253 用频率估计概率含课题学习键盘上字母的排列规律.docx
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253用频率估计概率含课题学习键盘上字母的排列规律
第二十五章概率初步
第15课时 §25.3用频率估计概率
§25.4课题学习键盘上字母的排列规律
在我们的日常生活中存在着大量随机事件,我们如何确定某些随机事件发生概率的大小呢?
这节我们主要学习通过实验体会“某一随机事件发生的频率无限的接近于概率”这一重要规律,以及运用随机事件出现的频率估计随机事件发生概率的大小这一重要方法.
一、关于在实验中感悟“频率稳定于概率”这一规律
通过大量的课内和课外反复实验,我们发现尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性,但只要保持实验的条件不变,当实验次数很大时,那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定,这个稳定值就可以作为该事件在每次实验中发生的概率的一个估计值.例如从一副52张(没有大小王)的扑克牌中每次抽出一张,然后放回洗匀再抽,在这个实验中,我们可以发现,虽然每次抽取的结果是随机的、无法预测的随机事件,但是随着实验次数的增加,出现每一种花色牌的频率都稳定在25%左右,因此我们可以用平稳时的频率估计在每次抽出牌的概率的大小.
二、关于用频率估计概率的大小
在随机事件中,虽然每次实验的结果都是随机的、无法预测的,但是不确定事件的发生并非完全没有规律,随着实验次数的增加,隐含的规律会逐渐显现,事件出现的频率会逐渐稳定到某一个值,大量实验表明:
当实验次数足够大时,事件A发生的频率会稳定到它发生的概率的大小附近,所以,我们常用频率估计事件发生的概率.用频率估计事件发生的概率时,需要说明以下几点:
(1)频率和概率是两个不同的概念,二者既有区别又有联系,事件发生的概率是一个确定的值,而频率是不确定的,当实验次数较少时,频率的大小摇摆不定,当实验次数增大时,频率的大小波动变小,逐渐稳定在概率附近;
(2)通过实验用频率估计概率的大小,方法多种多样,但无论选择哪种方法,都必须保证实验在相同的条件下进行,否则结果会受到影响.在相同条件下,实验的次数越多,就越有可能得到较准确的估计值,但每个人所得的值并不一定相同;
(3)频率和概率在实验中可以非常接近,但不一定相等,两者存在一定的偏差是正常的、经常的,如随机抛掷一枚硬币时,理论上“落地后正面朝上”发生的概率为
,可抛掷1000枚硬币,并不能保证落地后恰好有500枚正面朝上,但大量的重复实验发现,“落地后正面朝上”发生的频率就在
附近波动;
(4)事件发生的概率需要用稳定时的频率来估计,它需要做次数足够多的实验才能较准确,要注意的是一次实验的结果是随机的、无法预测的;
(5)我们不但可以运用事件出现的频率来估计这一事件在每次实验中发生概率的大小,同样当我们预知某一事件在每次实验中发生的概率大小的值时,就可以知道当实验次数很大时事件出现的频率逐渐会接近于这个概率值.
通过这两节的学习,我们可以深刻体会到“一个随机事件在每次实验中发生的概率可以用该事件在多数次的重复实验中发生的频率来估计”这一结论,整个学习过程要以自己动手实验和探索为主,例如要确定钉尖触地的概率等问题都是无法用公式计算解决和主观臆造的,只能求助于实验,这就说明实验是预测某些随机事件发生概率的必要手段.此外,还应就实验的设计、组织、数据的记录和分析与实验结果合理性等问题和同学们展开讨论与交流,只有这样,才能理解随机事件中隐含的确定性,从而准确地求出随机事件发生的概率的大小.
点击一:
利用频率估计概率
(1)在怎样的情况下,要通过统计频率来估计概率:
①实验的所有可能结果不是有限个②各种可能结果发生的可能性不相等。
(2)怎样利用频率来估计概率?
在同样的条件下,大量重复实验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率。
针对练习1:
1、下列模拟掷硬币的实验不正确的是()
A、用计算器随机地取数,取奇数相当于下面朝上,取偶数相当于硬币正面朝下
B、袋中装两个小球,分别标上1和2,随机地摸,摸出1表示硬币正面朝上
C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌,抽到红色牌表示硬币正面朝上
D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上,并搓成团,每次随机地取一张,取到奇数号表示硬币正面朝上
答案:
D
2、把一个质地均匀的骰子掷两次,至少有一次骰子的点数为2的概率是()
A、
B、
C、
D、
答案:
D
3、有6张背面相同的扑克牌,正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9,若将这六张牌背面向上洗匀后,从中任意抽取一张,那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为()
A、
B、
C、
D、
答案:
D
4、“抛出的蓝球会下落”,这个事件是事件。
(填“确定”或“不确定”)
答案:
确定
5、有五张卡片,每张卡片上分别写有1,2,3,4,5,洗匀后从中任取一张,放回后再抽一张,两次抽到的数字和为的概率最大,抽到和大于8的概率为。
答案:
6
6、在体育测试中,2分钟跳160次为达标,小敏记录了她预测时2分钟跳的次数分别为145,155,140,162,164,则她在该次预测中达标的概率是。
答案:
7.为了调查今年有多少名学生参加中考,小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭,发现其中有10个家庭有子女参加中考。
(1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭的频率是多少?
(2)如果你随机调查一个家庭,估计该家庭有子女参加中考的概率是多少?
(3)已知全市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考?
答案:
(1)5%
(2)约5%(3)4.5×104名
类型之一:
用频率估计概率
随机事件发生的可能性的大小可以通过大量的重复实验去探索.通过频率的稳定性来揭示随机事件发生的可能性的大小,在大量的实验中,某个事件发生的频率稳定一个常数,此常数叫该随机事件发生的概率。
例1:
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据:
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
⑴请估计:
当
很大时,摸到白球的频率将会接近;
⑵假如你去摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是;
⑶试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
⑷解决了上面的问题,小明同学猛然顿悟,过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是:
在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?
请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
【解析】:
本题是一道根据摸球实验频率估算概率的试题,利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,利用这个值代替概率值即可解决问题.
【解答】:
(1)由表格可知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率是0.6,这时摸到黑球的概率为1-0.6=0.4.
(3)白球个数为:
20×0.6=12(只),黑球个数为20×0.4=8(只)或20-12=8(只).
(4)方案一:
①添加:
向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;②实验:
进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率.由频率估计概率;③估算:
.球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.
方案二:
①标记:
从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;
②实验:
进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到有标记球的次数,计算频率,由频率估算概率.
③估算:
.
例2:
王强与李刚两位同学在学习“概率”时.做抛骰子(均匀正方体形状)实验,他们共抛了54次,出现向上点数的次数如下表:
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率.
(2)王强说:
“根据实验,一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”
李刚说:
“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”
请判断王强和李刚说法的对错.
(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
【解析】:
本题是一道与频率与概率有关的试题,解决问题的关键要理解概率与频率的计算方法。
根据表格信息可知,抛了54次,向上的点数为3共出现了5次,向上点数为5的共出现了16次,由此可计算出相应的频率。
通过列表或画数状图的方法可求到向上点数之和为3的倍数的概率。
【解答】:
(1)出现向上点数为3的频率为
,出现向上点数为5的频率为
。
(2)因为掷一次骰子点数1,2,3,4,5,6出现向上具有等可能性,所以王强说法不对,虽然投掷54次出现点数6向上的频数是
,但频率不一定等于概率,因为掷一次骰子,点数6向上的概率是
,所以李刚的说法也不正确的。
(3)通过画树状图或列表可得王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率
【点评】:
:
通过试验来估算不确定事件发生的概率大小,通常是在试验次数越多,事件发生的频率值逐渐稳定时,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率.
类型之二:
用替代物或计算器模拟实验
例3:
开学前,小明去商场买书包,商场在搞促销活动,买一只书包可以送2支笔和1本书.
(1)若有3支不同笔可供选择,其中黑色2支,红色1支,试用树状图表示小明依次抽取2支笔的所有可能情况,并求出抽取的2支笔均是黑色的概率;
(2)若有6本不同书可供选择,要在其中抽1本,请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法.
【解析】:
(1)列表或画树状图求出即可
(2)可通过掷骰子、抽卡片、摸球等方法来模拟实验获得结果
【解答】:
(1)用
分别表示2支黑色笔,
表示红色笔,树状图为:
.
(2)方法不唯一,例举一个如下:
记6本书分别为
,
.
用普通的正方体骰子掷1次,
规定:
掷得的点数为1,2,3,4,5,6分别代表抽得的书为
,
.
1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学进行了如下实验:
每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复360次,摸出白色乒乓球90次,则黄色乒乓球的个数估计为()
A.90个B.24个C.70个D.32个
2.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,那么从中任取1个是次品概率约为().
A.
B.
C.
D.
3.下列说法正确的是().
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行;
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖;
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.
4.小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩,绘成如图所示的条形图,其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是().
A.
、
B.
、
C.
、
D.
、
5.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来有().
A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒
6.某校男生中,若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查,抽到喜欢足球的同学的概率是
,这个
的含义是().
A.只发出5份调查卷,其中三份是喜欢足球的答卷;
B.在答卷中,喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8;
C.在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的
;
D.在答卷中,每抽出100份问卷,恰有60份答卷是不喜欢足球.
7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球,使得从袋中摸到红球的概率为
,四位同学分别采用了下列装法,你认为他们中装错的是().
A.口袋中装入10个小球,其中只有两个红球;
B.装入1个红球,1个白球,1个黄球,1个蓝球,1个黑球;
C.装入红球5个,白球13个,黑球2个;
D.装入红球7个,白球13个,黑球2个,黄球13个.
8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数,将每位同学的零用钱数记录了下来(单位:
元):
2,5,0,5,2,5,6,5,0,5,5,5,2,5,8,0,5,5,2,5,5,8,6,5,2,5,5,2,5,6,5,5,0,6,5,6,5,2,5,0.
假如老师随机问一个同学的零用钱,老师最有可能得到的回答是().
A.2元B.5元C.6元D.0元
9.同时抛掷两枚硬币,按照正面出现的次数,可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果,小红与小明两人共做了6组实验,每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次,下表为实验记录的统计表:
结果
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
两个正面
3
3
5
1
4
2
一个正面
6
5
5
5
5
7
没有正面
1
2
0
4
1
1
由上表结果,计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________.当试验组数增加到很大时,请你对这三种结果的可能性的大小作出预测:
______________.
10.红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下,其中数据不在分点上
组别
频数
频率
46~50
40
51~55
80
56~60
160
61~65
80
66~70
30
71~75
10
从中任选一头猪,质量在65kg以上的概率是_____________.
11.为配和新课程的实施,某市举行了“应用与创新”知识竞赛,共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分,得分全为整数)。
为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩,进行统计,整理见下表:
组别
分组
频数
频率
1
49.5~59.5
60
0.12
2
59.5~69.5
120
0.24
3
69.5~79.5
180
0.36
4
79.5~89.5
130
c
5
89.5~99.5
b
0.02
合计
a
1.00
表中a=________,b=________,c=_______;若成绩在90分以上(含90分)的学生获一等奖,估计全市获一等奖的人数为___________.
12.小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中搅匀,每次从盒中抽出一张卡片,记录结果如下:
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍数的频数
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3的倍数的频率
(1)完成上表;
(2)频率随着实验次数的增加,稳定于什么值左右?
(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少?
(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少?
13.甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛,双方约定:
①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束;②若一次未进可再投第二次,以此类推,但每局最多只能投8次,若8次投球都未进,该局也结束;③计分规则如下:
a.得分为正数或0;b.若8次都未投进,该局得分为0;c.投球次数越多,得分越低;d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进,请你按上述约定,用公式、表格或语言叙述等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案;
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数,“×”表示该局比赛8次投球都未进):
第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
根据上述计分规则和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜.
答案:
1.D2.B3.B4.A5.C6.C7.C8.B
9.
;
10.0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025;0.1
11.50,10,0.26;200
12.
(1)0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31;
(2)0.31;
(3)0.31;
(4)0.3
13.解:
(1)计分方案如下表:
n(次)
1
2
3
4
5
6
7
8
M(分)
8
7
6
5
4
3
2
1
(用公式或语言表述正确,同样给分.)
(2)根据以上方案计算得6局比赛,甲共得24分,乙共得分23分,所以甲在这次比赛中获胜.
一、填空
1.通过实验的方法用频率估计概率的大小,必须要求实验是在的条件下进行.
2.某灯泡厂在一次质量检查中,从2000个灯泡中随机抽查了100个,其中有10个不合格,则出现不合格灯泡的频率是,在这2000个灯泡中,估计有个为不合格产品.
3.在红桃A至红桃K这13张扑克牌中,每次抽出一张,然后放回洗牌再抽,研究恰好抽到的数字小于5的牌的概率,若用计算机模拟实验,则要在的范围中产生随机数,若产生的随机数是,则代表“出现小于5”,否则就不是.
4.抛一枚均匀的硬币100次,若出现正面的次数为45次,那么出现正面的频率是.
二、选择
5.公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是()
A.50%B.100%
C.由各车所在单位或个人定D.无法确定
6.实验的总次数、频数及频率三者的关系是()
A.频数越大,频率越大
B.频数与总次数成正比
C.总次数一定时,频数越大,频率可达到很大
D.频数一定时,频率与总次数成反比
7.在一副(54张)扑克牌中,摸到“A”的频率是()
A.
B.
C.
D.无法估计
8.在做针尖落地的实验中,正确的是()
A.甲做了4000次,得出针尖触地的机会约为46%,于是他断定在做第4001次时,针尖肯定不会触地
B.乙认为一次一次做,速度太慢,他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉,随意朝上轻轻抛出,然后统计针尖触地的个数,这样大大提高了速度
C.老师安排每位同学回家做实验,图钉自由选取
D.老师安排同学回家做实验,图钉统一发(完全一样的图钉).同学交来的结果,老师挑选他满意的进行统计,他不满意的就不要
三、解答题
9.一个口袋中有10个红球和若干个白球,请通过以下实验估计口袋中白球的个数:
从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程.实验中总共摸了200次,其中有50次摸到红球.
10.如图,某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:
顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算并完成表格:
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计,当n很大时,频率将会接近多少?
(3)假如你去转动转盘一次,你获的铅笔的概率是多少?
参考答案:
一、1.相同或同等(意思相近即可)2.0.1,200
3.1~13,1,2,3,44.0.45
二、5.A6.D7.B8.B
三、9.因为P(50次摸到红球)=
,
所以红球与白球共有
(个).
所以白球共有40-10=30(个).
答:
口袋中大约有30个白球.
10.
(1)0.68,0.74,0.68,0.69,0.705,0.701;
(2)接近0.7;(3)0.7.
1.小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格,在相同的条件下,同时抛两枚骰子20000次,结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次.你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为:
在相同条件下抛骰子时,骰子各个面朝上的机会相等)?
并说明理由.
【解析】:
本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为7的概率和实验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率,然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率的差距将很小,来确定质量是否都合格.
【解答】:
两枚骰子质量不都合格.同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况:
2、3、4、5、6、7;3、4、5、6、7、8;4、5、6、7、8、9;5、6、7、8、9、10;6、7、8、9、10、11;7、8、9、10、11、12。
∵抛两枚骰子两个朝上面点数和有36种情况,出现两个朝上面点数和为7有6次情况。
∴出现两个朝上面点数和为7的概率为
.
而试验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率为
.
因为多数次试验的频率应接近概率,而0.001和0.167相差很大,所以两枚骰子质量不都合格.
说明:
大量重复实验时事件发生频率将趋近于稳定,且稳定在概率的附近.
2.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据:
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
(1)请估计:
当
很大时,摸到白球的频率将会接近.(精确到0.1)
(2)假如你摸一次,你摸到白球的概率
.
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?
答案:
(1)0.6,
(2)0.6,(3)白球24个,黑球16个。
3.一台名为帕斯卡三角的仪器,如图所示,当一实心小球从入口落下,它在依次碰到每层菱形挡块时,会可能地向左或向右落下。
试问小球通过第二层A位置的概率是多少?
第三层B位置的概率是多少?
答案:
4.某商场进行有奖促销活动,转盘分为5个扇形区域,分别是特等奖、一等奖、
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