为:
(4,).
16【考点】列举法计算基本事数及事发生的概率;频率分布表.
【分析】
(1)根据频率=,由已知条能求出x,.
(2)记从高中初级教师中抽取的3人为b1,b2,b3,从高中教师中抽取的2人为1,2,先求出从这两个系列中抽取的人中选2人的基本事总数,再由列举法求出抽取的这2人都是初级教师包含的基本事个数,由此能求出抽取的这2人都是初级教师的概率.
【解答】解:
(1)由题意,根据频率=,得=,
解得x=3,=11.……………………………………………………4分
(2)记从高中初级教师中抽取的3人为b1,b2,b3,
从高中教师中抽取的2人为1,2,
则从这两个系列中抽取的人中选2人的基本事有,共3个……………………8分
抽取的这2人都是初级教师包含的基本事有:
{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共3个,………………………………11分
∴抽取的这2人都是初级教师的概率p=.…………………………12分
17.【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由已知及正弦定理可得absB=(2﹣b)bsA,结合余弦定理可得b=b2+2﹣a2,由余弦定理可解得sA=,结合A的范围即可求A的值.
(Ⅱ)由已知及正弦定理可得=2b,由余弦定理可得:
a2=9=b2+2﹣2bsA=b2+4b2﹣2b×,从而可解得b,的值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵.
∴由正弦定理可得:
=,即absB=(2﹣b)bsA,
………………………………2分
∴由余弦定理可得:
ab=(2﹣b)•b,
∴整理可得:
b=b2+2﹣a2,
∴由余弦定理可得:
sA==,
∴结合0<A<π,可解得:
A=.………………………………………6分
(Ⅱ)∵sin=2sinB,
∴由正弦定理可得:
=2b,………………………………………8分
∴由余弦定理可得:
a2=9=b2+2﹣2bsA=b2+4b2﹣2b×,
可解得:
b=,…………………………………………………………10分
∴=2b=2.…………………………………………………………12分
18.【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】
(1)设A,BD交于点,连结E,则由中位线定理得出E∥P,故P∥平面BDE;
(2)由面面垂直的性质得出AD⊥平面PD,得出P⊥AD,又P⊥PD,故而P⊥平面PAD,于是P⊥DE,又由三线合一得出DE⊥PA,故DE⊥平面PA.
【解答】解:
(1)设A∩BD=,连结E,
∵底面ABD是矩形,∴是A的中点,
∴E是△PA的中位线,
∴P∥E,又P⊄平面BDE,E⊂平面BDE,
∴P∥平面BDE.…………………………………………………………6分
(2)∵平面PD丄平面ABD,平面PD∩平面ABD=D,AD⊥D,AD⊂平面ABD,
∴AD⊥平面PD,∵P⊂平面PD,
∴P⊥AD,
又P⊥PD,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,
∴P⊥平面PAD,∵DE⊂平面PAD,
∴P⊥DE,
∵PD=AD,E是PA中点,
∴DE⊥PA,又PA⊂平面PA,P⊂平面PA,PA∩P=P,
∴DE⊥平面PA.………………………………………………………12分
19.【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】
(1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;
(2)利用“裂项求和”、分类讨论方法即可得出.
【解答】解:
(1)∵对任意正整数n都有2an﹣Sn=4,
∴2a1﹣a1=4,解得a1=4;………………………………………………2分
当n≥2时,2an﹣1﹣Sn﹣1=4,可得:
2an﹣2an﹣1﹣an=0,
化为an=2an﹣1,……………………………………………………………4分
∴数列{an}是等比数列,首项为4,公比为2,
∴an=4×2n﹣1=2n+1.………………………………………………………分
(2)bn=(﹣1)n•=
(﹣1)n=(﹣1)n,………………………7分
∴当n=2(∈N*)时,数列{bn}的前n项和
Tn=T2=+﹣…+=﹣=.……9分
当n=2﹣1(∈N*)时,数列{bn}的前n项和
Tn=T2﹣1=+﹣…﹣=﹣﹣=﹣.
……………………………………………11分
∴Tn=.…………………………………………12分
20.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
【分析】
(1)将a,b的值代入f(x),求出其导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)求出F(x),求导得到≤在(0,3)上恒成立,分离参数求出a的范围即可;
(3)得到=1+,只需=1+在区间[1,e2]内恰有两个实数解,令g(x)=1+(x>0),根据函数的单调性求出的范围即可.
【解答】解:
(1)f(x)的定义域是(0,+∞),
当a=,b=时,f(x)=lnx﹣x2+x,f′(x)=,
…………………………………………………………2分
令f′(x)>0,解得:
0<x<2,令f′(x)<0,解得:
x>2,
故f(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递减;……………………4分
(2)F(x)=lnx+,(0<x<3),
则有=F′(x)=≤在(0,3)上恒成立,………………6分
∴a≥,x0=1时,=,
故a≥;………………………………………………………………8分
(3)a=0,b=﹣1时,f(x)=lnx+x,
由f(x)=x得lnx+x=x,
又x>0,∴=1+,…………………………………………10分
要使方程f(x)=x在区间[1,e2]内恰有两个实数解,
只需=1+在区间[1,e2]内恰有两个实数解,
令g(x)=1+(x>0),∴g′(x)=,
令g′(x)>0,解得:
0<x<e,令g′(x)<0,解得:
x>e,
∴g(x)在[1,e]递增,在[e,e2]递减,
g
(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,……………………12分
∴1+≤<1+.……………………………………………13分
21.【考点】椭圆的简单性质.
【分析】
(1)由椭圆离心率为,且经过点P(0,﹣1),列出方程式组,由此能求出椭圆方程.
(2)①设直线方程为=x+,与椭圆联立,得(42+1)x2+=0,由此利用韦达定理、向量的数量积能求出•的值.
②由∠APB=90°,设AB的中点为,则P⊥AB,当=0时,直线AB方程为=;当≠0时,P=﹣,解得=,由此能求出直线AB的方程.
【解答】解:
(1)∵椭圆:
+=1,(a>b>0)的离心率为,且经过点P(0,﹣1),
∴,解得a2=4,
∴椭圆方程为.…………………………………………4分
(2)①若过点P的直线的斜率不存在,则点A,B中必有一点与点P重合,
不满足题意,∴直线AB的斜率存在,设为,则直线方程为=x+,
……………………………………………………分
联立,得(42+1)x2+=0,
设A(x1,1),B(x2,2),则,,
……………………………………………………7分
=,
∵P(0,﹣1),∴=(x1,1+1)•(x2,2+1)=x1x2+12+(1+2)+1=﹣++1=0.………………10分
②由①知,∠APB=90°,
若△PAB为等腰直角三角形,设AB的中点为,则P⊥AB,
且(﹣,),………………………………11分
当=0时,则(0,),满足条,此时直线AB方程为=,
当≠0时,P=﹣,有﹣,……………………12分
解得=,
∴直线方程为=,
即或,
故直线AB为=或或.…………………14分
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