整理初等函数 三角函数.docx
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整理初等函数三角函数
在y=secx中,以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为(x,y).在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像,也叫正割曲线.
y=secx的性质:
(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}
(2)值域,|secx|≥1.即secx≥1或secx≤-1;
(3)y=secx是偶函数,即sec(-x)=secx.图像对称于y轴;
粗线是正割函数,细线是余割函数
(4)y=secx是周期函数.周期为2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期T=2π.
(5)正割与余弦互为倒数;余割与正弦互为倒数;
(6)正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ;
(7)正割函数是无界函数;
(8)正割函数的导数:
(secx)′=secx×tarx;
(9)正割函数的不定积分:
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
函数y=tanx,x∈(-π/2,π/2)的反函数,记作y=arctanx,叫做反正切函数。
反正切函数是反三角函数的一种。
同样,由于正切函数y=tanx在定义域上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数。
注意这里选取是正切函数的一个单调区间。
1,定义域:
R
值域:
(-π/2,π/2)
单调性:
增函数
奇偶性:
奇函数
周期性:
不是周期函数
2,arctan(x+y)<=arctanx+arctany=arctan[Tan(arctanx+arctany)]=arctan[(x+y)/(1-xy)]
反正切函数的大致图像如图所示,显然与函数y=tanx,x∈(-π/2,π/2)关于直线y=x对称,且渐近线为y=π/2和y=-π/2
反三角函数
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2 反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。 其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f-1(x). (1)正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。 arcsinx表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。 (2)余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。 arccosx表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。 (3)正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。 arctanx表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。 反三角函数主要是三个: y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]图象用红色线条; y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],图象用蓝色线条; y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条; y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),图象用绿色线条; sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下: 设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得 cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx 反三角函数其他公式 cos(arcsinx)=根号下1-x^2 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 当x∈[-π/2,π/2]有arcsin(sinx)=x x∈[0,π],arccos(cosx)=x x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x x∈(0,π),arccot(cotx)=x x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 百科名片 对数函数 一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。 因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。 展开 真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零, 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1? 【在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。 但是,根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式: logaM^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立(比如,log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4;一个等于4,另一个等于-4)】 通常我们将以10为底的对数叫常用对数(commonlogarithm),并把log10N记为lgN。 另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(naturallogarithm),并且把logeN记为InN.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当a〉0,a≠1时,a^x=N→X=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论: 负数和零没有对数; loga1=0logaa=1(a为常数) 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 底数则要>0且≠1真数>0 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n∈R) (4)换底公式: log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1) (5)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明: 设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a) (6)对数恒等式: a^log(a)N=N; log(a)a^b=b (7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M, log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 对数与指数之间的关系 当a>0且a≠1时,a^x=Nx=㏒(a)N 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数图像总是通过(1,0)点。 (4)a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式: (1)log(a)(b)=log(a)(b) (2)lg(b)=log(10)(b) (3)ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质: 如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n属于R) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R) 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R) 换底公式(很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(约为2.718281828454590) lg常用对数以10为底 (1)常用对数: lg(b)=log(10)(b) (2)自然对数: ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义 对数函数的一般形式为y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。 因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 定义域求解: 对数函数y=logax的定义域是{x︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1}。 {2x-1>0,x>1/2且x≠1},即其定义域为{x︳x>1/2且x≠1}值域: 实数集R 定点: 函数图像恒过定点(1,0)。 单调性: a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸;
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