学年人教A版必修一 312用二分法求方程的近似解 qqq 学案.docx
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学年人教A版必修一312用二分法求方程的近似解qqq学案
3.1.2用二分法求方程的近似解
[提出问题]
在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机,选手报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.
问题1:
如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗?
提示:
应猜400与800的中间值600.
问题2:
通过这种方法能猜到具体价格吗?
提示:
能.
[导入新知]
1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续持续且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
2.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
第二步,求区间(a,b)的中点c.
第三步,计算f(c):
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c[此时零点x0∈(a,c)];
(3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c[此时零点x0∈(c,b)].
第四步,判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二至四步.
[化解疑难]
利用二分法求方程近似解的过程图示
二分法的概念
[例1]
(1)下列函数中,必须用二分法求其零点的是()
A.y=x+7B.y=5x-1
C.y=log3xD.y=
x-x
(2)以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()
[解析]
(1)
A
×
解方程x+7=0,得x=-7
B
×
解方程5x-1=0,得x=0
C
×
解方程log3x=1,得x=1
D
√
无法通过方程
x-x=0得到零点
(2)根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续持续,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,选项A,B,D都符合条件,而选项C不符合,图象经过零点时函数值不变号,所以不能用二分法求函数零点.
[答案]
(1)D
(2)C
[类题通法]
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:
其图象在零点附近是连续持续的,且该零点为变号零点.所以,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
[活学活用]
用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f
(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1=
=3,计算得f
(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是()
A.(2,4)B.(2,3)
C.(3,4)D.无法确定
解析:
选B∵f
(2)·f(4)<0,f
(2)·f(3)<0,
∴f(3)·f(4)>0,∴x0∈(2,3).
用二分法求函数的零点
[例2]求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).
[解]因为f(-2)=-1<0,
f(-3)=4>0,
故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(-3,-2)
-2.5
1.25
(-2.5,-2)
-2.25
0.0625
(-2.25,-2)
-2.125
-0.4844
(-2.25,-2.125)
-2.1875
-0.2148
(-2.25,-2.1875)
-2.21875
-0.0771
因为|-2.25-(-2.1875)|=0.0625<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
[类题通法]
利用二分法求函数零点应注重三点
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据给定的精确度,即时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.
[活学活用]
证明函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).
解:
因为f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,又因为函数f(x)在[1,2]内是增函数,所以函数在区间[1,2]内有唯一零点.不妨设为x0,则x0∈[1,2].下面用二分法求解.
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f
(1)<0
f
(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f
(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f
(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.1875
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.1875)<0
因为|1.1875-1.25|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
用二分法求方程的近似解
[例3]用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).
[解]令f(x)=2x3+3x-3,
经计算,f(0)=-3<0,f
(1)=2>0,f(0)·f
(1)<0,所以函数f(x)在(0,1)内存有零点,
即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,
又因为f
(1)>0,
所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
(a,b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f
(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f
(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.6875
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.6875)<0
(0.6875,0.75)
|0.6875-0.75|=0.0625<0.1
因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,
所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
[类题通法]
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相对应方程的解的关系,求函数的零点与求相对应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,能够通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
[活学活用]
为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如下表所示:
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
f(x)
-0.6734
-0.2874
0.1231
0.5599
1.0246
则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为()
A.1.32B.1.39
C.1.4D.1.3
解析:
选C由题表知f(1.3125)·f(1.375)<0,且1.375-1.3125=0.0625<0.1,所以方程的一个近似解可取1.32.
[典例]用二分法求方程f(x)=0在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1).
[解析]因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解.
[答案]0.75(答案不唯一)
[易错防范]
1.因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,故在区间(0.625,0.75)内也存有零点,但|0.75-0.625|>0.1,所以不符合精确度0.1的要求,解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误.
2.利用二分法求方程的根,在计算到第几步时,区间(an,bn)的长度应小于精确度.
[活学活用]
用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)=0.200
f(1.5875)=0.133
f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
根据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.1)为________.
解析:
由表中数据可知:
f(1.5625)·f(1.5562)<0.
而|1.5625-1.5562|=0.0063<0.1.
∴零点x0∈(1.5562,1.5625).
可取零点为1.5562(或1.5625).
答案:
1.5562或(1.5625)
[随堂即时演练]
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点能够取的初始区间是()
A.[-2,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[1,2]
解析:
选A∵f(-2)=-3<0,f
(1)=6>0,f(-2)·f
(1)<0,∴能够取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()
A.0.68B.0.72
C.0.7D.0.6
解析:
选C已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72),又因为0.68=
×(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)上,且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7,所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
3.已知二次函数f(x)=x2-x-6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且f
(1)=-6<0,f(4)=6>0,由零点存有性定理可知函数在[1,4]内有零点,用二分法求解时,取(1,4)的中点a,则f(a)=________.
解析:
显然(1,4)的中点为2.5,
则f(a)=f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.
答案:
-2.25
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是________.
解析:
∵f
(2)<0,f(2.5)>0,
∴下一个有根区间是(2,2.5).
答案:
(2,2.5)
5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).
解:
设f(x)=x2-2x-1.
∵f
(2)=-1<0,f(3)=2>0,
∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x0.
取2与3的平均数2.5,
∵f(2.5)=0.25>0,
∴2 再取2与2.5的平均数2.25, ∵f(2.25)=-0.4375<0, ∴2.25 如此继续下去,有 f(2.375)<0,f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5); f(2.375)<0,f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375). ∵|2.375-2.4375|=0.0625<0.1, ∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375. [课时达标检测] 一、选择题 1.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的命题中,准确的是() A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则能够用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解 解析: 选A使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不准确;f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不准确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不准确,只有A准确. 2.设f(x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间() A.(2,2.25)B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75)D.(2.75,3) 解析: 选C因为f(2.25)<0,f(2.75)>0,由零点存有性定理知,在区间(2.25,2.75)内必有根,利用二分法得f(2.5)<0,由零点存有性定理知,方程的根在区间(2.5,2.75),选C. 3.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为() A.(1,2)B.(2,3) C.(1,2)或(2,3)D.不能确定 解析: 选A∵f (1)=-2<0,f (2)=7>0,f(3)=28>0, ∴f(x)在(1,2)内有解,故选A. 4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f (1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为() A.1.5B.1.25 C.1.375D.1.4375 解析: 选D由参考数据知,f(1.40625)≈-0.054, f(1.4375)≈0.162, 即f(1.40625)·f(1.4375)<0, 且1.4375-1.40625=0.03125<0.04, 所以方程的一个近似解可取为1.4375,故选D. 5.已知曲线y= x与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是() A. B. C. D.(1,2) 解析: 选A设f(x)= x-x, 则f(0)=1>0, f = - = - <0, f (1)= -1<0,f (2)= 2-2<0, 显然有f(0)·f <0. 二、填空题 6.某方程有一无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将D等分________次后,所得近似值可精确到0.1. 解析: 由 <0.1,得2n-1>10,∴n-1≥4,即n≥5. 答案: 5 7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称________次就能够发现这枚假币. 解析: 将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币. 综上可知,最多称4次就能够发现这枚假币. 答案: 4 8.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,算得f (1)<0,f (2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断: 方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________________________________________________________________. 解析: 第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125). 答案: 1.5,1.75,1.875,1.8125 三、解答题 9.从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现某接点发生故障,需即时修理,为了尽快找出故障的发生点,一般最多需要检查多少个接点? 解: 先检查中间的1个接点,若正常,则可断定故障在其另一侧的7个接点中;然后检查这个段中间的1个接点,若仍正常,则可断定故障在其另一侧的3个接点中;最后只需检查这3个接点中间的1个,即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点. 10.证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度为0.1). 解: 设函数f(x)=2x+3x-6. ∵f (1)=-1<0,f (2)=4>0, 又∵f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点, 则方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解. 设该解为x0,则x0∈[1,2],取x1=1.5, f(1.5)≈1.33>0,f (1)·f(1.5)<0, ∴x0∈[1,1.5]. 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f (1)·f(1.25)<0,∴x0∈[1,1.25]. 取x3=1.125,f(1.125)≈-0.44<0. f(1.125)·f(1.25)<0. ∴x0∈[1.125,1.25]. 取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0, f(1.1875)·f(1.25)<0, ∴x0∈[1.1875,1.25]. ∵1.25-1.1875=0.0625<0.1, ∴可取x0=1.2, ∴满足要求的方程的实数解为1.2. 11.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值(精确度0.1). 解: f(0)=-1<0,f (1)=1>0,即f(0)·f (1)<0,f(x)在(0,1)内有零点, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-0.75<0, ∴f(0.5)·f (1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2=0.75, f(0.75)=-0.15625<0, ∴f(0.75)·f (1)<0,即x0∈(0.75,1). 取区间(0.75,1)的中点x3=0.875, f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 取区间(0.75,0.875)的中点x4=0.8125, f(0.8125)≈0.073>0. ∴f(0.75)·f(0.8125)<0,即x0∈(0.75,0.8125), 而|0.8125-0.75|<0.1. 所以,f(x)的零点的近似值可取为0.75. 12.现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同.用一架天平,限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称? 解: 第一次,天平左右各4球,有两种情况: (1)若平,则“坏球”在剩下的4球中.第二次,取剩下的4球中的3球为一边,取3个好球为另一边,放在天平上. ①若仍平,则“坏球”为剩下的4球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平一看,即知“坏球”是偏轻还是偏重; ②若不平,则“坏球”在一边3球之中,且知是轻还是重.任取其中2球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏球”; (2)若不平,则“坏球”在天平上的8球中,不妨设右边较重. 从右边4球中取出3球,置于一容器内,然后从左边4球中取3球移入右边,再从外面好球中取3个补入左边.看天平,有三种可能. ①若平,则“坏球”是容器内3球之一且偏重; ②若左边重,“坏球”已从一边换到另一边.所以,“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一,并且偏轻; ③若右边重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重). 显然对于以上三种情况的任一种,再用一次天平,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
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