确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法.docx
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确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法
带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出,则其轨迹关于入射点和出射点
线段的中垂线对称,且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等(如图1);带电粒
子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场,则其射出磁场时速度延长线必过圆心
(如图2)。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹,找出相应的几何关系。
E3-1
Mh上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点
例1•如图3所示,直线
O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场(电子质量为m电荷为e),它们从磁场中射
出时相距多远?
射出的时间差是多少?
MQJVA/ukFN
■■K-4
“21Am
Ai=—二
匚-,所以解此题的关键是找圆心、
解析:
正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心,画出半径和轨迹(如图4),,由对称性知:
射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相
2wv
距s=2r=工,由图还看出经历时间相差
找半径和用对称。
例2•如图5所示,在半径为r的圆形区域内,有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度V。
从
M点沿半径方向射入磁场区,并由N点射出,0点为圆心。
当/M0曲120°时,求:
带电
解析:
分别过MN点作半径OMON的垂线,此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心,如图6所示。
由图中的几何关系可知,圆弧MN所对的轨道圆心角为
妙故带电粒子运动周期:
60°,O、O'的边线为该圆心角的角平分线,由此可得带电粒子圆轨道半径为
R=r/tan30°=、「',带电粒子的轨道半径可表示为:
2测2运兀
=r
兀,带电粒子在磁场区域中运动的时间
二、旋转圆法
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时,带电粒子的运动轨迹
是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆(如图7),用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
例3•如图8所示,S为电子源,它在纸面360°度范围内发射速度大小为V。
,质量为m
电量为q的电子(q<0),MN是一块足够大的竖直挡板,与S的水平距离为L,挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为mv/qL,求挡板被电子击中的范围为多
◎向发
豺羊可以
射,粒子的轨迹为绕、燥点旋作出打到最高点与最低点的轨迹,•如图P,最低点为动态圆与MN相割,且
■.\
最低点,带电粒子在磁场中作圆周运动,由洛仑兹力提供向心力,由
解析:
由于粒子从同一点向1的每一个圆都是逆时针旋转,高点为动态圆与MN的相切时的交点
转的动态圆,且动态圆
9所示,最
SQ为直径时Q为
得:
大?
R輕」
妙,Q为直径,贝U:
SQ2L,SO=L,由几何关系得:
P为切点,所以O吐L,所以粒子能击中的范围为I'
例4.(2010全国新课程卷)如图10所示,在0Wx 外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。 坐标原点O处有一个粒子源,在某时刻发射大量质 量为m电荷量为q的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在xy平面内,与y 2欢迎下载 轴正方向的夹角分布在0〜90°范围内。 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于二到a 之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的: (1)速度大小; (2)速度方向与y 轴正方向夹角正弦。 ■* ax 公式得: ,解得: 0-10 解析: 设粒子的发射速度为 v,粒子做圆周运动的半径为R由牛顿第二定律和洛仑兹力 从O点以半径R(二vRva)作“动态圆”,如图11所示,由图不难看出,在磁场中运动时间最长的粒子,其轨迹是圆心为C的圆弧,圆弧与磁场的边界相切。 设该粒子在磁场 T兀 t——— 中的运动时间为t,依题意I,所以/oc鸽;。 设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a由几何关系得: sin—卫7 -,三.二W工…、.,再加上-'T.A: 一 带电粒子以大小不同,方向相同的速度垂直射入匀强磁场中,作圆周运动的半径随着速度的变化而变化,因此其轨迹为半径缩放的动态圆(如图12),利用缩放的动态圆,可以 探索出临界点的轨迹,使问题得到解决。 例5.如图13所示,匀强磁场中磁感应强度为B,宽度为d,一电子从左边界垂直匀强磁场 射入,入射方向与边界的夹角为0,已知电子的质量为m电量为e,要使电子能从轨道的 0-14 另一侧射出,求电子速度大小的范围 解析: 如图14所示,当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出,速率越大,轨道半径越大,当轨道与边界相切时,电子恰好不能从另一侧射出,当速率大于这个临界值时便从右边界射出,设此时的速率为V。 ,带电粒子在磁场中作圆周运动,由 几何关系得: r+rcos0=d① 兔—I£ 联立①②解得: •…—■': ,所以电子从另一侧射出的条件是速度大于厂「门。 例6.(2010全国II卷)如图15所示,左边有一对平行金属板,两板的距离为d,电压为U,两板间有匀强磁场,磁感应强度为R,方面平行于板面并垂直纸面朝里。 图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直),在此区域内及其边界上也有匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。 假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间,沿同一方向射出金属板间的区域,并经 EF边中点H射入磁场区域。 不计重力。 1)已知这些离子中的离子甲到达边界EG后,从边界EF穿出磁场,求离子甲的质量; 2)已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场,且GI长为3a/4,求离子乙的质量; 3)若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半,而离子乙的质量是最大的,问磁场边界上什么区域内可能有离子到达? 解析: 由题意知,所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动,则有: qvB0=ql/d,解得 离子的速度为: v=U/B°d(为一定数值)。 虽然离子速度大小不变,但质量m改变,结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析,可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹,如图16中的动态圆。 1)由题意知,离子甲的运动轨迹是图17中的半圆,半圆与EG边相切于A点,与EF边垂 4^-- 直相交于B点,由几何关系可得半径: R? =acos30°tan15°=()a, 毘二(学+与_氓尸-2能-跄)cos60° ,解得R乙=&/4,从而求得乙离子的质量 0-19 2)离子乙的运动轨迹如图18所示,在AEIQ中,由余弦定理得: (3)由半径公式R=mv/qB可知Rxm,结合 (1) (2)问分析可得: ①若离子的质量满足m甲/2 ②若离子的质量满足m甲vmcm乙,则所有离子都从EG边离开磁场,离开磁场的位置介于A 四、临界法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,画出临界点的轨迹是解题的关键。 例7.长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图19所示,磁感应强度为B,板间距离也为L,两极板不带电,现有质量为m电量为q的带负电粒子(不计重力)从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场,欲使粒子打到极板上,求初速度的范围。 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 因此. SqBL ■4擁 解: 由左手定则判定受力向下,所以向下偏转,恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态,分别作出两个状态的轨迹图,如图20、图21所示,打到右边界时,在直角三角形 打在左侧边界时,如图21所示,由几何关系得轨迹半径 5gBL 所以打在板上时速度的范围为'■ 例8.如图22,一足够长的矩形区域abed内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°,大小为v°的带电粒子,已知粒子质量为m电量为q,ad边长为L,ab边足够长,粒子重力忽略不计。 求: 1)试求粒子能从ab边上射出磁场的V。 的大小范围; 2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。 £t XXXXXK HU¥ 殳普焉―*X: XX 蛙J>Xx/x ■]]'■ 解 (1)画出从Q点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆,能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示,轨迹与de边相切时,射到ab边上的A点,此时轨迹圆心为Q,则轨道半 V m— 径ri=L,由■■得最大速度 qBL 昨= 轨迹与ab边相切时,射到ab边上的 B点,此时轨迹圆心为Q,则轨道半径「2=L/3,由 qBL ■-得最小速度o qBLqBL 所以粒子能够从ab边射出的速度范围为: 九vvo<叽o (2)当粒子从ad边射出时,时间均相等,且为最长时间,因转过的圆心角为300°,所 以最长时间: ,射出的范围为: 通过以上分析不难发现,对于带电粒子在磁场中的运动问题,解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹,如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法,很多问题都可以迎刃而解 Q(=r2=L/3o 欢迎您的下载, 资料仅供参考! 致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等 打造全网一站式需求
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