逻辑代数及逻辑函数化简doc.docx
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第2章逻辑代数和逻辑函数化简
基本概念:
逻辑代数是有美国数学家GeorgeBoole在十九世纪提出,因此也称
布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
也叫开关代数,是研究只用0和
1构成的数字系统的数学。
基本逻辑运算和复合逻辑运算
基本逻辑运算:
“与”、“或”、“非”。
复合逻辑运算:
“与非”、“或非”、“与或非”、“异
或”、“同或”等。
AB
基本逻辑运算
~220VF
1.“与”运算①逻辑含义:
当决定事件成立的所有条件全部具
备时,事件才会发生。
②运算电路:
开关A、B都闭合,灯F才亮。
③表示逻辑功能的方法:
真值表
A
B
F
灯F的状态代表
开关A、B的状态代
0
0
0
表输入:
0
1
0
输出:
1
0
0
“0”表示亮;
“0”表示断开;
1
1
1
表达式:
FAB
=?
逻辑符号:
A
&FA
FA
F
B
B
B
国家标准
以前的符号
欧美符号
功能说明:
有0出0,全1出1。
在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号:
AB
AB
AB
&
F
F
F
通过“?
”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。
推广:
当有n个变量时:
F=A1A2A3?
?
?
An“与”运算的几个等式:
0?
0=0,0?
1=0,1?
1=1
A?
0=0(0-1律),A?
1=A(自等律),A?
A=A(同一律),A?
A?
A=A(同一律)。
2.“或”运算①逻辑含义:
在决定事件成立的所有条件中,只
要具备一个,事件就会发生。
A
②运算电路:
开关A、B只要闭合一个,灯F就亮。
B
~220VF
③表示逻辑功能的方法:
逻辑功能:
有1出1,全0出0。
真值表:
(略)
表达式:
F=A+B
逻辑符号:
A
≥1
F
A
FA
F
B
+
B
B
国家标准
以前的符号
欧美符号
推广:
当有n个变量时:
F=A1+A2+A3+?
?
?
+An
“或”运算的几个等式:
0+0=0,0+1=1,1+1=1
A+0=A(自等律)A+1=1(0-1律),A+A=A(同一律)。
上次课小结:
与、或的功能、表达式等,几个等式。
3.“非”运算
①逻辑含义:
当决定事件的条件具备时,事件不
发生;当条件不具备时,事件反而发生了。
R
②运算电路:
开关A闭合,灯F不亮。
~220VAF
③表示逻辑功能的方法:
逻辑功能:
入0出1,入1出0。
真值表:
(略)
表达式:
F=A
逻辑符号:
A
1
F
A
F
A
F
国家标准以前的符号欧美符号
“非”运算的几个等式:
A=A(还原律);A+A=1、AA=0(互补律)。
2.1.2复合逻辑运算
1.“与非”运算
“与”和“非”的组合。
有专门实现这种运算的实际器件(如TTL与非门等)。
逻辑符号:
A&FAFAF
BBB
国家标准以前的符号欧美符号
表达式:
F=AB;真值表:
(略),逻辑功能为:
有0出1,全1出0。
2.“或非”运算
“或”和“非”的组合。
也有专门实现这种运算的实际器件(如TTL、CMOS与
非门等)。
逻辑符号:
A
≥1
FA
F
A
F
B
+
B
B
国家标准
以前的符号
欧美符号
表达式:
F=AB;真值表:
(略),逻辑功能为:
有1出0,全0出1。
3.“与或非”运算
逻辑符号:
A
&≥1
A
A
B
F
B
F
B
F
C
C
+
C
D
D
D
国家标准以前的符号欧美符号
表达式:
F=ABCD;真值表:
(略)。
4.“异或”运算
逻辑功能:
两变量状态相异出1,相同出0。
真值表:
(略)。
表达式:
F=AB=AB+AB
逻辑符号:
A
=1
A
A
B
F
F
F
B
B
国家标准
以前的符号
欧美符号
“异或”运算的几个等式:
A
0=
A;A
1=A
;A
;A
A
A=1
=0
5.“同或”运算
逻辑功能:
两变量状态相异出0,相同出1。
。
逻辑符号:
A
=1
A
F
A
B
F
⊙
F
B
B
国家标准
以前的符号
欧美符号
与“异或”运算正好相反,也称“异或非”运算。
“异或”运算的几个等式(略)。
逻辑代数的基本定律及规则
2.2.1逻辑代数的基本定律
或者称为基本公式:
0-1律:
1·A=A;0+A=A。
0·A=0;1+A=1。
交换律:
AB=BA;A+B=B+A。
结合律:
A(BC)=(AB)C;A+(B+C)=(A+B)+C。
分配律:
A(B+C)=AB+AC;A+BC=(A+B)(A+C)。
互补律:
AA=0;A+A=1。
重叠律:
AA=A;A+A=A。
还原律:
A=A;
反演律:
AB=AB;AB=AB
吸收律1:
A+AB=A;A(A+B)=A。
吸收律2:
A+AB=A+B;A(A+B)=AB。
吸收律3:
AB+AB=A;(A+B)(A+B)=A。
冗余定理:
AB+AC+BC=AB+AC;(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)。
证明:
左边=AB+AC+BC(A+A)
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(
C)
+A
C(
B)
=
AB
+A
C=右边
(证毕)
1+
1+
冗余定理指出:
当某变量以互补形式出现在两个与项中时,这两个与项的其余因子组成的第三项为多余项。
推论:
AB
C+BCf
(
a,b,
,⋯
=AB
C
+A
c
)
+A
多余项
2.2.2逻辑代数的基本规则
1.代入规则
将逻辑等式中的某一变量都代之以另一个逻辑函数,此等式仍成立。
例:
AB=A
B。
用BC代替等式中的B得
A(BC)=A
BC=A
B
C
反复运用代入规则可得:
ABCD
=A
B
CD
。
扩大了等式的应用范围。
2.对偶规则
如果将任一逻辑函数式
F=f
(A,B,C,⋯)中所有的
·换成+
所得到的新函数Fˊ就是F的对偶式。
此即对偶规
+换成·
则。
运用时注意:
0换成1
1换成0
①原运算顺序不变(可运用扩号保证)。
例:
求F
CD
(C
D)B
的对偶式。
=ABB
解:
F=[(A
B)
B(C
D)](CDB)
F与
F
互为对偶,(F)
F。
=
还要注意到:
对偶关系不是相等的关系,即F≠F。
运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。
观察P27中的基本公式可以发现,
只要记住左半部分,运用对偶规则就能得到右半部分。
3.反演规则
如果将任一逻辑函数式F=f(A,B,C,⋯)中所有的
·换成+
+换成·
1换成1
2换成0
原变量换成反变量反变量换成原变量
所得到的新函数F就是F的反函数。
此即反演规
则。
运用时注意:
①原运算顺序不变(可运用扩号保证)。
②原式的公共非号保持不变。
例:
求F=(ABCD)E的反函数。
解:
F=A(BCD)E
公共非号也可以改变,但在消去公共非号的同时,公共非号下面的子函数保持原状。
如上例:
FA(BC?
D)E,与FA(BCD)E相等。
(应用摩根定律)
从原函数求反函数的过程叫做反演。
摩根定律是进行反演重要工具。
例如,将F=(ABCD)E两边同时取反并反复运用摩根定律的:
F=(ABCD)E=(ABCD)E=ABCDE=A(BCD)E
当函数较简单时,可以用摩根定律求反,当函数比较复杂时,用反演规则求反比较方便。
逻辑函数的表示方法及其转换
除用文字描述以外,还有四种描述形式:
真值表、表达式、卡诺图、逻辑图
2.3.1逻辑表达式
完备函数的概念:
我们已经学习过三种最基本的逻辑运算:
逻辑与;逻辑或;逻辑非,用他们,可以解决所有的逻辑运算问题,因此可以称之为一个“完备逻辑集”。
一.逻辑表达式的类型
每种函数对应一种逻辑电路。
同一个函数逻辑有多种表达形式:
FAC
AB
=
ACBCAA
C(AB)A(AB)(冗余定理、互补律)
=
++
+AB=
=(A
B)(A
C)
=AC
AC
←AC
AB(还原律、摩根定律)
=ABA
C
←(A
B)(A
C)(还原律、摩根定律)
=AC
AB=AB
AC
←(A
B)(AC)(反演规则再求反)
=ABC
ABC
ABC
ABC
←ACAB=AC(BB)AB(CC)
用互补律配项
二.逻辑函数的标准形式
1.最小项
(1)定义:
对于N个变量,如果P是一个含有N个因子的乘积项,而且在P中
每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现,且仅出现一次,则称P是
N个变量的一个最小项。
简单地说:
最小项就是包含全部变量的与项。
例如:
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC都是三个变量的最
小项。
而AB、AB、AB、AB都是两个变量的最小项,而对于三个或者三个以上的变量来说,它们就是一般乘积项。
所以:
提及最小项一定要说明变量的数目。
N个变量共有2n个最小项。
(2)性质
取三个变量的全体最小项观察:
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC对应的取值组合:
000001010011100101110111
①每个最小项都对应了一组变量取值。
对任一最小项,只有与之对应的那一组
变量取值才是它的值为“1”;
②任意两个不同最小项之积恒为0;
③全体最小项的逻辑和恒为1;
④两个逻辑相邻的最小项可以合并为一项,从而消去一个因子。
(3)最小项标准表达式
任何一个逻辑函数都能表示成最小项之和的形式,而且这种表示形式是唯一的,这就是标准与或式,也叫最小项标准表达式。
由一般式→标准与或式的变换步骤:
①用公式把一般式化为一般与或式;
②若式中的某一项缺少某个变量,就用该变量的原变量和反变量之和去乘这一
项,然后拆成两项,直到补齐所缺变量为止。
例:
写出F=AB
BC
的标准与或式。
(F=ABBC=AB
AC
BC)
解:
①化为一般与或式
FAB
BC
冗余
=
②补齐所缺变量F=AB(C
C)BC(AA)=ABC
ABC
ABCABC
也可以由FAB
BC列出真值表,直接写出最小项标准表达式。
=
最小项标准表达式的另一种表示形式:
ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC
对应的取值组合:
000
001
010
011
100
101
110
111
二进制换十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
记为
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6m7
FABC
ABC
ABC
ABC还可以表示成:
=
m4
m3
m2
F∑m(,,,)
Fm0
+
+
+
或者写成
=
=
0
2
3
4
根据逻辑函数的特点,这种表示方法①便于转换成卡诺图;②便于写出反函数。
比如F∑
m(,,,)的反函数
∑m(,,,)。
=
0234
F=
1567
2.3.2真值表
真值表:
输入变量各种可能的取值组合及其对应的函数值,排列在一起而组成
的表格。
例如:
奥运会举重比赛,有三个裁判A、B、C⋯⋯(多数表决。
)
分析:
输入变量:
A、B、C,个人认为通过,
A
B
C
F
取值为“1”,否则,为“0”
0
0
0
0
输出函数:
F,结果通过,取值为“1”,否则,
0
0
1
0
为“0”。
0
1
0
0
列出所有可能的情况,得到真值表。
0
1
1
1
F=ABCABCABCABC
1
0
0
0
优点:
直观明了,便于将实际逻
1
0
1
1
1
1
0
1
辑问题抽象成数学表达式
1
1
1
1
缺点:
难以用公式和定理进行运
算和变换;变量较多时,列函数真值表较繁琐
。
2.3.3卡诺图
优点:
便于求出逻辑函数的最简与或表达式。
缺点:
只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数,也不便于进行运算和变
换。
F
BC00
C
01
11
10
A
1
0
1
1
0
A
1
1
0
0
1
B
2.3.4逻辑图
逻辑图:
用基本逻辑单元和逻辑部件的逻辑符号构成的变量流程图。
YABBCCA
优点:
最接近实际电路。
缺点:
不能进行运算和变换,所表示的逻辑关系不直观。
2.3.5波形图
输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,已知A、B的波形,画Y=AB的
波形。
优点:
形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。
缺点:
难以用公式和定理进行运算和变换,当变量个数增多时,画图较麻烦。
2.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换
逻辑函数有四种表示方法,它们之间的相互转换,是分析、设计逻辑电路的关
键。
1.真值表→函数表达式
曾写过多数表决问题(上例)的表达式,归纳如下:
①把表中函数值为“1”的变量组合挑出来;
F=1的组合有四种(顺序ABC):
011101110111
②把取值为“1”的变量写成原变量,为“0”的写成反变量,得乘积项;
对应的乘积项:
ABCABCABCABC
③把所得的乘积项加起来,即得标准的与或式。
F=ABC+ABC+ABC+ABC
再看一例:
奇偶性判别问题的真值表。
2.表达式→真值表
把逻辑变量各种可能的取值组合分别代入式
中计算,求出相应的函数值并填入表中。
F1、F2的真值表
例:
已知F1
ABBCCA,
=
A
B
C
F1
F2
2
ABBCCA
,
0
0
0
0
0
F=
0
0
1
1
1
说明F1、F2的关系。
0
1
0
1
1
三个变量,将八种组合代入计算,得真值表。
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
由真值表可知:
F1=F2
1
0
1
1
1
(F1的三项可以写成:
1
1
0
1
1
AB=AB(CC)=ABCABC
1
1
1
0
0
BC=BC(AA)=ABCABC
CA=CA(BB)=ABCABC
对F2可以做同样的处理。
)
3.逻辑图→表达式
每一张逻辑图的输入输出之间都有一定的逻辑关系,这一逻辑关系可以用一个逻辑函数表示。
所以,逻辑图也是逻辑函数的一种表示方法。
逻辑图与实际电路接近,这是它的突出优点。
每个门电路(或逻辑部件)都有一个反映输入输出关系的表达式。
所以,可根据给出的逻辑图,从输入到输出逐级写出输出端的表达式。
A
A
B
例:
写出右图所示逻辑图的表达式。
1
A
B,3A
B,
解1:
F=
F=
F2=F1
F2=ABAB
A
B
B
4.表达式→逻辑图
函数表达式由“与”“或”“非”等运算组成。
所以只要用“与门”“或
门”“非门”等门电路来实现这些运算,
就能得到与逻辑表达式对应的逻辑图。
例:
画出与F=AABBAB
对应的逻辑图。
逻辑函数的化简法
&
AAB
A
&
AB
&
F
B
&
BAB
2.4.1关于逻辑函数化简的几个问题
1.化简的意义:
对于一个逻辑函数来说,如果表达式比较简单,那么实现这个逻辑函数所需要
的元件(门电路)就比较少。
所以化简的意义是:
节约器材、降低成本、提高可靠
性。
2.什么是最简与或式
理论分析原则:
在与或表达式中,若与项个数最少,且每个与项中变量的个数也最少,则该式就是最简与或式。
表达式最简,不一定就节约了器材,还有个利用率的问题(经济问题)、可靠性问题、工作速度问题、消除竞争冒险问题等等。
2.4.2逻辑函数的代数化简法
用基本公式和常用公式进行推演的化简方法叫做公式化简法。
能否快速准确地得到最简结果,与对公式的掌握的熟练程度及化简经验密切相
关(熟能生巧,实践出真知)。
大致可归纳为以下几种方法:
1.并项法:
利用A+A=1,将两项合并为一项,消去一个变量。
(或者利用全体
最小项之和恒为“1”的概念,把
2n项合并为一项,消去n个变量。
)
例:
F(ABAB)C(ABAB)C
=
(ABABABAB)CC
1
=
两个变量的全体最小项
或者:
F(ABAB)C(ABAB)C
=
=
(AB)C(AB)C
C
或者:
F(ABAB)C(AB
AB)C
ABCABCABCABC
=+++
=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=C
例2:
FABC
ACBC=(AB
AB)C
根据吸收律A+AB=A+B得:
=(AB
A
B)C=(AB
AB)C
(AB+A+B)C
=C
反演律
BABC
ACC
=(++)=(1+
)=
.吸收法:
利用
AABA吸收多余项。
互补律
0-1律
2
+
=
例3:
F=AC+ABCD(E+F)=AC+ACBD(E+F)=AC
例4:
F=A
ABC(B
ACD)
BC=A(ABC)(BACD)BC
=(
A
BC)+
(ABC)(B
ACD)
=ABC
3.消去法:
利用A+AB=A+B消去多余的因子。
例5:
F
=
AB
ACBC
=
AB(A
B)C
=
ABABC
=
ABC
+
4.消项法:
利用AB+AC+BC=AB+AC消去多余的项。
消项法与吸收法类似,都是消去一个多余的项。
只是前者运用冗余定理,
后者利用吸收律(?
)。
例5:
F=AB+AC+CD+ADE=AB+AC+CD
5.配项法:
利用A=AB+AB将一项变为两项,或者利用
项,然后(配项目的)寻找新的组合关系进行化简。
例6:
FABBCBCAB
冗余定理增加冗余
=
AB
BC
BC
AB
+AC
(冗余定理)
=AB+AC+BC+BCAB
=AB+AC+BC
或者:
FABBCBCAB
AB(CC)
BC(A
A)BC
AB
(前2项变为
4项)
=ABCAB
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