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数量关系
公务员行政能力测试“和倍问题”怎样思考?
【典型问题】 1.四年级有4个班,不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,问这四个班共有多少人?
解答:
用131+134=265,这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和,因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,所以用265-1=264就刚好是3个乙、丙的和,264÷3=88,就是说乙丙的和是88,那么甲丁和是88+1=89,所以四个班的和是88+89=177人.
2.有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少?
解答:
大家想想,我如果把4个数全加起来是什么?
实际上是每个数都加了3遍!
大家一定要记住这种思想!
(45+46+49+52)÷3=64就是这四个数的和,题目要求最小的数,我就用64减去52(某三个数和最大的)就是最小的数,等于12.
3.在一个两位数之间插入一个数字,就变成一个三位数。
例如:
在72中间插入数字6,就变成了762。
有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍,求出所有这样的两位数。
解答:
对于这个题来说,首先要判断个位是多少,这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位,说明个位只能是0或5!
先看0,很快发现不行,因为20×9=180,30×9=270,40×9=360等等,不管是几十乘以9,结果百位总比十位小,所以各位只能是5。
略作计算,不难发现:
15,25,35,45是满足要求的数
你会解答下面的题目吗?
1.某班买来单价为0.5元的练习本若干,如果将这些练习本只给女生,平均每人可得15本;如果将这些练习本只给男生,平均每人可得10本。
那么,将这些练习本平均分给全班同学,每人应付多少钱?
2.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒,那么平均分给三群猴子,每只可得多少粒?
公务员行政能力测试“还原问题”怎样思考?
【典型问题】 1.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少?
解答:
(6×6+6)÷6-6=1,这个数是1.
2.有砖26块,兄弟二人争着去挑。
弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了。
哥哥看弟弟挑的太多,就抢过一半。
弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半。
哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块,这时哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块?
解答:
先算出最后各挑几块:
(和差问题)哥哥是(26+2)÷2=14,弟弟是26-14=12,然后来还原:
1.哥哥还给弟弟5块:
哥哥是14-5=9,弟弟是12+5=17;2.弟弟把抢走的一半还给哥哥:
抢走了一半,那么剩下的就是另一半,所以哥哥就应该是9+9=18,弟弟是17-9=8;3.哥哥把抢走的一半还给弟弟:
那么弟弟原来就是8+8=16块.
3.甲、乙、丙三人钱数各不相同,甲最多,他拿出一些钱给乙和丙,使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙,使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙,使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍,结果三人钱数一样多了。
如果他们三人共有81元,那么三人原来的钱分别是多少元?
解答:
三人最后一样多,所以都是81÷3=27元,然后我们开始还原:
1.甲和乙把钱还给丙:
每人增加2倍,就应该是原来的3倍,所以甲和乙都是27÷3=9,丙是81-9-9=63;2.甲和丙把钱还给乙:
甲9÷3=3,丙63÷3=21,乙81-3-21=57;3.最后是乙和丙把钱还给甲:
乙57÷3=19,丙21÷3=7,甲81-19-7=55元. 你会解答下面的题目吗?
1.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒,甲从乙处取来一些,使自己的糖豆增加了一倍;接着乙从丙处取来一些,使自己的糖豆也增加了一倍;丙再从甲处取来一些,也使自己的糖豆增加了一倍。
现在三人的糖豆一样多。
如果开始时甲有51粒糖豆,那么乙最开始有多少粒糖豆?
2.有一筐苹果,把它们三等分后还剩2个苹果;取出其中两份,将它们三等分后还剩两个;然后再取出其中两份,又将这两份三等分后还剩2个。
问:
这筐苹果至少有几个?
公务员行政能力测试“两数之差”的问题
鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-8×40)÷(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.因此8分邮票有40+30=70(张).答:
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件“8分比4分多40张”,那么应有60张8分.以“分”作为计算单位,此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少,因此还要增加邮票.为了保持“差”是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是:
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天工程要多少天才能完成?
解:
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有(150-8×3)÷(10+8)=7(天).雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天).答:
这项工程17天完成.请注意,如果把“雨天比晴天多3天”去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?
解一:
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是:
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).鸡是:
100-38=62(只).答:
鸡62只,兔38只.当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是:
4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是:
(100-28)÷(4+2)=12(只).兔只数是:
50-12=38(只).
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成“两数之差”,总脚数也换成“两数之差”.
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一:
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差13×5×4+20=280(字).每首字数相差:
7×4-5×4=8(字).因此,七言绝句有:
28÷(28-20)=35(首).五言绝句有:
35+13=48(首).答:
五言绝句48首,七言绝句35首.
解二:
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了:
460-280=180(字).与题目中“少20字”相差:
180+20=200(字).说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷8=25(首).五言绝句有23+25=48(首).七言绝句有10+25=35(首).在写出“鸡兔同笼”公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7、例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下,就会发现非常有趣的事. 例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30(张).例9,假设都是兔,鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62(只).例10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35(首).首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼”公式比较,这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢?
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?
解:
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).答:
这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?
解一:
如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是:
8×6-2×(15-6)=30(分).两次相差:
120-30=90(分).比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对:
30-19=11(题).
第一次得分:
5×19-1×(24-9)=90.第二次得分:
8×11-2×(15-11)=80.答:
第一次得90分,第二次得80分.
解二:
答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9(题).
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是:
(6×9+10)÷(6+10)=4(题)•第一次答错9-4=5(题).第一次得分5×(24-5)-1×5=90(分).第二次得分8×(15-4)-2×4=80(分).
公务员行政能力测试差倍应用题 与和倍应用题相似的是差倍应用题。
它的“基本数学格式”是:
已知大、小二数之“差”,又知大数是小数的几倍,求大、小二数各是多少。
上面的问题中,有“差”、有“倍数”,所以叫做差倍应用题。
差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示:
从线段图知,“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍,所以,
小数=差÷(倍数-1)。
上式称为差倍公式。
由此得到大数=小数+差,或大数=小数×倍数。
例如,大、小数之差是152,大数是小数的5倍,则小数=152÷(5-1)=38,大数=38+152=190或38×5=190。
例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个,且是徒弟的3倍。
师徒二人一天各生产多少个零件?
分析:
师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。
小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数,“倍数”为3。
由差倍公式可以求解。
解:
徒弟一天生产零件128÷(3-1)=64(个),师傅一天生产零件128+64=192(个)或64×3=192(个)。
答:
徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。
例2两根电线的长相差30米,长的那根的长是短的那根的长的4倍。
这两根电线各长多少米?
解:
“差”=30,倍数=4,由差倍公式得短的电线长30÷(4-1)=10(米),长的电线长10+30=40(米)或10×4=40(米)。
答:
短的电线长10米,长的电线长40米。
解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁,“差”是什么。
上两例中,“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。
下面讲两个稍有变化,不直接给出“差”和“1倍”数的例子。
例3甲、乙二工程队,甲队有56人,乙队有34人。
两队调走同样多人后,甲队人数是乙队人数的3倍。
问:
调动后两队各还有多少人?
分析:
画线段图如下:
由上图可知,“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。
因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差),所以,甲、乙两队人数之差仍是56-34=22(人)。
解:
由差倍公式得调动后乙队有(56-34)÷(3-1)=11(人)。
调动后甲队有11×3=33(人)或11+(56-34)=33(人)。
答:
调动后甲队有33人,乙队有11人。
例4甲、乙两桶油重量相等。
甲桶取走26千克油,乙桶加入14千克油,这时,乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。
两桶油原来各有多少千克?
分析与解:
画线段图如下:
从上图知,当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后,乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍,所以,“1倍”数是甲桶里剩下的油。
“差”是什么呢?
从图中可知,“1倍”与“3倍”之间的差26+14=40(千克)就是我们要找的“差”。
所以,由差倍公式知,“1倍”数=(26+14)÷(3-1)=20(千克)。
故甲、乙桶原来各有油20+26=46(千克),或20×3-14=46(千克)。
答:
原来各有46千克。
例5小云比小雨少20本书,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书,这时小雨的书比小云的书多2倍。
问:
原来两人各有多少本书?
分析与解:
“小雨的书比小云的书多2倍”,即小雨的书是小云的书的3倍。
这个“倍数”是变化后的,所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图)。
“差”是20+5+11=36(本)。
根据和差公式得:
小云现有书(20+5+11)÷(3-1)=18(本)。
小云原来有书18+5=23(本),小雨原来有书23+20=43(本)。
答:
原来小云有23本书,小雨有43本书。
公务员行政能力测试抽屉原理和六人集会问题 “任意367个人中,必有生日相同的人。
” “从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
” “从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。
”
大家都会认为上面所述结论是正确的。
这些结论是依据什么原理得出的呢?
这个原理叫做抽屉原理。
它的内容可以用形象的语言表述为:
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。
”
在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。
这相当于把367个东西放入366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。
在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双。
任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。
这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。
抽屉原理的一种更一般的表述为:
“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
” 利用上述原理容易证明:
“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。
”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。
” 抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
公务员行政能力测试打折问题
一种商品,按期望得到50%的利润来定价。
结果只销售掉70%商品,为尽早销掉剩下的商品,商店决定按定价打折出售。
这样获得的全部利润,是原来所期望利润的82%问打了几折?
解:
假设成本为x,打折a,则定价为1.5x,期望利润为0.5x,
所以(0.7*0.5x+(1.5ax-x)*30%)/0.5x=0.82,求得a=0.8
公务员行政能力测试和倍应用题 小学数学中有各种各样的应用题。
根据它们的结构形式和数量关系,形成了一些用特定方法解答的典型应用题。
比如,和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。
和倍应用题的基本“数学格式”是:
已知大、小二数的“和”,又知大数是小数的几倍,求大、小二数各是多少。
上面的问题中有“和”,有“倍数”,所以叫做和倍应用题。
为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系,画出线段图如下:
从线段图知,“和”是小数的(倍数+1)倍,所以,
小数=和÷(倍数+1)。
上式称为和倍公式。
由此得到大数=和-小数,或 大数=小数×倍数。
例如,大、小二数的和是265,大数是小数的4倍,则小数=265÷(4+1)=53,大数=265-53=212或53×4=212。
例1甲、乙两仓库共存粮264吨,甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。
甲、乙两仓库各存粮多少吨?
分析:
把甲仓库存粮数看成“大数”,乙仓库存粮数看成“小数”,此例则是典型的和倍应用题。
根据和倍公式即可求解。
解:
乙仓库存粮264÷(10+1)=24(吨),甲仓库存粮264-24=240(吨),或24×10=240(吨)。
答:
乙仓库存粮24吨,甲仓库存粮240吨。
例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发,相向而行,2时后两车相遇。
已知甲车的速度是乙车速度的2倍。
甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米?
分析:
已知甲车速度是乙车速度的2倍,所以“1倍”数是乙车的速度。
现只需知道甲、乙汽车的速度和,就可用“和倍公式”了。
由题意知两辆车2时共行360千米,故1时共行360÷2=180(千米),这就是两辆车的速度和。
解:
乙车的速度为(360÷2)÷(2+1)=60(千米/时),甲车的速度为60×2=20(千米/时),或180-60=120(千米/时)。
答:
甲车每时行120千米,乙车每时行60千米。
从上面两道例题看出,用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁,“和”是谁。
例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显,其中例2中虽未直接给出“和”,但也很容易求出。
下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。
例3甲队有45人,乙队有75人。
甲队要调入乙队多少人,乙队人数才是甲队人数的3倍?
分析:
容易求得“二数之和”为45+75=120(人)。
如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了,从75不是45的3倍也知是错的。
这个“1倍”数是谁?
根据题意,应是调动后甲队的剩余人数。
倍数关系也是调动后的人数关系,即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。
由此画出线段图如下:
从图中看出,把甲队中“?
”人调入乙队后,(45+75)就是甲队剩下人数的3+1=4(倍)。
从而,甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。
由和倍公式可以求解。
解:
甲队调动后剩下的人数为(45+75)÷(3+1)=30(人),故甲队调入乙队的人数为45-30=15(人)。
答:
甲队要调15人到乙队。
例4妹妹有书24本,哥哥有书53本。
要使哥哥的书是妹妹的书的6倍,妹妹应给哥哥多少本书?
仿照例3的分析可得如下解法。
解:
兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6+1)倍,根据和倍公式,妹妹剩下(53+24)÷(6+1)=11(本)。
故妹妹给哥哥书24-11=13(本)。
答:
妹妹给哥哥书13本。
例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。
后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个,而小灰兔自己又采了10个。
这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。
问:
原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇?
分析与解:
这道题仍是和倍应用题,因为有“和”、有“倍数”。
但这里的“和”不是160,而是160-20+10=150,“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。
线段图如下:
根据和倍公式,小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)
(160-20+10)÷(5+1)=25(个),故小灰兔原有蘑菇25-10=15(个),大白兔原有蘑菇160-15=145(个)。
答:
原来大白兔采蘑菇145个,小灰兔采15个。
公务员行政能力测试和差倍问题
2.三个小组共有180人,一、二两个小组人数之和比第三小组多20人,第一小组比第二小组少2人,求第一小组的人数。
分析:
要点:
先把一,二小组看成一个整体!
把第三小组看成一个整体,我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题,先求出第一,二小组的人数,再求出第一小组的人数。
这也是一个和差问题。
解:
(180+20)÷2=100(人)——第一,二小组的人数
(100-2)÷2=49(人)——第一小组的人数综合:
[(180+20)÷2-2]÷2=49(人)——第一小组的人数 答:
第一小组的人数是49人。
4.在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少?
分析:
这是一个和倍问题。
减数是差的3倍,那么被减数就是差的4倍,所以被减数、减数与差的和就是差的8倍,应该等于120,所以差=120÷8=15。
解:
120÷(1+3+1+2)=15 答:
差等于15。
6.有50名学生参加联欢会,第一个到会的女同学同全部男生握过手,第二个到会的女生只差一个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,以此类推,最后一个到会的女生同7个男生握过手。
问这些学生中有多少名男生?
分析:
这是和差问题。
我们可以这样想:
如果这个班再多6个女生的话,最后一个女生就应该只与1个男生握手,这时,男生和女生一样多了,所以原来男生比女生多(7-1)6个人!
男生人数就是:
解:
(50+6)÷2=28(人)。
答:
男生人数是2 8人。
注:
还有一种解法,7+6+5+4+3+2+1=28(人)
8.甲、乙、丙共有100本课外书。
甲的本数除以乙的本数,丙的本数除以甲的本数,商都是5,余数也都是1。
那么乙有多少本书?
分析:
这是和倍问题。
看懂题后可以这样理解,“甲、乙、丙3个数是100,甲是乙的5倍多1,丙是甲的5倍多1,求甲、乙、丙各是几?
”。
即:
乙是1倍;甲是乙的5倍多1;丙是乙的(5×5)倍多(1×5+1)6。
那么100减去(1+6)的差对应(1+5+5×5)倍,这样可求出乙是多少。
解:
[100-1-(1×5+1)]÷(1+1×5+1×5×5)=91÷31=3(本) 答:
乙有3本书。
10.有货物108件,分成四堆存放在仓库时,第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半,比第三堆的件数少2,比第四堆的件数多2.问每堆各存放多少件?
分析:
如果我们把第一堆看成1倍,那么可以算出第二堆就是(2×2)4倍,第三堆是2倍多2件,第四堆是2倍少2件,那么一共就刚好是1+4+2+2=9倍(第三堆和第四堆刚好一个多2
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