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两点间的距离公式
§2.8两点间的距离公式
课前自主预习
[新知梳理]
1、平面上两点间距离公式:
已知Rd,%),P2(x2,y2),
则PP2=J(n-汀+(%-y?
)2•
在如图所示的坐标系中,|RQ|=M-yd,
|F2QH|x2-xi|;
在RtARQP2中,IPP2l=J(xi—X2)2+(力—y2)2•
特殊地,0(0,0),P(x,y)之间的距离|OP|二■Xi2y2
[思考讨论]
1.
(1)已知x轴上两点A(Xi,0)、BgO),贝UIAB戶|x^x1|
(2)已知y轴上两点A(0,yJ、B(0,y2),则|AB|=|y^yy|
2.
(1)已知两点A(x,y)、B(x,,y),则|AB卜凫-为|.
(2)已知两点A(x,%)、B(x,y2),则|AB戶|y2-%|.
3.直线与坐标轴的两交点之间的距离是洁+b2.
4.在坐标系中作出两点R(1,3),P2(5,6),构造直角三角形,求得|PP2|=5
课堂互动学习
[名师点津]
1.记住两点间的距离公式的结构特征,会用公式求出三角形的边长等距离问题.
2.利用三角形的边长判断三角形的等腰三角形还是直角三角形.
3.利用对称性可以解决两类类似问题:
①在定直线上求一点到两定点的距离之和最小;②在定直线上求一点到两定点的距离之差的绝对值最大.
4.利用坐标法解决平面几何问题,首先要建立恰当的直角坐标系.建立坐标系的原则是:
①以题目中的已知直线为坐标轴,以已知点为原点;②让尽可能多的点处在
坐标系中的特殊位置,这样方便计算;③如果条件中有互相垂直的两条直线,可以考虑把它们昨晚坐标轴,如果图形为中心对称图形,可以将中心作为原点,如果图形为轴对称图形,可以将对称轴作为对称轴.
典例精析:
[典型例题1]已知A(0,1),B(2,7),C(4,3),求三边的长,并判断ABC的形状.
[点拨]由距离公式求出三边的长,再由边长判断形状.
[解答]由两点间距离公式得|AB|「-(2一0)2(7一1)2=2帀,
|BC匸;(2匚4)2—(7匚3)2〉2..5,
|AC|=.(4-0)2(3-1)2=2,5,
因为IACI2•|BC|2=|AB|2,|AC|=|BC|,所以厶ABC是等腰直角三角形.
[变式训练1]已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,1)且AB=|AC|,求a的值.
[解答]|AB=.(a2)2(23)2二.a24a29,|ACH--':
(a-1)2(2-1)2=J;a2-2a2,
因为AB
=AC,所以Ja2+4a十29=Ja2-2a+2,解得[典型例题2]在x轴上取一点P,使它与两点A(1,2),B(5,3)的距离之和最小,并求出
最小距离.
|PA'I+IPB闰AB|,当P是AB与x轴交点P时,取等号,因为|ABF•.(1-5)2*(-2-3)2二41为定值,所以当P是AB与x轴交点P时,|PA[+|PB|有最小值.
因为直线AB的斜率为一脊违,经过点B(5,3),
所有直线AB的方程为y一3(x一5),
4
令y=0,得x仝,即P的坐标为(空,0).
55
[变式训练2]x轴上的一点到定点A(0,2),B(1,1)距离之和的最小值为(D)
A.2B.、、5C.2、2D..10
[典型例题3]已知P为等腰ABC的底边BC上的任意一点,求证:
22
|AB|=|AP||BP||PC|.
[点拨]以底边所在的直线为x轴,底边的垂直平分线为y轴建立坐标系,再设出有关
点的坐标,表示出有关线段的长度即可得证.
[解析]取BC的中点O为原点,OA所在直线为y轴,建立坐标系.
设A(0,a),C(b,0),则B(-b,0),由两点间距离公式得
|AB|2二a2b2,|AP|2二a2x2,|BP^xb,|PC|二b-x,
所以|AP|2|BP||PC|二a2x2(xb)(b-x)二a2b2.
所以|AB|2=|AP|2|BP||PC|.
[变式训练3]如图,D为BC中点,求证:
AB2+AC2二D6吃dA^dC
证明:
以D为原点,BC所在直线为x轴建立坐
标系,设A(a,b),C(c,0),则B(-c,0).
于是|AB|^(ac)2b2,|AC|2=(a-c)2b2,|BD|^|CD|2-c2,|DAf=a2b2.
所以|AB|2|AC|2=(ac)2b2(a-c)2b2二2a22b22c2,
2.2.22,2,2
DB+2DA+DC|=2a+2b+2c,
所以AB+AC=DB+2DA+DC.
课后分层练习
反馈练习:
1•以A(;,0),B(3,2),C(_1,2)为顶点的三角形的形状是(C)
A•等腰B•等边C•直角D.锐角三角形
2.已知M(x,二)到N(1,2)的距离为5,则x二(D)
A.-4B.-2C.-4或2D.4或-2
3.已知A(-1,2),B(3,6),C(5,-5),贝LABC的边AB上的中线长为.97.
4.点P在直线y=x上,且P到Q(4,;)的距离为5,则P点坐标为(0,0)或(1,1)
5.已知正ABC的边长为a,在平面上求一点P,使得|PA|2|PB|2|PC|2取得最
小值,并求最小值.
[点拨]建立直角坐标系,设P(x,y),和A、B、C的坐标,用两点间距离公式得出函数关系.
[解析]以AB边所在直线为x轴,边AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图所示.设点A(|,0),则B(-,c(o,;a).
设P(x,y),则|PA|2|PB|2IPCf
=(x—|")2y2(x|)2y2x2(y一一|^)2
=3x23(y乎)2a2_a2.
当且仅当x=0,y二冬时,等号成立,此时点P坐标为
6
的中心,所求最小值为a2
6.在y轴上找一点M,使得M到两定点A(2,1)、B(4,5)的
距离之差的绝对值最大,并求出最大值.
[点拨]连结AB延长交y轴于M。
,则M。
为所求.
[解析]如图,连结MA,MB,则有
),是正ABC
||MA|-|MB|闫AB|,当且仅当M、A、B三点共线,
即M是直线AB与y轴的交点M。
时,取等号,此时
||MA|一|MB||取得最大值|ABI—(4_2)2(5_1)2二5,
直线AB的斜率是k=5一2=2,所以方程为y-1=2(x—2),4—2
令x=0,得y=一3,即M0(O,-3).
所以当M坐标是(0,-3)时,M到两定点A(2,1)、B(4,5)的距离之差的绝对值最大,最大值是5.
拓展训练
[能力提升]
54
1.求平面上整点到直线y=x的距离中的最小值.
35
[解答]设整点为(Xoy0),则它到直线25x—15y+12=0的距离为
25x0-15y0+1225x°-15y*12,,'口”宀皿十口
d=―=X0,y°z,故25x0—15y°是5的倍数,于是
(252+(-15)25阿
25x()—15y0+12K2,当X0=—1,y0=—1时,25x0—15y0+12=2
所以所求最小值为3
85
2■直线L在两坐标轴上的截距相等,且p(4,3)到直线L的距离为3〔2,求直线L的方程•
[解答]
(1)当所求直线经过坐标原点时,设其直线方程为y=kx
由3逅=Pk解得k=—6色J14
2
(2)当直线不经过坐标原点时,设所求方程为xy=1即x+y—a=0
aa
由条件可得:
世兽=3血
V2
解得:
a=1或a=13
故所求直线方程为
x+y—仁0或x+y—13=0或y=—
3.已知A(4,-3)、B(2,-1)和直线L:
4x+3Y-2=0,求一点P,使PAPB,且点P到L的距离等于2.
「31
[解答]设点P的坐标为(3,-2),kAB==-1,线段的垂直平分线方程为y+2=x-3,
4一2
即x-y-5=0点P(a,b)在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0
4a3b-2
2
、、4232
r27
r_1ja=
又两个式子得:
*或7
lb=4匕=_8
I7
•••所求的点为P(1,-4)和P(27,--)
77
4.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线
方程为x+3y—2=0,求其它三边方程.
[x-y,1=0
[解答]由将正方形的中心化为P(-1,0),
2xy2=0
由已知可设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0,vp点到各边的距离
丄口斥&—1—m3十—3+n3
相等,•••池「0和.10二10,:
m=4或m=-2和n=6或n=0
•••其它三边所在直线方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0
5、已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,
1
证明:
AMBC.
2
证明:
如图,以RtABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立适当的直角坐标
系,设B,C两点的坐标分别为(b,o),(0,c),
y
vM是BC的中点,
\
•••点M的坐标为(0b,0C),即(b,C).
2222
/\
由两点间的距离公式得
/\
所以,AM-1BC.
2
[走近高考]
1
42.
卜、
A.2
B.2
C.2
D.1
[解析]如图所示,
/AOB=60°
,又|OA|=|OB|=1
D:
O
sin20°),则|AB|的值是(D)
71
图7—3
课程资源链接
[知识卡片]两点间距离公式
同轴两点求距离,大减小数就为之。
与轴等距两个点,间距求法亦如此。
平面任意两个点,横纵标差先求值。
差方相加开平方,距离公式要牢记。
【教学小结】
1、平面上两点间距离公式:
已知P(N,yi),P2(X2』2),
则PP2=-X2)2+(%-丫2)2.
在如图所示的坐标系中,IPQ卜|y2-yd,
1p>Ql=1X2~X1;在Rt也pQp2中,IpP2|=J(X1—x2)+(yi-y2)-
特殊地,0(0,0),P(x,y)之间的距离|0P卜、X;—y;
2、记住两点间的距离公式的结构特征,会用公式求出三角形的边长等距离问题.
3、利用三角形的边长判断三角形的等腰三角形还是直角三角形.
4、利用对称性可以解决两类类似问题:
①在定直线上求一点到两定点的距离之和最小;②在定直线上求一点到两定点的距离之差的绝对值最大.
5、利用坐标法解决平面几何问题,首先要建立恰当的直角坐标系•建立坐标系的原则是:
①以题目中的已知直线为坐标轴,以已知点为原点;②让尽可能多的点处在坐标系中的特殊位置,这样方便计算;③如果条件中有互相垂直的两条直线,可以考虑把它们昨晚坐标轴,如果图形为中心对称图形,可以将中心作为原点,如果图形为轴对称图形,可以将对称轴作为对称轴.
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- 两点 距离 公式