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北京大学数值分析试题
北乐大学数值分析试题
2015
北京大学2014--2015学年第一学期
研究生期末考试试题A(闭卷考试)
课程名称:
数值分析
注:
计算题取小数点后四位
一、填空题(每空3分,共24分)
(1)设A=,贝UA的奇异值
压-2j
为。
(2)设x=0.00013753为真值xt=0.00013759的近似值,则
x有位有效数字。
(3)设数据x,,x2,x3的绝对误差为0.002,那么
X,-X2+x3的绝对误差约为。
(4)l°(X),li(X),,ln(X)是以X0,xJ||,Xn,(n_2)为节点的拉格朗日插值基函数,
贝g、(X;2儿(X)=。
k=0
(5)插值型求积公式:
X2f(x)dx应Akf(Xk)的求积系
k
数之和ZAk=。
k=0
其中X2为权函数,nl。
(6)已知x=(3,4八丫=(o,i)t,求Householder阵H使Hx:
ky,其中kR。
H=。
(7)数值求积公式:
f(x)dx叱£[f(—质)+f(0)十f(质)]的代数精度为—。
(8)下面Matlab程序所求解的数学问题
(输入向量x,输出S)
x=input('输入x:
x=');n=length(x);
S=x
(1);
fori=2:
n
ifx(i)<S,S=x(i);else,continue;endend
S
二、(12分)
(1)证明对任何初值x^R,由迭代公式Xk1=42C0SXk,k=0,1,2,…
3
所产生的序列鼻匕都收敛于方程
12-3x-2cosx=0的根。
(2)证明它具有线性收敛性。
三、(12分)
(1)用辛浦生公式计算积分:
exdx的近似值;
(2)若用复化辛浦生公式计算积分;exdx,问
至少应将区间[0,4]多少等分才能保证
计算结果有五位有效数字?
(1)构造关于点集和权的正交函数组
{0(x),1(X)};
(2)利用{0(x),1(x)}拟合已知数据点,并求最小二乘拟合误差1/。
五、(12分)利用Gauss变换阵,求矩阵
■211
a=131彳的LU分解。
(要求写出分解过
13—1
」1-2一
程)
六、(10分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式
(1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵;
(2)证明当A是严格对角占优阵,••=1时此迭代格式收敛。
七、(10分)用插值极小化方法求f(x)=e"在[1,2]上的二次插值多项式P2(x),
并在[1,2]上估计误差。
(已知Chebyshev多项式T3(t)的三个零点
t°二一0・8660,t^=0北2二0・8660)
八、(8分)已知求解常微分方程初值冋题{為貯“的数值格式为
千h2
yn1*nhf(Xnyn)~2f"n丫“)口f(X“『n)]y(xo)=yo
问此数值格式是几阶格式?
北京大学2014--2015学年第一学期
研究生期末考试试题标准答案A(闭卷考试)
课程名称:
数值分析
(3)
'填空题(每空3分,共24分)
(2)3
x22
0.006
(5)
(6)H=
43〕
-
431
-55
或H=-
-55
34
34
—
55一
—
-55_[
(7)3
(8)求向量x的最小值
八(12分)记(x)=42cosx,则'(x)-2sinx
33
(1)先考虑区间[3,5],当x[3,5]时,
®(x)=4+3cosx€[3,5],*'(x)=-fsinxcfs。
故对任意初
333
值X。
[3,5],由迭代公式Xk“=4fcosXk,—。
",...产生的
3
序列*讥都收敛于方程12—3X2cosx=0的根。
(6分)
(2)对任意初值X。
.R,有x—4£cosxo[3,5],将
3
都收
代公式Xk1=4fcosxk,k=0,1,2,...产生的序列
3
敛于方程12—3x2cosx=0的根。
(2分)
此格式线性收敛性
(12分)(1
44
MdqXW)*6.1029
(5分)
(2)由f(x)二ex,f⑷(x)二ex,
|R(Sn)|=|-©a)h4f(4)()|=|44f(4)()|
(5
28802880n4
-4e4<110;
2880n42
n14.0371
至少将区间[0,4]15等分才能保证计算结
四、(12分)
(1)首先构造关于点集和权的首一
正交多项式i(x),i,,1.
显然:
0(x)=1,设%(x)=x+a®0(x),
由1(x)与0(x)正交得a「册常厂
(2)设P2(x)o(x)a11(x),贝y
(%(x),y9/29(®1(x),y)1/2
do,a1
(o(x),o(x))24(1(x),1(x))
91
p1(x^42(x1)
(4分)
21卜a2;(x(o)x-(2a))1x(1(x),
■1oool
1
21oo1
-11oo
o51o
12
LJ=
2
oo1o
o131
ooo1一
1'
oo1—2一
=A
(2)
(3分)
j
0
0
01
21
0
0〕
0
1
0
0
‘5
2
n,L2A
(2)=
0-
2
1
0
0
5
1
0
00
13/5
-1
0
0
0
1」
00
1
-2一
(3分)
5
13
(3分)
Lx(k1)(U-D)x(k))(D—L)x(k门=((1一)DU)x(k)bx(k"=(D—L)/((1一)Du)x(k)(D—
迭代法的矩阵形式X(k")=Bx(k)-g
迭代矩阵B=(D-L)」(U(1-)D)(6分)
右端向量g(D-^LJ’b
(2)=1时,迭代格式为Gauss-seidel迭代格式,当A严格对角
占优时,Gauss-seidel迭代格式收敛。
(4分)
七、(10分)已知Chebyshev多项式Ts(t)的三个零点t。
=』.8660苫=0屯=0.8660,作变量代换x=*(t3),得三个插值节点Xk=孰3),k=0,1,2
x0=1.0670,Xj=1.5,x2=1.9330f(X0)=0.3440,f(X1)=0.2231,f(X2)=0.1447
构造差商表
牛顿插值多项式
P2(x)=0.3440-0.2792(x-1.0670)3.5863(x-1.0670)(x-1.5)
=0.1133x2-0.5701X+0.8234(6
R2(x)=
补3)代
(X_X°)(x_X1)(x_X2
6
e/1
兰:
(:
)3|?
钢(—t°)(t—tjt—12)
62—
<—(-)32’=0.0019
62
(4分)
八、(8分)
h2
ynynhf(XnYn)Qf'(X“丫“)口f(X“『n)]
(4分)
h2
=y(Xn)hy'(Xn)wy''(Xn)
En1=yXn1-yn1
h3
=y(Xn)+hy'(Xn)+;2y“(Xn)+O(h3)
=O(h3)
此格式二阶精度。
y(Xn)hy'(Xn)
(4分)
y''(Xn)
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