北京中考数学解析.docx
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北京中考数学解析
北京市2018年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题
考生须知
1.本试卷共8页,共三道大题,28道小题.满分100分,考试时间120分钟.
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.
3.试题答案一律填涂在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题、作图题使用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
一、选择题(本题共16分,每小题分)(第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个)
1.(2018·北京,1,2)下列几何体中,是圆柱的为()
【答案】A.
【解析】易知A、B、C、D四个选项中的几何体分别是圆柱、圆锥、棱柱和棱锥,故选A.
【知识点】简单几何体的识别;圆柱
2.(2018·北京,2,2)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()
A.
>4B.c-b>0C.ac>0D.a+c>0
【答案】B.
【解析】由图可知-4<a<-3,-1<b<0,2<c<3,从而3<
<4,c-b>0,ac<0,a+c<0,故选B.
【知识点】实数的大小比较;数轴;绝对值;有理数的运算法则
3.(2018·北京,3,2)方程组
的解为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D.
【解析】方程②-①×3,得-5y=5,y=-1,并代入①,得x+1=3,x=2.故原方程组的解为
,因此选D.
【知识点】二元一次方程的解法
4.(2018·北京,4,2)被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为7140m2,则FAST的反射面总面积约为()
A.7.14×103m2B.7.14×104m2C.2.5×105m2D.2.5×106m2
【答案】C.
【解析】∵7140×35=249900≈250000=2.5×105,∴选C.
【知识点】科学记数法
5.(2018·北京,5,2)若正多边形的一个外角为60°,则该多边形的内角和为()
A.360°B.540°C.720°D.900°
【答案】C.
【解析】∵正多边形的一个外角为60°,∴该正多边形的边数n=
=6.∴正多边形的的内角和=(6-2)×180°=720°.故选C.
【知识点】多边形的内角和;正多边形
6.(2018·北京,6,2)如果a-b=2
,那么代数式
的值为()
A.
B.2
C.3
D.4
【答案】A.
【解析】原式=
=
,把a-b=2
代入,原式=
=
,故选A.
【知识点】分式的运算;二次根式;整体思想;代数式的求值
7.(2018·北京,7,2)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:
m)与水平距离x(单位:
m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()
A.10mB.15mC.20mD.22.5m
【答案】B.
【解析】解法一:
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题意得
,解得
,从而对称轴为直线x=-
=-
=15,故选B.
解法二:
将图上三个点(0,54),(20,57.9),(40,46.2)用光滑的曲线顺次连接起来,会发现对称轴位于直线x=20的左侧,非常靠近直线x=20,因此从选项中可知对称轴为直线x=15,故选B.
【知识点】二次函数图像的性质;二次函数的简单应用;二次函数解析式的求法;数形结合思想
8.(2018·北京,8,2)上图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论:
①当表示北京天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-6,-3),表示左安门的点的坐标为(5,-6);
②当表示北京天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-12,-5),表示左安门的点的坐标为(10,-12);
③当表示北京天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(-11,-5),表示左安门的点的坐标为(11,-11);
④当表示北京天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(-16.5,-7.5),表示左安门的点的坐标为(16.5,-16.5).
上述结论中,所有正确的结论的序号是()
A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④
【答案】D.
【解析】从图上可知①表示的点的位置正确,从而在①的基础上,将①中的坐标扩大到原来的2倍,进而得到②表示点的位置正确;在②的基础上,先由天安门位置来确定原点位置,再看广安门与左安门的位置的表示,发现③④均正确,故选D.
【知识点】平面直角坐标系
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.(2018·北京,9,2)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC∠DAE.(填“>”,“=”或“<”)
【答案】>.
【解析】如下图,以小正方形的边长为半径、点A为圆心,作圆,交AC、AB、AE、AD的边分别于点F、G、M、N,易知FG>MN,故∠BAC>∠DAE.
【知识点】网格图;角的大小比较;
10.(2018·北京,10,2)若
在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.
【答案】x≥0.
【解析】∵
在实数范围内有意义,∴x≥0.
【知识点】二次根式有意义的条件
11.(2018·北京,11,2)用一组a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是错误的,这组值可以是a=_______,b=_______,c=_______.
【答案】答案不唯一,如1,2,-1.
【解析】本题答案不唯一,只要c为负数均可,主要考查不等式两边同乘以一个负数,不等号要改变方向,如“若1<2,则1×(-1)<2×(-1)”是错误的,因此,此时的a,b,c的值分别为1,2,-1.
【知识点】一元一次不等式的性质;命题;反例
12.(2018·北京,12,2)如图,点A,B,C,D在⊙O上,弧CB=弧CD,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=________°.
【答案】70°.
【解析】∵弧CB=弧CD,∠CAD=30°,∴弧CB与弧CD的度数都为60°.∵∠ACD=50°,∴弧AD的度数都为100°.∴劣弧AB的度数都为140°.∴∠ADB=
×140°=70°.
【知识点】圆周角定理;圆的有关性质
13.(2018·北京,13,2)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为_________.
【答案】
.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB=4,AB∥CD,∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC=
=5.
∵E是边AB的中点,
∴AE=
AB=2.
∵AB∥CD,
∴△CDF∽△AEF.
∴
,即
.
∴CF=
.
【知识点】矩形的性质;勾股定理;相似三角形的性质与判定
14.(2018·北京,14,2)从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时时间,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:
分钟)的数据,统计如下:
早高峰期间,乘坐______(填“A”,“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
【答案】C.
【解析】由统计表可知,C线路中从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的多达477辆,远远高地A、B两条线路,故答案为C线路.
【知识点】统计
15.(2018·北京,15,2)某公园划船项目收费标准如下:
船型
两人船
(限乘两人)
四人船
(限乘四人)
六人船
(限六两人)
八人船
(限乘八人)
每船租金
(元/小时)
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为__________元.
【答案】380.
【解析】从表中可知船越大,平均每人每小时的费用越小,再综合考虑时间因素,租用
4人船、6人船、8人船各1只且游玩1小时时租金最少,为380元.
【知识点】最优化方案设计;分类思想
16.(2018·北京,16,2)2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第__________.
【答案】3.
【解析】从第一张表上可知我国创新产出排名位于全球第11位,再从第二张表中找到我国的位置,可看出我国创新效率排名全球第3,故答案为3.
【知识点】平面直角坐标系;点的坐标的应用.
三、解答题(本题共68分,第17—22题,每小题5分,第23—26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分)
17.(2018·北京,17,5)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:
直线l及直线l外一点P.
求作:
直线PQ,使得PQ∥l.
作法:
如图:
①在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延
长线于点B;
②直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;
③作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
∵AB=_______,CB=_______,
∴PQ∥l(________________)(填推理的依据).
【思路分析】
(1)利用尺规作图,先作射线BC,再在射线BC上截取线段CQ=CB;最后过点P、Q作直线即可;
(2)由作图易知PA=AB,CQ=CB,依据是三角形的中位线的定义及定理,两点确定一条直线.
【解题过程】
17.解:
(1)如下图所示:
(2)PA,CQ;依据:
①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;②三角形的中位线平行于第三边;③两点确定一条直线.
【知识点】尺规作图;三角形的中位线定理
18.(2018·北京,18,5)计算:
4sin45°+(π-2)0-
+
.
【思路分析】分别计算sin45°=
,(π-2)0=1,
=3
,
=1,然后按实数的运算法则及运算顺序进行计算即可,注意结果的化简.
【解题过程】
18.解:
原式=4×
+1-3
+1=2
+1-3
+1=2-
.
【知识点】实数的运算;三角函数;零指数;二次根式;绝对值
19.(2018·北京,19,5)解不等式组:
.
【思路分析】先分别解每一个不等式,再根据“口诀歌”或利用数轴求两个一元一次不等式解集的公共部分,即可得到不等式组的解集.
【解题过程】
19.解:
不等式3(x+1)>x-1的解集为3x+3>x-1,
3x-x>-1-3,
2x>-4,
x>-2;
不等式
的解集为x+9>4x,
x-4x>-9,
-3x>-9,
x<3.
∴原不等式组的解集为-2<x<3.
【知识点】一元一次不等式组的解法
20.(2018·北京,20,5)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
【思路分析】
(1)先算出该方程的根的判别式△的值,再将b=a+2代入并判断判别式的符号,最后根据一元二次方程的根的判别式定理,就能判断该方程的根的情况了;
(2)本题答案不唯一,只要取一组a,b的值,使方程的根的判别式的值为0即可,然后再解此方程即可.
【解题过程】
20.解:
(1)∵b=a+2,
∴△=b2-4×a×1=(a+2)2-4a=a2+4>0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)答案不唯一,如当a=1,b=2时,原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.
【知识点】一元二次方程的解法;一元二次方程根的判别式
21.(2018·北京,21,5)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=
,BD=2,求OE的长.
【思路分析】
(1)先利用角平分线定义及平行线性质,得到AB=DC;再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形,最后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到要证的结论;
(2)先利用菱形的性质,得到OA=OC,OB=OD=
DB=1,AC⊥BD,进而由勾股定理,求出OA的长,进而求得AC的长,最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出OE的长.
【解题过程】
21.
(1)证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC.
∵AB∥DC,
∴∠DCA=∠BAC.
∴∠DAC=∠DCA.
∴DA=DC.
又∵AB=AD,
∴AB=DC.
又∵AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD=
DB=1,AC⊥BD.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得OA=
=
=2.
∴AC=2OA=4.
∵CE⊥AB,OA=OC,
∴OE=
AC=2.
【知识点】菱形的判定与性质;勾股定理;直角三角形的性质;等腰三角形的性质与判定
22.(2018·北京,22,5)如图,AB是⊙O的直径,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.
(1)求证:
OP⊥CD;
(2)连接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.
【思路分析】
(1)利用切线长定理,得PC=PD,从而点P在线段CD的垂直平分线上,再由OC=OD,得点O在线段CD的垂直平分线上,于是OP⊥CD.
(2)先由∠DAB=50°,∠CBA=70°,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理,求出∠COD=60°,进而∠DOP=30°,最后用cos∠DOP=
,将相关数据代入求出OP的长.
【解题过程】
22.
(1)证明:
如下图,连接OC、OD.
∵PC、PD切⊙O于点C、D,
∴PC=PD.
∴点P在线段CD的垂直平分线上.
∵OC=OD,
∴点O在线段CD的垂直平分线上.
∴OP⊥CD.
(2)解:
如下图,连接AD,BC.
∵OA=OD,∠DAB=50°,
∴∠DOA=80°.
同理,∠BOC=40°.
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=60°.
∵OC=OD,PD=PC,OP=OP,
∴△OPC≌△OPD.
∴∠POD=∠POC=30°.
∵PD切⊙O于点D,
∴OD⊥DP.
在Rt△OPD中,cos∠DOP=
,
∴OP=
=
.
【知识点】与圆有关的位置关系;圆的切线的性质;解直角三角形;全等三角形的性质与判定;三角形内角和定理;线段的垂直平分线的判定定理;切线长定理
23.(2018·北京,23,6)在平面直角坐标系xOy中,函数y=
(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:
y=
x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.
(1)求k的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.
①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有4个整点,结合图象,求b的取值范围.
【思路分析】
(1)将点A的坐标代入反比例函数解析式,即可求出k的值;
(2)①利用函数图像找出整点个数;②分两种情况讨论,并将点(5,0)、(1,2)、(1,3)代入y=
x+b,求出分界线的相应b的值,最后利用数形结合思想锁定b的取值范围.
【解题过程】
23.解:
(1)∵函数y=
(x>0)的图象经过点A(4,1),
∴
,解得k=4.
(2)①如下图所示:
由图可知区域W内的整点个数有3个:
(1,0),(2,0),(3,0).
②如下图可知,当直线BC过点(5,0)时,
+b=0,b=-
,此时,区域W内的整点个数有4个:
(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),而-
≤b<-1;当直线BC过点(1,2)时,
+b=2,b=
;当直线BC过点(1,3)时,
+b=3,b=
,此时,区域W内的整点个数有4个:
(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),而
<b≤
.综上,-
≤b<-1或
<b≤
.
【知识点】反比例函数的图象与性质;一次函数的应用;数形结合思想;待定系数法
24.(2018·北京,24,6)如图,Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交弧AB于点C,连接AC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm.
小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
2.65
3.18
4.37
y2/cm
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为________cm.
【思路分析】
(1)利用描点法先画出函数y1的图象;
(2)利用y1的图象,确定当x=3.00时对应的函数y1的对应值;(3)结合图形与图象,利用分类思想锁定△APC为等腰三角形时,AP的长度的近似.
【解题过程】
24.解:
(1)3.06;(答案不唯一,只要在3.00≤y1≤3.10均可)
(2)如下图所示:
(3)3.08cm或5.02cm或5.75cm,如下图所示:
【知识点】函数图象的画法;估算;等腰三角形;分类思想;探究性问题
25.(2018·北京,25,6)某年级共有300名学生.为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:
40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,)70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):
b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是:
707171717676777878.578.579797979.5
c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中m的值;
(2)在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________(填空“A”或“B”),理由是____________________________;
(3)假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过75.8分的人数.
【思路分析】
(1)观察频数分布直方图,看这组数据的中位数落在哪一组,然后利用中位数定义找出这两个数据并求它们的平均数即可;
(2)将这两科成绩与该科成绩的中位数比较,高于中位数的靠前;(3)根据样本中A课程成绩超过75.8分的人数去估计该年级学生中A课程成绩超过75.8分的人数即可.
【解题过程】
25.解:
(1)78.75;(排序后第30与第31个数据的平均数,即(78.5+79)÷2)
(2)B,B课程的成绩超过中位数;
(3)∵300×
=180(人),
∴计A课程成绩超过75.8分约有180人.
【知识点】统计;中位数;平均数;众数;用样本估计总体;频数分布直方图
26.(2018·北京,26,6)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的对称轴;
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
【思路分析】
(1)先求出直线y=4x+4与x轴、y轴的交点A、B的坐标,再利用点的平移规律,求出点C的坐标;
(2)将A点坐标代入抛物线的解析式,得b=-2a,再利用抛物线的对称轴公式或用配方法求出抛物线的对称轴;(3)根据
(1)、
(2)可知抛物线过点(-1,0)和(3,0),再三种情况即开口向上或下及抛物线的顶点在线段BC上,将特殊点的坐标代入抛物线的解析式,求出a的值,最后利用数形结合思想得到符合条件的a的取值范围.
【解题过程】
26.解:
(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴A(-1,0),B(0,4).
∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,
∴C(0+5,4),即C(5,4).
(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,
∴a-b-3a=0.
∴b=-2a.
∴抛物线的对称轴为直线x=-
=-
=1,即x=1.
(3)①若a>0,易知抛物线过点(-1,0),(3,0),故令其解析式为y=a(x+1)(x-3),将点(5,4)代入,得4=a•(5+1)(5-3),解得a=
.故抛物线与线段BC恰有一个公共点,可知a的取值范围是a≥
.如下图所示.
②若a<0,如下图,当x=0,y=-3a,即抛物线与y轴交于(0,-3a)要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-
.
③若抛物线的顶点在线段BC上时,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A点坐标代入,解得a=-1,如下图所示:
综上,a的取值范围是a≥
或a<-
或a=-1.
【知识点】一次函数;二次函数;点的坐标平移;二次函数的图象与线段的交点;分类思想
27.(2018·北京,27,7)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:
GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
【思路分析】
(1)先利用轴对称性质,得到DA=DF,∠DFE=∠
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